Содержание
 

 

 

 

 

 

 Доказательства математических теорем следуют строгим законам логики. Подобно этому школьник, решив задачу, обязан отчетливо изложить решение и обосновать законность каждого шага решения. Но в случае сколько-нибудь сложной задачи сначала надо придумать решение и лишь потом его обосновать. Подобно этому интересные новые теоремы математики сначала придумывают «по догадке», или, как говорят более учено, по интуиции.

Математическая интуиция часто руководствуется представлениями о красоте. Решение хорошо поставленной, естественной задачи обычно оказывается красивым. Конечно, не каждая красиво выглядящая гипотеза оправдывается. Но искать подлинное решение проблемы часто бывает разумным среди предположений, выделяющихся своей красотой.

Известный польский математик Гуго Штейнгауз в своей книге «Математический калейдоскоп» стремится увлечь читателя математикой именно с этой стороны: красотой математических фактов и возможностью их усмотреть интуитивно еще до логического обоснования. Доказательства тоже бывают красивы своей неожиданной простотой. Они конечно, тоже имеются в книге Штейнгауза, но многие факты сообщаются и без доказательств, чтобы увлечь читателя своей красотой, в то время как само доказательство может оказаться и недоступным читателям из-за недостатка у них знаний.

«Математический калейдоскоп» можно читать разными способами. Нет ничего зазорного и в том, чтобы перелистывать его, останавливаясь подробнее на картинках, поражающих своей красотой, либо  обращая  внимание  на   простоту  формулировок ответов в тех случаях, когда, казалось бы, заданные вопросы простых ответов не обещают. Но, конечно, читатель получит больше пользы и больше удовольствия, если разберется в доказательствах там, где они приведены, и попытается их найти там, где они не даны автором.

Книга Штейнгауза переведена на много языков. В 1949 г. был издан и ее русский перевод, сделанный с первого, менее полного, польского издания. Всюду книга пользовалась большим успехом.

 

Волшебное число 7.

Издавна числа казались людям чем-то таинственным. Одни числа считались счастливыми, а другие несчастливыми. Много суеверий связано с числом 3. «Бог троицу любит», трижды стучат по дереву, в сказках судьба испытывает героя трижды.

Возьмем «волшебное число 7».

Какие ассоциации, связанные с этим числом,  возникают у вас?

Ответы команды записывают на  листах бумаги.

(7 чудес света, 7 дней недели, 7 цветов радуги, семимильные сапоги в сказках, цветик-семицветик, в поговорках …)

 

Математический калейдоскоп.

Калейдоскоп – игрушка с зеркальными стеклами и кусочками стекла. При поворачивании происходит смена узора.

Калейдоскоп – постоянная смена явлений, лиц, событий.

Так и наши задания будут сменять друг друга.

Задания связаны с физическими упражнениями, логикой, рисованием, музыкой, театром.

А вы сможете открыть свои таланты. Показать смекалку, ловкость, изобретательность, творчество, художественные способности, артистичность, взаимопомощь, выручку.

 

 

 

 

Из этих четырех дощечек составится квадрат или равносторонний треугольник, в зависимости от того, в какую сторону повернуть рукоятку.

С помощью прямоугольного треугольника можно разложить квадрат на два квадрата; чтобы убедиться, что больший квадрат складывается из двух меньших, проведем через центр среднего квадрата горизонтальную и вертикальную прямые и сместим, не поворачивая, получившиеся четыре части в углы большего квадрата; сместив теперь малый квадрат, мы покроем оставшуюся незанятой среднюю часть большего квадрата. Из равенства а = b + с  видно, что малый квадрат точно соответствует размеру этой средней части.

Смысл только что доказанного утверждения становится особенно прозрачным в случае треугольника со сторонами 3, 4 и 5.

Имеем: 9+16 = 25.

Мы можем, следовательно, построить прямой угол с помощью 12-сантиметровой нитки со связанными концами и с отметками на расстоянии 3, 4 и 5 сантиметров одна от другой.

То же свойство прямоугольного треугольника можно проверить и без квадратов.

Чтобы построить равносторонний треугольник, можно взять произвольный треугольник и разделить каждый его угол на три равные части; тогда внутри его получится малый треугольник, который и будет равносторонним.

Угол с большой точностью делится на три равные части следующим образом: сначала угол делится пополам, а затем хорда половинного угла делится на три; луч, отсекающий ²/₃ этой хорды, отделяет одну треть всего угла.

Данный способ не является абсолютно точным.

Всю плоскость можно  покрыть квадратными плитками нескольких разных размеров.

Весьма интересно разбиение прямоугольника на одни только разные квадраты. Здесь представлены девять квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 18. Задача: составить из этих квадратов прямоугольник. Это простейший пример разбиения прямоугольника на разные квадраты. Ни в каком разбиении не может быть меньше девяти квадратов.

Даже квадрат можно разбить на разные квадраты. Здесь изображено одно такое разбиение на 24 квадрата со сторонами 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18, 20, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81. Можно ли разбить квадрат менее чем на 24 разных квадрата?

Простейшее разбиение плоскости на равные квадраты используется во многих играх.

Чтобы из произвольного треугольника вырезать треугольник с площадью в семь раз меньше, отделяем от каждой стороны по одной трети и соединяем полученные точки с противоположными вершинами.

То, что площадь красного треугольника равна одной седьмой площади исходного треугольника, видно из следующего рисунка: красный треугольник равновелик каждому из шести серо-коричневых треугольником; наступающими коричневыми треугольниками можно покрыть синие треугольники; следовательно, общая площадь семи равновеликих треугольников равна площади исходного треугольника.

На доске размером 3x3 можно играть в крестики-нулики следующим образом. Игроки поочередно ставят по одному крестику (первый игрок) или нулику (второй игрок). После того, как выставлено по три крестика и нулика, каждый игрок при очередном ходе имеет право переставить один свой крестик или нулик на одну из соседних свободных клеток (но не наискосок). Выигрывает тот, кто первый займет три клетки по вертикали, горизонтали или диагонали. Начинающий обеспечит себе выигрыш, если он своим первым ходом займет центральную клетку, а затем будет должным образом отвечать на ходы противника. Действительно, если первый игрок поставит сначала крестик в клетку е, то второй игрок может поставить нулик либо в одну из прилегающих, либо в угловую клетку. Пусть нулик поставлен в угловую клетку, например, клетку а. Тогда первый игрок должен поставить крестик в клетку h, вынуждая противника занять клетку b; на это первый игрок отвечает занятием клетки c, и второй игрок должен будет поставить нулик в клетку g. Теперь первый игрок за два следующих хода переставляет крестики из клетки е в клетку f из клетки h в клетку i и выигрывает. Если второй игрок займет сначала одну из прилегающих к е клеток, например, клетку b, то первый займет g, второй должен будет занять с; тогда первый займет а, вынуждая второго занять d — и второй игрок не успеет помешать первому переставить крестик с g сначала на h, а затем на i. Можно условиться, что начинающий не имеет права занимать первым ходом центральную клетку, тогда при правильной игре обоих партнеров игра никогда не закончится.

Некоторые шахматные позиции можно точно проанализировать. Например, в эндшпиле д-ра Бергера у белых имеется только один ход, Фb1— b8, обеспечивающий им победу. При этом ходе и дальнейшей правильной игре белых их выигрыш уже после восьми ходов становится очевидным. При всяком же другом ходе белых и правильной игре черных победу одерживают черные.

Некоторые эндшпили замечательны богатством вариантов и неожиданностью внешне скрытого решения. Так, например, начинающему игроку нелегко будет догадаться, каким образом в этой позиции белые дают мат самое большее в четыре хода.

Эндшпиль д-ра Эберса  носит чисто математический характер. Можно точно доказать, что белые не позволят черному королю взять какую-либо из своих пешек, если только всегда будут ходить своим королем на поле, обозначенное той же буквой, что и поле, на котором стоит черный король. В соответствии с этим правилом первый ход белых есть ход В — F. Если белые ни разу не отступят от этого правила, то результат будет ничейным. Если они нарушат его хотя бы однажды,  то черные смогут при желании не позволить белым вернуться к указанной тактике, их король проникнет в лагерь белых по одной из диагоналей X – Y или О — О и черные добьются победы.

Вам не нужно быть блестящим игроком, чтобы добиться результата 1:1 в одновременной игре на двух досках против двух мастеров. Достаточно потребовать, чтобы один из  мастеров (А)  играл белыми, а другой (В) — черными и чтобы матч начинался ходом  мастера А. Тем же самым ходом Вы должны начать свою партию с В, а когда тот ответит — повторить его ответ в партии с А и т. д. В итоге на обеих досках будет разыграна одна и та же партия. Вы либо выиграете на одной доске и проиграете на другой, либо сделает ничью на обеих досках, поэтому в любом случае Вы и оба Ваших партнера  вместе наберете по одному очку.

Мы не располагаем математической теорией игр в шахматы, однако  для некоторых более простых игр такая теория построена. Рассмотрим, например, следующую игру. В квадратной коробочке имеется 16 ячеек; одна из них свободна, а остальные заполнены фишками, занумерованными числами от 1 до 15. На рисунках показаны два расположения фишек, в ячейках коробочки, первое из которых считается начальным, а второе выбрано произвольно. Можно ли, передвигая фишки внутри коробочки, перевести произвольно выбранное расположение в начальное? Ознакомимся с теорией этой игры. Припишем свободной ячейке номер 16; каждому расположению фишек, отвечает некоторая расстановка чисел 1, 2, 3....15, 16. От расстановки этих чисел, в их естественном порядке можно перейти к любой другой расстановке за несколько шагов, каждый из которых состоит в перестановке двух соседних чисел. Например, расстановку 2, I, 3, 4,..., 16 можно получить за один шаг — переставив единицу с двойкой.

Одни расстановки требуют четного числа шагов, другие — нечетного, но никакая расстановка не может быть получена из начальной как за четное, так и за нечетное число шагов. Если бы к некоторой расстановке вело два пути — с четным и нечетным числом шагов, то можно было бы пойти первым путем и затем вернуться вторым путем, выполняя соответствующие шаги в обратном порядке. В результате получился бы путь, ведущий от начальной расстановки к ней же, в котором число шагов, будучи суммой чисел разной четности, было бы нечетным. Это, однако, невозможно — никакую расстановку нельзя перевести в себя за нечетное число шагов. Ведь на каждом шагу переставляются какие-нибудь два числа: если имеется шаг, преобразующий пару соседних чисел (3, 7) в пару (7, 3), то должен существовать обратный шаг, преобразующий пару (7, 3) в пару (3, 7). Действительно, пусть, например, в исходной расстановке, к которой мы хотим вернуться, тройка стояла слева от семерки; тогда мы должны скомпенсировать перескок тройки направо от семерки — при любых дальнейших перемещениях тройка не сможет вернуться на свое место иначе, как перескочив снова налево от семерки. Это относится ко всем парам — число шагов, в которых участвуют любые два заданных числа, четно. Следовательно, четно и общее число шагов. Мы убедились, таким образом, что существуют расстановки четные и нечетные — первые получаются из начальной расстановки за четное, а вторые — за нечетное число шагов. Если какая-нибудь расстановка четна, то она не может быть нечетной. Все сказанное относится к расстановке фишек в один ряд. При перемещениях внутри коробочки нельзя выполнять произвольные шаги. Можно, правда, принимать за расстановку любое расположение фишек, если читать номера от левого верхнего угла до правого нижнего, однако, теперь всякий шаг заключается в перестановке пустой ячейки 16 с соседней фишкой, номер которой может быть каким угодно. Если соседняя фишка расположена справа или слева, то при этом получится шаг в прежнем смысле, как если бы числа были расставлены в один ряд. Однако если она находится сверху или снизу, то при расположении в один ряд этому соответствует перестановка двух чисел, между которыми стоят три числа. Такая перестановка требует семи шагов.

Если мы хотим перейти от расстановки на рисунке к расстановке на другом рисунке, то нам во всяком случае придется вернуть пустую ячейку 16 в ее исходное положение в правом нижнем углу; следовательно, влево ее нужно будет переместить столько же раз, сколько и вправо, и вниз столько же раз, сколько и вверх. Таким образом, получится четное число 2h горизонтальных и четное число 2v вертикальных перемещений. Этому соответствует 2h+2v 7 шагов, т. е. четное число шагов. Но за четное число шагов четная расстановка переходит всегда в четную, а нечетная — в нечетную (почему?). Между тем расстановка на втором рисунке нечетна, так как она получается из начальной за один шаг — перестановкой единицы и двойки, а расстановка на первом -  четна, так как она получается из начальной за нуль шагов; в силу этого переход от первого рисунка ко второму неосуществим. В то же время всегда можно перейти от любой четной расстановки к любой другой четной расстановке, а от любой нечетной — к любой другой нечетной; предлагаем читателю доказать это самостоятельно. Игра «в пятнадцать» была какое-то время популярной, но после опубликования в 1879 г. ее теории вышла из моды.

Все упоминавшиеся здесь игры имеют нечто общее, роднящее их также со многими другими играми. Не только для шахматных эндшпилей, но и для таких игр, как «крестики - нулики» или «волки и овцы», теория позволяет установить, какая из сторон выиграет при условии правильной игры. Одновременно теория указывает, как играть правильно. Этому как будто противоречит возможность ничьей в шахматах, однако, такую возможность можно исключить, если условиться, что проигравшим считается партнер, который в случае повторения позиции сыграет так же, как он сыграл раньше.

Общее утверждение об играх подобного рода гласит, что всякая игра либо несправедлива, либо нейтральна. При этом нейтральной считается игра, которая при правильной тактике обоих партнеров всегда заканчивается вничью. В некоторых играх ничьи отсутствуют; такие игры называют категоричными. В ряде случаев ничейный исход можно исключить с помощью дополнительных соглашений (как в только что приведенном примере). Согласно сделанному утверждению, всякая категоричная игра является несправедливой.

Условимся, что в игре белых и черных начинают всегда белые; тогда, например, в игре в «волки и овцы» белые всегда могут добиться победы; сделанное выше утверждение означает, что и в любой другой категоричной игре одна из сторон всегда может добиться победы, так что исход борьбы предрешен еще до ее начала. При этом победа достигается независимо от того, как играет другая сторона. Ясно, что только одна сторона располагает такой выигрышной тактикой. Иногда эту тактику найти легко, как в случае «волков и овец», иногда трудно, как в некоторых шахматных эндшпилях, иногда неясно даже, удастся ли это сделать в пределах обозримого будущего, как в случае обычной игры в шахматы, однако, всегда для одной из сторон такая тактика существует. (В случае шахмат необходимо принять указанное выше дополнительное соглашение, а также считать, что пат означает проигрыш для стороны, не имеющей хода.)

Для доказательства рассмотрим эндшпиль, в котором белые дают мат самое большее в 4 хода. Обозначим эту позицию через EG4. Белые, очевидно, располагают таким первым ходом, что при любом ответе на него черных получится позиция EG3. Они, таким образом, располагают хорошим ходом, если хорошим считать ход, приводящий к позиции EG3. Точно так же и в позиции EG3 у белых имеется хороший ход, который приводит к позиции EG2, а в этой позиции - хороший ход, дающий позицию EG1. Наконец, в этой последней позиции у белых также имеется хороший ход - шах и мат! Разумеется, плохая защита черных может облегчить белым задачу: белые смогут поставить мат за три, а не за четыре хода; в любом случае белые располагают последовательностью хороших ходов, позволяющей им поставить мат самое большее в четыре хода. Теперь понятно, что означает позиция EGn. Все позиции EGn (n=1, 2, 3, ...) будем называть выигрышными позициями для белых.

Пусть теперь на шахматной доске все 32 фигуры стоят в своей исходной позиции. Логика учит, что существуют лишь две возможности, каждая из которых исключает другую: (I) — позиция является выигрышной для белых, (II) — позиция не является выигрышной для белых. В первом случае исход любой шахматной партии заранее предопределен в пользу белых, поскольку начальная позиция есть EGn. Во втором случае начальная позиция не есть EGn. Это означает, что на каждый ход белых черные могут ответить ходом, который приводит к позиции, также не являющейся EGn. Ведь если бы у белых был такой ход М, что при любом ответе черных получалась бы выигрышная для белых позиция, то и исходная позиция была бы для них выигрышной, а это противоречит принятому нами допущению (II). То же рассуждение применимо и к позиции, возникающей после первого ответа черных: снова на каждый ход R белых черные могут ответить так, чтобы получилась позиция «не-EGn». Белые, следовательно, не могут выиграть — им для этого нужно добиться позиции EG1, чего черные не допустят, если будут играть правильно; но в таком случае ввиду категоричности игры черные должны выиграть.

Мы не знаем, какая из возможностей, (I) или (II), осуществляется в шахматах на самом деле при дополнительном соглашении, исключающем ничьи, но нам известно, что осуществляется одна и только одна из этих возможностей, и поэтому шахматы являются игрой несправедливой. Такое же рассуждение применимо к шашкам и многим другим играм. Любая из этих игр, если она не категорична, может быть справедливой, но тогда она нейтральна. Неизвестно, является ли игра в шахматы (без дополнительных правил) нейтральной или нет. В последнем случае шахматы — игра несправедливая, но можно еще не знать, какая из сторон обеспечивает себе выигрыш. Если это известно, то неизвестной еще может оставаться тактика выигрывающей стороны, а в случае, когда шахматы являются нейтральной игрой, - тактики обеих сторон, гарантирующие каждой из них ничью. Существуют игры иного рода, к которым изложенная выше теория неприменима.

Доску для игры в «крестики — нулики» можно использовать и для такой игры: в каждую клетку доски заранее и на всю игру вписывается какая-нибудь цифра — либо белая, либо черная; первый партнер (белые) ставит в свою карточку одну, две или три белые палочки, а второй партнер (черные) - одну, две или три черные палочки в свою карточку, но ни один из них не видит, что поставил другой; затем карточки открываются и тем самым определяются вертикаль и горизонталь доски; цифра, стоящая в клетке их пересечения, определяет размер выигрыша для белых, если эта цифра белая, и для черных, если она черная. Особенность этой игры состоит в том, что она не является замкнутой. Поясним это.

Допустим, белые решили все время ставить в своей карточке две палочки и черные поняли это, играя с белыми достаточно долго. Тогда они примут наиболее выгодную для них тактику, проставляя постоянно в своей карточке две палочки, обеспечивая себе тем самым выигрыш размера 3 при каждом розыгрыше. Через некоторое время белые разгадают их систему игры и изменят свою тактику: будут ставить все время одну палочку. Это будет давать им выигрыш размера 2, пока черные не решатся на смену своей тактики. Ясно, что такое взаимное приспосабливание не дает ни одному из партнеров какого-либо определенного плана игры. В шахматах дело обстоит иначе. В задаче д-ра Бергера можно точно указать, как должны играть оба партнера, если каждый из них действует наилучшим для себя образом (см. примечание). Если белые знают, что черные действуют - безошибочно, то они должны начать с хода Фb1—b8, иначе им не удастся поставить мат на тринадцатом ходу. Если черным известно, что они играют с идеальным противником, то они ответят ходом Cg1—c6; при всяком другом ответе им будет поставлен мат еще до тринадцатого хода. Так разворачивается борьба в соответствии с «главной игрой», указанной в тексте. Здесь каждый из партнеров действует наилучшим для себя образом. Наличие «главной игры» делает игру замкнутой. Шахматы, шашки, «волки и овцы» и почти все игры с поочередными явными ходами противников относятся к замкнутым играм - независимо от того, нейтральны они или несправедливы: в то же время игра на девяти клетках, проиллюстрированная на рисунке, не является ни замкнутой, ни несправедливой, ни нейтральной это игра открытая, справедливая и категоричная. И причиной, как нетрудно видеть, служит то, что ходы делаются одновременно.

По известной легенде мудрец, который изобрел шахматы, потребовал в награду от персидского шаха такое количество пшеницы, чтобы им можно было покрыть шахматную доску, положив на первую клетку одно зерно, на вторую - два, на третью - четыре и вообще на каждую следующую клетку, вплоть до последней, — в два раза больше, чем на предыдущую. Оказалось, что такого количества зерна не наберется не только в хранилищах шаха, но и всего мира.

Мудрец скромно потребовал, чтобы ему дали 1 + 2 + 2²+... + 2⁶³ = 2⁶⁴ — 1 зерен. Это двадцатизначное число. Оно имеет делители (какие?).

Если тем же способом покрыть зернами две шахматные доски, а потом с последней клетки второй доски одно зерно убрать, то на этой клетке оказалось бы р = 2¹²⁷ — 1 зерен, т. е. 170141183460469231731687303715884105727 зерен. Это число р не имеет делителей; оно является простым и состоит из 39 цифр. Можно доказать, что существует большее простое число из 39 цифр, не указывая самого этого числа. Недавно установлено, что число 180 р²+1 также является простым. Вот это число:

5210644015679228794060694325391135853335898483908056458352201854618372555735221.

7 октября 1952 г. на электронно-вычислительной машине SWAC был получен рекордный результат - доказана простота числа 2²²⁸¹—1 этот великан представляет собой 687-значное число. Какие у него первая и последняя цифры? [К настоящему времени, используя более совершенные ЭВМ, удалось доказать простоту некоторых больших чисел вида 2ⁿ — 1, например, чисел 2⁴⁴²³ — 1 и 2¹¹²¹³ — 1.]

Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Установлено, что число 2²⁵⁷ — 1 не является простым, однако пока не удалось найти ни одного его делителя.

Можно проделать следующий эксперимент с шахматной доской: смазать поверхность доски клеем, а затем, подражая жесту сеятеля, бросать с высоты на доску по нескольку зерен, пока на ней не окажется 64 зерна. Ясно, что зерна распределятся на доске неравномерно: некоторые клетки останутся пустыми, на других будет по одному зерну, на третьих — по два и т. д. Согласно теории вероятностей можно ожидать примерно такого результата: 24 клетки останутся пустыми, на 24 клетках будет по одному зерну, на 12 — по два, на 3 клетках — по три, на одной четыре. При точном подсчете для чисел клеток получаются дробные значения, однако, сумма этих чисел, умноженных на числа содержащихся в них зерен, по-прежнему равна 64.

А вот еще более интересный вариант этого эксперимента: на карту центральной Европы наносится рисунок шахматной доски (с 64 клетками) и в границах этого рисунка отмечаются 64 самых крупных города. Если окажется, что города распределяются по клеткам в соответствии с предсказаниями теории, то это будет свидетельствовать о том, что на размещение городов влияли многие различные независимые обстоятельства. Можно указать простую запись для очень больших чисел. Например,   многие   гигантские   числа   удается   представить   в    весьма   обозримой форме, если принять следующие обозначения: пусть /a\ означает аa, [а] — а в а треугольниках, /a\ — а в а квадратах. Тогда число МЕГА = (2) окажется слишком большим, чтобы ему можно было приписать какой-либо физический смысл. Это число читается как   «256   в   256   треугольниках»   и   становится   понятно,   почему нам пришлось отказаться от обычного способа записи чисел. Предлагаем читателю самому охарактеризовать число МЕДЗОН = (3).

Шахматная доска явилась источником многих задач и игр. Укажем, например, такую задачу: сколькими способами можно расставить на доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не бил другого?   Оказывается, имеется всего 92 таких расстановок и все они получаются из 12 существенно различных расстановок с помощью поворотов и зеркальных отражений доски.

На шахматной доске можно расставить 5 ферзей таким образом, что любое поле доски окажется под боем. Всего существует 4 860 решений и все они получаются из 638 существенно различных расстановок. Задача имеет решение и в том случае, если потребовать дополнительно, чтобы никакие два ферзя не били друг друга. Предоставляем читателю найти такое решение.

Представим себе, что заминировано такое множество полей доски, что ни с какого поля левого края доски   король не может добраться до правого края, минуя заминированные поля. Тогда ладье удастся пройти от верхнего края доски до нижнего, двигаясь по одним только заминированным полям. То же верно для любой прямоугольной доски размером m x n. Это утверждение кажется достаточно очевидным, однако, его доказательство требует определенных усилий.

Можно обойти всю шахматную доску ходом коня и на шестьдесят четвертом ходу вернуться в исходное положение. Можно даже сделать это так, что в результате обхода получится многоугольник с центром в центре доски, а номера ходов, проставленные в соответствующих клетках доски, дадут так называемый «магический квадрат», т.е. суммы номеров в каждой горизонтали и в каждой вертикали окажутся одинаковыми и будут равны 260, поскольку иное значение для суммы невозможно (почему?).

Великого математика Эйлера привлекали задачи с конем и некоторые другие подобные задачи, например, задача о 36 офицерах, которая заключается в следующем: как построить офицеров шести полков по одному полковнику, подполковнику, майору, капитану, поручику и подпоручику от каждого полка — так, чтобы ни в одной шеренге и ни в одном ряду не повторялись ни звания, ни полки? Это задача не имеет решения, но в случае 25 офицеров пяти разных полков и пяти званий задача легко решается - разные цвета отвечают полкам, а разные буквы — званиям.

«Игра в офицеров» Эйлера получила впоследствии практическое применение — так называемые греко-латинские квадраты используются в настоящее время в агрономических опытах. Для изучения влияния различных условий на различные сорта какой-либо культуры участок делится на 25 малых участков: пусть буквы А, В, С, D, Е означают пять разных сортов культуры, а буквы g, h, i, j, l — пять видов удобрений; на плане, приведенном на рисунке, указаны всевозможные комбинации сортов культуры и видов удобрений — каждому малому участку отвечает своя комбинация.

Если горизонтальным рядам соответствуют различные степени влажности, то, как видно из плана, каждый сорт выступает в сочетании с каждой степенью влажности. Скажем, влажность r1 сочетается с А, В, С, D и Е, но то же самое распространяется и на влажности r2, r3, r4 и r5. В то же время все степени влажности сочетаются со всеми видами удобрений. Вертикальные ряды соответствуют различным способам обработки земли; видно, что в каждом таком ряду встречаются все сорта, все виды удобрений и все степени влажности. Имеются еще две диагональные системы участков: т, п, р, q, t и и, v, w, x, у. Первая из них отвечает различным датам сева, а вторая - различным датам сбора. Возьмем, например, диагональ m; она пересекает все горизонтальные ряды, все вертикальные ряды, все линии системы u - y, все участки А—Е и все участки g - l. Поэтому если подсчитать средний урожай т с пяти участков, обозначенных этой буквой, то можно будет сказать, что на величину этого урожая влияет дата сева — одна и та же для всех пяти участков (скажем, 1 марта), тогда как влияние различий в сортах культуры и видах удобрений устранено. Подсчитав средний урожай А с пяти участков, обозначенных этой буквой, мы устраняем влияние всех факторов за исключением сорта культуры.

Эти замечания, вытекающие из непосредственно очевидных свойств греко-латинского квадрата, приводят к следующему методу. Подсчитаем средний урожай М с малого участка, поделив общий урожай со всего участка на 25. Пусть теперь какие-либо пять участков обозначены какой-нибудь одной буквой; обозначим той же буквой средний урожай с одного такого участка, полученный делением общего урожая со всех пяти участков на пять. Затем вычислим такие суммы:

(M - A)2 + (M - B)2 + (M - C)2 + (M - D)2 + (M - E)2

(M – g)2 + (M - h)2 + (M - i)2 + (M – j)2 +  (M – l)2

и т. д. Следующий шаг заключается в сравнении этих сумм. Если, например, первая из них больше второй, то мы вправе считать, что сорт культуры влияет на урожай больше, чем вид удобрения.

Однако точный «дисперсионный анализ» (так принято называть этот метод) на самом деле оказывается более сложным, поскольку исследуется еще и вопрос о том, нельзя ли объяснить слишком большие расхождения между суммами случайными отклонениями.

Весьма интересны такие игры как тотализатор, где важно уметь разбираться не только в лошадях, но и в людях. Ведь на очень хорошую лошадь, достоинства которой всем известны, ставят почти все играющие, поэтому даже если эта лошадь и придет первой, тот, кто поставил на нее, выигрывает мало, либо совсем ничего не выигрывает. Следовательно, выгодно ставить на лошадь, достоинства которой хотя и заметны, однако, большинству играющих неизвестны.

Можно устроить тотализатор без лошадей и вообще без каких-либо приспособлений. Пусть каждый из собравшихся в комнате внесет в банк по одному злотому и напишет на отдельном листочке, так, чтобы не видели остальные,— число, которым он оценивает в сантиметрах высоту комнаты. Листочки собираются, для написанных чисел подсчитывается среднее, и тот, кто написал самое близкое к этому среднему число, забирает содержимое банка ... высота же комнаты вообще не измеряется! Хозяин комнаты, знающий ее настоящую высоту, не имеет, однако, никаких преимуществ перед своими гостями. В этой игре понимание людей, их образа мышления и манеры восприятия, не менее важно, чем в тотализаторе.

 

 

Будем говорить, что лист бумаги нормальный, если при сложении его вдвое получится подобный ему лист. Если а и b означают длинную и короткую стороны нормального листа, то имеет место пропорция a:b = b:a/2.

Возьмем два одинаковых нормальных листа и приклеим основание b одного из них к длинной стороне а другого. Получится большой прямоугольник со сторонами а + b и b (заштрихованный на рисунке) и малый прямоугольник со сторонами b, а — b (незаштрихованная часть рисунка). Из пропорции a:b=b:a/2 следует равенство а2=2b2, откуда вытекает пропорция (a+b:a=b:(а—b). Следовательно, заштрихованный прямоугольник подобен незаштрихованному. Но этот последний равен дважды заштрихованному прямоугольнику. Таким образом, заштрихованный прямоугольник подобен дважды заштрихованной своей части.

Назовем лист, подобный заштрихованному на рисунке, гипернормальным. Мы только что показали, что если отрезать от гипернормального листа два  квадрата, то  получится  новый  гипернормальный  лист.

Допустим, что длины сторон нормального листа выражаются целыми числами сантиметров — а см и b см. Из двух таких листов можно указанным выше способом получить гипернормальный лист, длина каждой стороны которого также выражается целым числом сантиметров. Пусть длинная сторона имеет р см, а короткая — q см. Отрезав от этого листа два квадрата, получаем новый гипернормальный лист со сторонами q см и р—2q см. Ясно, что эти числа тоже целые и что новая длинная сторона меньше половины прежней. Продолжая этот процесс, мы будем получать все меньшие гипернормальные листы с целочисленными сторонами. Но так как длины сторон - целые числа, то на каждом шагу длинная сторона уменьшается, по крайней мере на сантиметр; поэтому самое большее через р шагов длинная сторона исчезнет. Это противоречие доказывает, что не может существовать нормального листа с целочисленными сторонами независимо от единицы измерения - будь то сантиметры, дюймы, миллиметры или микрометры.

Отношение сторон нормального листа равно √2. Это число, которое, будучи помножено на себя, дает 2. Мы показали сейчас, что √2 не является числом рациональным, т. е. что его нельзя представить в виде отношения а/b двух целых чисел а и b.

Этот результат наглядно демонстрируется на «решетке целых чисел». Такую решетку можно представить себе как результат расстановки точек в шеренги и колонны на равных расстояниях друг от друга наподобие того, как расставляют в поле шесты с хмелем. Проводя прямые линии вдоль шеренг и колонн, получим шахматную доску, покрывающую всю плоскость.

Приложив нормальный лист к левому нижнему углу рисунка, проведем на нем прямую по диагонали этого листа (наклонная прямая на рисунке). Взгляд наблюдателя, направленный по этой прямой, не встретит на своем пути ни одного шеста  (почему?).

Число √2 можно записать в таком виде:

 

 

 

Действительно, если обозначить всю эту дробь через х, то дробь под первой чертой будет 1+х. Таким образом,

 

 

Мы будем получать приближенные значения 1, 3/2, 7/5, 17/12,... числа √2 обрывая дробь перед первым, вторым, третьим, четвертым и т.д. знаком плюс. Угловой коэффициент наклонной на рисунке есть √2. Числа 1, 3/2, 7/5, 17/12, ... определяют некоторые точки решетки; например, 3/2 означает точку, расположенную на две единицы правее и на три единицы выше точки в левом нижнем углу. Мы видим, что эти точки (крупные колечки на рисунке) все ближе подходят к наклонной прямой.

Нам уже известно, что √2 не является отношением никаких целых чисел а и b. Следовательно, не существует целых чисел а и b, таких, что a2 = 2b2. Другими словами, два одинаковых военных подразделения, построенные в квадраты, нельзя перестроить в один квадрат. Это, однако, всегда можно сделать, если брать одним солдатом больше или меньше. Такие построения можно осуществить как раз с помощью найденных выше дробей:

22 + 22 = 32 — 1,      52 + 52 = 72 + 1,      122 + 122 = 172 — 1.

Все эти дроби получаются из дроби ¹/₁: сумма 1 + 1 = 2 дает знаменатель следующей дроби, а сумма 2 + 1 — ее числитель; сумма 3 + 2 = 5 есть третий знаменатель, а 2 + 5 = 7 — третий числитель и так далее:

 

 

Арифметические формулы, связывающие любую дробь p/q этого ряда со следующей за ней дробью P:Q, таковы:

Q = p + q,      P = q + Q = p + 2q.

Допустим, что дробь p:q определяет перестройку двух квадратов в один с ошибкой ±1:

p2 — 2q2 = ±1.

Тогда легко убедиться, что то же самое верно и для следующей дроби P:Q:

P2 — 32 = (р + 2q)2 — 2(p + q)2 = p2 + 4pq + 4q2 — 4pq — 2p2 — 2q2 = 2q2 — p2 = ±1.

Но дробь ¹/₁ годится для требуемой перестройки: 12 — 2 • 12 = ± 1. Отсюда следует, что следующая дробь нашего ряда тоже годится, и так далее; все дроби ряда дают требуемые квадраты. Об этом уже было сказано выше, но теперь мы имеем доказательство.

Наше рассуждение напоминает детский фокус с домино.

Кости домино устанавливаются в ряд и первая из них опрокидывается; тогда опрокидываются и все остальные кости.

Чтобы это предвидеть, не нужно знать ничего, кроме следующего: первая кость повалена и кости установлены так, что любая поваленная кость повалит следующую. Утверждая, что при этих условиях фокус с домино должен получиться, мы пользуемся правилом, называемым математической индукцией.

Числа рациональные и иррациональные связаны с проблемой музыкальной гаммы.

Иррациональными называют такие числа, которые подобно числу √2 не могут быть представлены в виде отношения а:b двух целых чисел а и b. В гамме c-dur  интервалы с — d, d — е, f — g, g — a, a — h должны   быть   одинаковы   (один   тон),   а   интервалы   е — f и h — с — в два раза меньше (полтона).

Давно уже опробованы на монохорде простейшие аккорды. Выяснилось, что совместное звучание тем приятнее для слуха, чем меньше целые числа, выражающие отношение чисел колебаний в секунду.

Высокому с отвечает в два раза большее число колебаний в секунду, чем низкому с, поэтому октава выражается отношением 2:1. Отношение 3:2 дает квинту (g:c), 4:3 — кварту (f:c), 5:4 — большую терцию (е:с), 6:5 малую терцию (f:d). Интервал с — с содержит 12 полутонов, или 4 малые терции, следовательно, должно быть (6/5)4 = 2. Однако дробь слева составляет 2,0736, т.е. больше 2. С этим ничего нельзя поделать: невозможно так установить высоту тонов, чтобы все аккорды выражались бы отношениями целых чисел и не менялись бы с изменением тональности.

Между f и g лежит fis (черная клавиша в самой середине октавы); интервал от низкого с до fis таков же, что и интервал от fis до высокого с — увеличенная кварта. Если отношение чисел колебаний в секунду fis:с обозначить через х, то должно получиться х · х = 2, т.е., х — √2 , а это — число иррациональное.

Фортепиано — темперированный инструмент: все полутоновые интервалы у него одинаковы и, значит, теоретически отвечают отношению чисел колебаний 12√2; зато аккорды на фортепиано не являются чистыми. Поэтому скрипач, следуя своему слуху, отступает от фортепиано, хотя и настраивает по нему перед концертом скрипку: у него увеличенная кварта выражается отношением 7:5, так что его кварта так же близка к темперированной увеличенной кварте, как точка 7/5 на решетке целых чисел  — к наклонной прямой.

Бесконечная   дробь,   выражающая   √2,   не   является   простейшей. Простейшей, очевидно, будет дробь

 

 

 

 Обозначим величину этой дроби через х. Под первым числителем стоит та же самая дробь, следовательно,

X = 1 + ¹/_x,      x² – x = 1,      x = ¹/₂ (√5 + ) = 1,618…

Прямоугольник назовем «золотым», если при отсечении от него квадрата остается прямоугольник, подобный первоначальному. Пусть длины его сторон будут а и b. Тогда

a : b = b : (а—b),     a² — ab = b²,     (a : b)² — (a : b) = 1.

Дробь a : b удовлетворяет тому же уравнению, что и х, и поэтому равна  (√5 + 1) : 2. Это число иррациональное  (почему?), так, что никакие также, как и в случае V2, обрывая нашу дробь на первом, втором, третьем и т. д. знаке плюс. При этом получатся дроби

1/1,     2/1,     3/2,     5/3,     8/5,     13/8,    ...,

которые дают все более точные приближения золотого числа 1,618... Знаменатели этих дробей 1,1,2,3,5,8,13,21,... образуют последовательность чисел, называемых числами Фибоначчи. Каждое из чисел в этой последовательности, начиная с числа 2, получается сложением двух предыдущих чисел:

1 + 1 = 2,    1 + 2 = 3,    2 + 3 = 5,    3 + 5 = 8,   ...,

Пользуясь методом математической индукции, можно показать, что n-й по порядку член последовательности чисел Фибоначчи равен

 

 

Золотой прямоугольник, раскладывается на бесконечное число квадратов: сначала от него отделяется квадрат, затем от оставшегося прямоугольника снова отделяется квадрат и т. д. Из рисунка видно, что вершины этих квадратов, оказавшихся внутри большого прямоугольника, лежат на двух прямых: диагонали большого прямоугольника и диагонали прямоугольника, получившегося после удаления первого квадрата (почему?). Это разложение на квадраты служит геометрическим образом бесконечной дроби, составленной из одних только единиц.

Если ствол пускает новую ветвь, то на следующий год он «отдыхает» и только через год пускает еще одну ветвь — точно так же ведет себя каждая ветвь. Поэтому сначала имеется только главный ствол, на следующий год — две ветви, еще год спустя — 3, потом 5, 8, 13, ...— как в последовательности Фибоначчи.

Внутренние дворы дворца, обрамленные колоннадами, имеют форму, близкую к форме золотого прямоугольника.  Золотым  сечением называется такое деление отрезка на два отрезка, при котором отношение всего отрезка к большему равно отношению большего к, меньшему. В этом случае оба отношения выражаются золотым числом (почему?).

Представим себе, что трем пастухам поручили стеречь скот на квадратном пастбище. Пастухи, скорее всего, поделят пастбище на три прямоугольных участка каждый расположится в центре своего участка и будет стеречь скот только на этом участке.

Если пастух С окажется смекалистей своих товарищей, то он предложит им другое деление на участки, при котором все три пастуха будут находиться на одинаковом расстоянии от наиболее удаленных точек, своих участков. Это расстояние, равное половине диагонали каждого из новых участков, будет меньше, чем для прежних участков.

Через некоторое время А и В заметят, что их участки больше, чем у С, и предложат новый раздел на участки, при котором все трое останутся на своих местах, расстояния до наиболее удаленных точек, не изменится, но будет соблюдено естественное условие, что каждая точка квадрата контролируется тем   пастухом, который расположен к ней ближе других.

Однако у С по-прежнему останется самый маленький участок, и В предложит еще одно изменение, при котором за счет увеличения участка, отведенного С, участки станут равными, пастухи останутся на прежних местах и расстояния до наиболее удаленных точек тоже останутся прежними.

Но когда предложение В будет принято, А заметит, что вне его участка имеют точки, до которых ему ближе, чем двум другим пастухам. Тогда С укажет, как должны изменить свои позиции А и В, чтобы выполнялось условие ближайшего пастуха без изменения границ участков. Послушавшись С, пастухи А и В вскоре обнаружат, что у них расстояния до наиболее удаленных точек больше, чем у С. В конце концов пастухи согласятся вернуться к первоначальному разделу на три одинаковых прямоугольных участка.

 

 

 

 

Разбиение треугольника на предпоследнем рисунке напоминает пчелиные соты. На фотографии запечатлены шестиугольные отверстия, заполняющие плоскость.

В каждой точке сходится не более трех  шестиугольников; только разбиение плоскости на шестиугольники обладает этим свойством — при любом другом разбиении будут существовать точки, в которых сходится более трех областей.

Нам уже известно разбиение плоскости на квадраты (шахматная доска). Деформации этого разбиения дают всевозможные паркеты из четырехугольников.

Последний паркет этого класса — треугольный; не может быть никакого паркета из одинаковых правильных многоугольных плиток, кроме указанных трех.

Существуют еще однородные паркеты: однородный паркет составлен из нескольких видов правильных плиток, причем в каждом стыке сходится равное число плиток одного и того же вида. Поскольку угол правильного n-угольника составляет 2—4/n прямых или 1/2—1/n часть полного угла, то всякому однородному паркету отвечает некоторый набор натуральных чисел n, р, q, r, .... удовлетворяющих уравнению

½ - ¹/_n + ½ - ¹/_p + ½ - ¹/_q + ½ - ¹/_r + /… = 1

Это уравнение имеет 17 решений, но только 11 из них можно реализовать в виде паркетов, плитки которых заполняют всю плоскость и не находят одна на другую. Три из них уже известны, некоторые другие показаны на рисунках.

Быть может, еще более красивы неоднородные паркеты.

Неоднородных паркетов бесконечно много (почему?).

Какому из паркетов следует отдать предпочтение? В известном смысле можно выделить первый, составленный из шестиугольников, который мы видим на фотографии пчелиных сот. А именно, если мы пожелаем разбить бесконечное поле на участке размером в 1 гектар так, чтобы на ограждения пошло как можно меньше материала, то участкам нужно будет придать форму правильных шестиугольников. (Каково точное содержание этого утверждения?)

Связанные с этим расчеты находят применение в обувной промышленности. И ширина, и длина ступни у всех людей разные; если к углу дощечки приложить прямоугольник такой ширины и длины, как у ступни, то противоположная вершина прямоугольника даст нам некоторую точку дощечки; разным ступням будут отвечать разные точки. Фабрика, желающая производить мужскую обувь, должна получить через обувные магазины замеры стоп большого числа покупателей; в результате на измерительной дощечке появится целый ряд точек. Если наберется несколько сотен или тысяч точек, то окажется, что точки довольно плотно заполняют некоторую область и только несколько точек лежит за ее пределами. Для этих немногих аномальных стоп фабрика производить обуви не будет. Для нормальных мужских стоп можно будет ограничиться, скажем, 27 типами обуви разной ширины и длины. Фабрика должна изготовить 27 различных колодок и возникает вопрос: как выбрать размеры этих колодок? Понятно, что на дощечке нужно нанести 27 точек с таким расчетом, чтобы каждая точка выделенной области оказалась как можно ближе к одной из них.

Обычно точки расставляются так, как на рисунке; каждую точку можно считать центром квадрата, что отвечает квадратному паркету. Можно, однако, пользоваться паркетом из шестиугольников; тогда каждая точка будет центром правильного шестиугольника.

Оказывается второй способ выгоднее: при одном и том же числе 27 колодок применение шестиугольной сетки позволяет уменьшить максимальное расстояние точек области до ближайших центров, что дает возможность точнее подобрать нужный размер обуви. Можно изготовить дощечку, выложенную шестиугольниками с указанными на них номерами обуви; приставив ступню к бортам дощечки и примкнув к ней подвижный угольник, мы по его вершине найдем шестиугольник с нужным нам размером обуви.

Трещины в подсушенном на солнце иле на берегу реки или в эмали на кафельных плитках кажутся совершенно беспорядочными. Но если присмотреться к ним внимательнее, то становится заметно что углы между трещинами близки к прямым. Это явление можно объяснить, допустив, что трещины образуются в результате сокращения поверхностного слоя ила. По законам механики трещина должна пойти таким образом чтобы работа, затраченная на. ее образование, была наименьшей. Эта работа пропорциональна площади сечения вдоль линии разрыва. Поэтому разрыв должен происходить па линии, отвечающей наименьшему возможному сечению. В случае однородного поверхностного слоя из этого вытекает, что трещины образуют прямые углы. Меняющаяся толщина слоя обусловливает искривления трещин (почему?).

Каждая точка ветвления является точкой гладкой линии, в которой берет свое начало некоторая боковая линия; гладкая трещина — более старая. Это замечание позволяет проследить всю генеалогию трещин и в конце концов найти предков всего семейства.

Представим себе что вначале на рисунке были изображены две области, А и В. При добавлении новой линии, соединяющей две точки первоначальных линий, получается новая область С; поскольку каждая из прежних дуг делится новой на две части, то общее число дуг увеличивается на три. Через n шагов получаем карту с новыми n странами, причем число границ увеличится на Зn. Вначале было две страны и три границы? поэтому теперь получится n + 2 стран и Зn + 3 границ. Если внешнюю область также считать страной (океан), то придем к n + 3 странам с Зn + 3 границами. Каждая граница разделяет две соседние страны, т.е. на любую границу приходится два соседства: X с Y и Y с Х.

В результате  имеем   2(3n + 3) = 6n + 6  соседств  и  n + 3  страны;  значит,  среднее число соседей на страну будет

(6n + 6)/(n + 3) = 6 – 12/(n + 3).

Это число меньше шести, но приближается к шести с ростом числа стран; напомним, что океан считается за страну, а число k материковых стран есть n + 2, так что среднее число соседей на страну составляет 6 — 12/(k + 1).

Исключим теперь океан и морские границы. На этом мы потеряем одну страну и по крайней мере шесть соседств,, если не менее трех стран имеют морские границы. Тогда среднее число соседей на одну страну снизится и будет меньше 6 - 12/(k + 1), а значит, заведомо останется меньше шести.

Мы предположили, что число стран с морскими границами (при k ≥ 3) не меньше трех. Но легко нарисовать карту с несколькими странами (например, с 10), из которых только одна или две имеют выход к морю; это можно будет сделать, если допустить существование стран, имеющих форму кольца, или же стран, которые граничат с какой-нибудь другой страной по двум отдельным границам. Не учитывалось также и то, что в одной точке могут граничить более трех стран.

Мы хотели бы знать, для всякой ли карты среднее число соседей у одной страны меньше шести? С этой целью рассмотрим произвольную карту — только каждую страну будем предполагать связной (Германия накануне 1870 г. не отвечала бы этому требованию). Нашу карту можно получить, начав с одной страны и пририсовывая затем поочередно новые границы: каждый раз будем соединять две граничные точки (которые, в частности могут, совпадать) или рисовать замкнутую линию внутри одной страны. Это необязательно даст новую страну (почему?), но в таком случае не возникнет и новых соседств.

Если получится новая страна, то только одна, а число границ может увеличиться на 1, 2 или 3. Следовательно, прибавится самое большее шесть соседств, и мы, рассуждая как прежде, убеждаемся, что среднее число соседей на страну не превзойдет шести. На этот раз, однако, океан не исключался и считался за страну. Если учитывать только материковые страны и сухопутные границы, то, как показывают многие примеры, полученная оценка для среднего числа соседей остается в силе. Доказать, что это так, по-видимому, нелегко, и автор не гарантирует, что это вообще возможно. Представим себе, что, начиная с года, мы регулярно измеряем рост ребенка, нанося метки на рейке и проставляя рядом возраст ребенка: 1 год, 1,1 года, 2 года и т. д.

Пусть скорость роста обратно пропорциональна времени: двухгодовалый ребенок, растет в два раза медленнее, чем годовалый, трехлетний — в три раза медленнее годовалого и т. д. Тогда числа на рейке дадут шкалу, которая называется логарифмической. Такие именно шкалы видим мы на логарифмической линейке. Их на ней четыре: две верхние и две нижние; две средние нанесены на подвижной планке. Обе верхние шкалы одинаковы, обе нижние тоже одинаковы, но увеличены в два раза по сравнению с верхними. При любом положении подвижной планки числа верхней неподвижной шкалы будут пропорциональны стоящим непосредственно под ними числам верхней Подвижной шкалы. Например, в положении, показанном на рисунке, числа самой верхней шкалы в 2,45 раза больше чисел примыкающей к ней подвижной шкалы, поэтому чтобы умножить 3,45 на 2,45, достаточно установить риску окошечка на делении 3,45 подвижной шкалы — она укажет тогда на верхней неподвижной шкале искомое произведение 8,45. Ошибка будет не более 3%. Числа самой верхней шкалы являются квадратами стоящих под ними чисел самой нижней шкалы. Риска на снимке показывает, что 2,912 = 8,45. Следовательно, линейка позволяет находить квадратные корни (как?). Логарифмическая линейка особенно удобна для вычислений по тройному правилу.

Если смешиваются две жидкости разной плотности, например, два сорта бензина или бензин и нефть, то для определения плотности смеси можно воспользоваться номограммой. Широкая наклонная шкала — подвижная. Плотность более легкой жидкости дается показанием подвижной шкалы в точке пересечения с левой вертикалью, плотность более тяжелой — показанием той же шкалы в пересечении с правой вертикалью; в точке пересечения наклонных шкал показание неподвижной шкалы означает процент объема смеси, приходящейся на более тяжелую жидкость, а показание подвижной — плотность смеси.

Чтобы определить плотность смеси, составленной на 55% из нефти с плотностью 0,830 и на 45% из бензина с плотностью 0,543, совмещаем деления 0,830 и 0,543 подвижной шкалы с правой и левой вертикалями и, передвигая шкалу вдоль этих вертикалей, добиваемся, чтобы точка пересечения наклонных шкал пришлась на деление 55 неподвижной шкалы. В той же точке подвижной шкалы снимаем показание 0,701 — это и будет искомая плотность смеси. Доказательство основывается на подобии треугольников, получающихся в пересечении шкал и вертикалей. Если жидкости отличаются по плотностям меньше, чем на 20%, то вместо вертикалей следует воспользоваться двумя параллельными наклонными прямыми. Зная любые три из четырех величин, можно определить четвертую; например, по плотностям смешиваемых жидкостей и самой  смеси с  помощью номограммы  легко найти  процентное содержание жидкостей в смеси (как?).

Некоторые номограммы более просты, например, номограмма фотографов. Расстояния f, g, h от линзы до предмета, изображения и фокуса удовлетворяют на основании законов оптики соотношению   1/f + 1/g = 1/h.

Если на номограмме провести прямую через деления, отвечающие двум из этих величин, то мы найдем третью. Например, в нашем случае предмет расположен на расстоянии 7,5 дюйма от линзы, фокусное расстояние которой равно трем дюймам, поэтому изображение по другую сторону линзы будет находиться от нее на расстоянии пяти дюймов.

По этой номограмме можно определить, сколько времени (h) потребуется двум людям на совместное выполнение некоторой работы, если один из них может выполнить ее сам за f часов, а другой за g часов. (Если один рабочий нагружает машину за 5 часов, а другой за 7,5 часа, то  работая вместе, они закончат погрузку за 3 часа.)

Можно строить номограммы, не градуируя шкалы числами. Формула Мерсенна

 

 

выражает число n колебаний струны в секунду через длину струны L в метрах, радиус сечения струны r в миллиметрах, силу натяжения струны Р в килограммах силы и плотность материала струны d в граммах на кубический сантиметр; в формулу входит также число π=3,14159... Если заранее считать, что длина струны составляет 1 м, а сила натяжения — 100 кгс, то можно будет построить номограмму, которая позволит определять радиус сечения струны по высоте звука и материалу, из которого она изготовлена.

Например, на нашем рисунке пунктирная прямая в пересечении с остроконечной кривой дает радиус сечения железной струны (Fe), издающей звук ля.

Номограмма строится сначала в числах: берутся логарифмы обеих частей формулы и строятся соответствующие логарифмические шкалы (как, на логарифмической линейке); потом числа на шкале частот колебаний заменяют нотным станом со скрипичным ключом, т. е. вместо частот колебаний указывают отвечающие им тоны; вместо плотности металла проставляют название металла данной плотности, а за величину радиуса принимают величину отрезка, высекаемого подходящей кривой. Если известны материал струны и ее радиус, то по номограмме можно определить высоту тона. Некоторые из промежутков между нотными делениями больше других (почему?)

Изображенный на целочисленной решетке многоугольник иллюстрирует следующее утверждение: если внутри многоугольника с вершинами в точках решетки лежит i, а на его границе — b точек решетки, то площадь  многоугольника равна произведению площади единичного квадрата решетки на сумму i + b/2 — 1.

Например, в данном случае площадь равна 6 + 11/2 — 1 = 10,5.

Это утверждение легко проверяется для прямоугольника. Если на его основании лежит т + 1 точек, а на высоте n + 1 точек, то площадь прямоугольника будет равна тn квадратных единиц. На границе лежат четыре точки в вершинах и еще по т — 1 точек  на горизонтальных сторонах и по n — 1 на вертикальных, поэтому для числа b граничных точек имеем

B = 4 + 2(т— 1) + 2(n— 1) = 2т + 2n.

Точки решетки внутри прямоугольника образуют т — 1 колонн и п — 1 рядов, поэтому произведение этих чисел дает число внутренних точек;

i = (m — 1) (n — 1).

Подсчитаем далее сумму i + b/2 — 1:

(т — 1)(n — 1) + 1/2(2т + 2n) — 1 = тn.

Эта сумма, как мы видим, численно равна площади прямоугольника. Заметим теперь, что из двух многоугольников, имеющих одну общую сторону, можно сделать один, если эту сторону удалить; при этом число i + b/2 — 1 для полученного многоугольника будет суммой соответствующих чисел для исходных многоугольников (почему?). Тем самым число i + b/2 — 1 для треугольника, полученного в результате деления прямоугольника диагональю, будет равно половине соответствующей суммы для прямоугольника и, следовательно, — ввиду справедливости утверждения для прямоугольников, — будет выражать площадь треугольника. Но любой многоугольник, с вершинами в точках решетки можно получить, объединив, а затем удалив несколько таких треугольников. Поэтому наше утверждение верно для любого многоугольника с вершинами в точках решетки.

Решетки целых чисел можно использовать и для измерения площадей произвольных областей, а не только многоугольников. Любую область можно расположить на решетке таким образом, что число точек, попавших внутрь области, будет больше или равно площади области, выраженной в квадратных единицах решетки.

Площадь заштрихованной области равна 11 квадратным единицам. Расположим эту область на решетке произвольным образом и произведем разрезы вдоль линии решетки. Вся фигура разобьется на отдельные квадратики.

Сложив их в одну стопку, мы сможем проткнуть эту стопку булавкой в таком месте, что, по меньшей мере, 11 заштрихованных частей будут проколоты. Иначе булавка протыкала бы всегда не более 10 таких частей и оказалось бы, что проекции этих частей покрывают нижний квадрат не более 10 раз, - т. е. площадь всей области не превосходит 10 квадратных единиц решетки, — а нам дано, что она равна 11 квадратным единицам.

Отыскав нужную точку и сделав прокол, расставим снова квадраты по своим местам, так, как было до разрезания.

Если большой точности не требуется, то решетку целых чисел можно использовать для измерения площадей. Например, можно измерить площадь листка, наложив на него кальку (или целлулоидную пластинку), на которую нанесены точки по образцу. Если на листок, придется n точек, и расстояние между соседними точками будет 3,16 мм, то площадь листка будет около 10n мм². Можно улучшить этот метод, если расставить точки так, как показано на рисунке.

(Какими должны быть расстояния между соседними точками?)

Пусть выпуклая фигура площади 4 имеет центр, т. е. точку, в которой любая проходящая через нее хорда делится пополам. Наложим эту фигуру на решетку целых чисел так, чтобы центр совпал с точкой решетки, а в остальном произвольно; тогда внутри фигуры (или на ее границе) окажется по меньшей мере еще 2 точки решетки. Эта теорема принадлежит Минковскому; доказать ее не просто.

Мы воспользуемся теоремой Минковского, чтобы оценить, как далеко можно видеть сквозь чащу шестов для хмеля. Удалим один шест и расположим в этом месте наблюдателя. Маленькие кружки изображают проекции  шестов; пусть их радиус будет r. Всякий луч просматривается до тех пор, пока точки решетки отстоят от него более чем на r. Построим какую-нибудь прямоугольную полоску с центром в наблюдательном пункте шириной 2r и длиной 2/r Площадь этой полоски равна 4, а центр находится в точке решетки; следовательно, по теореме Минковского внутри полоски или на ее границе окажутся по меньшей мере еще две точки решетки. Кружки с центрами в этих точках пересекут среднюю линию полоски (отстоящую от краев полоски на расстояние r) или будут касаться этой линии и закроют обзор. Следовательно, дальность обзора не превышает 1/r.

С другой стороны, иногда удается видеть почти на такое расстояние. А именно, будем смотреть по касательной к ближайшему кружку в той же колонке; продолжим эту прямую до пересечения с пунктирной линией центров ближайшей колонки и подсчитаем, на каком расстоянии находится точка пересечения. Большой прямоугольный треугольник подобен малому, а требуется вычислить гипотенузу большого. Подобие треугольников дает пропорцию h : 1 = 1 : r, откуда h — 1/r. Однако дальность обзора будет меньше h, так как на пути встретятся кружки ближайшей колонки. Сдвинем такой кружок вдоль линии центров так, чтобы он касался выбранной  прямой. Получится еще один малый треугольник, равный прежнему. Его сторона на выбранной прямой равна √1 — r² , поэтому в наихудшем случае дальность обзора составит 1/r — √1 — r^2. Правда, на пути еще раньше стоит точка касания с ближайшим к наблюдателю кружком, но это препятствие будет устранено, если мы чуть-чуть изменим угол зрения, что почти не уменьшит дальности. Таким образом, мы увидим некоторые точки на расстоянии, чуть меньшем 1/r — √1 — r², но точки, отстоящие на расстояние 1/r, уже не будут видны. Если, например, расстояние между шестами равно 50 см, а их диаметр — 5 см, то приняв за единицу решетки 50 см, получим: r = 0,05 единицы, 1/r = 20 единиц = 10 м, 1/r — √1 — r² = 19,0013 единиц ≈ 9,5 м; следовательно, расстояние до наиболее удаленной точки будет лежать в пределах от 9,5 до 10 метров. Измерение площадей проще измерения - длин. Если контур области задан с некоторой точностью, то площадь области, можно оценить с ошибкой, которая уменьшается по мере уточнения контура; если контур можно указать с какой угодной точностью, то и ошибку можно сделать как угодно малой.

Иначе обстоит дело с длинами. Две весьма близко расположенные кривые могут значительно отличаться по длине: например, зигзагообразная ломаная почти на 40% длиннее прямой.

Существуют также линии бесконечной длины — если мы допускаем существование объектов, имеющих корректные математические определения, и не интересуемся вещественными моделями. Математикам нужны такого рода линии в их теоретических исследованиях. Так, в одном из исследований решается задача об описании кривой, проходящей через все точки квадрата — и внутренние, и граничные. Строя свое решение, Серпинский начинает с многоугольника, потом из четырех подобных многоугольников составляет крест, потом из четырех подобных крестов составляет новый крест и продолжает так далее, раз за разом повторяя один и тот же прием.

В пределе эти приближения дают кривую, заполняющую квадрат: можем считать ее траекторией движущейся точки и для каждой точки квадрата указать, в какой именно момент через нее пройдет движущаяся точка. Эта кривая имеет бесконечную длину. Она не может быть нарисована в своей последней, идеальной стадии (почему?).

Всматриваясь в рисунок, мы замечаем, что он покрыт как бы сеткой диагональных прямых (почему?).

Вокруг области, ограниченной замкнутой кривой, например, области, имеющей форму озера Снярдвы, можно описать квадрат.

Для измерения длин можно пользоваться клетчатой сеткой — по образцу шахматной доски. На прозрачную кальку наносится сетка, каждое очко которой представляет собой клетку со стороной 3,82 мм. Прямые одного из двух направлений сетки проводятся под углом 30° к ее краю. Чтобы измерить, например, длину Вислы, нужно положить кальку на карту, совместив их края, и пройти Вислу от истока до устья, двигаясь по клеткам сетки ходом шахматной ладьи и считая число переходов; затем калька переворачивается на другую сторону и проделывается то же самое; наконец, совместив одну из прямых сетки с краем карты, повторяют эту операцию третий раз. Суммарное число переходов дает искомую длину в миллиметрах. Масштаб нашей карты равен 1:5000000, поэтому чтобы найти длину Вислы в километрах, нужно умножить полученное число на 5.

Объясним принцип действия такого лонгиметра на примере измерения отрезка прямой длиною L миллиметров. Число ходов шахматной ладьи вдоль отрезка равно сумме проекций отрезка на оба направления сетки, если принять сторону клетки за единицу измерения. После трехкратного наложения лонгиметра получим сумму проекций на шесть направлений. Из сказанного ранее видно, что эти направления образуют звезду, между лучами которой заключен угол 30°. Если, с одним из направлений отрезок составляет угол а, то со всеми шестью направлениями он образует углы

   а + 0°,        а + 30°,        а + 60°,

    а + 90°,      а + 120°,     а + 150°.

Поэтому сумма проекций равна

 L[sin(a + 0°) + sin(a + 30°) + sin(a + 60°) + sin(a + 90°) + sin(a + 120°) + sin(a + 150°)].

Выкладки показывают, что эта сумма имеет наименьшее значение при а = 0° и наибольшее значение при а = 15°. Таким образом, при любом а сумма проекций будет не меньше

L(0 + 1/2 + √3 /2 + 1 + √3 /2 + 1/2) = 3,732L.

и не больше

 L{(√6 - √2)/4 + √2/2 + (√6 + √2)/4 + (√6 + √2)/4 + √2/2 + (√6 - √2)/4} = 3,864L.

В качестве единицы измерения мы взяли отрезок длиной 3,82 мм; поэтому чтобы выразить сумму проекций в миллиметрах, нужно разделить полученные результаты на 3,82. Тогда вместо точного значения L мы получим величины 0.977L и 1,011L. Следовательно, лонгиметр измеряет длину отрезка с ошибкой от —2,3% до 1,1%. Но любую кривую можно считать составленной из небольших отрезков прямой, поэтому относительная ошибка при определении длины всей кривой также будет лежать в этих пределах; как. правило, она будет даже меньше (почему?).

На некоторых картах приводятся горизонтали (изогипсы), которые дают представление о перепадах высоты на местности. Измеряя общую длину этих горизонталей, можно оценить среднюю крутизну местности.

При использовании для этой цели лонгиметра подсчитывается число пересечений его прямых с горизонталями.

Для определения направления и величины максимального уклона плоской покатой местности (что может иметь практическое значение, например, при дренаже местности) не требуется ни сложных измерений, ни сложных выкладок, Измеряется уклон в произвольном направлении ОХ и на карте в этом направлении откладывается отрезок,  длина которого в сантиметрах равна величине уклона в процентах; затем то же самое повторяется для направления OY, перпендикулярного к ОХ, после чего фигура достраивается до прямоугольника; его диагональ дает направление и величину максимального уклона; в примере на рисунке наибольший уклон составляет 5%. Рулетка, шест с делениями и уровень с визиром - вот все, что нужно для измерений.

Все еще остается открытым вопрос о длине линий, которые дает нам природа, а не математическое определение. Когда измеряется длина реки, возникает трудность, связанная с мелкими извилинами в ее течении. Такие реки или горные хребты служат иногда границами между странами. Переходя ко все более подробным картам и соответственно увеличивая точность измерений, мы можем оказаться в ситуации, когда длина возрастает неограниченно.

Лонгиметр позволяет обойти эту трудность, но имеет тот недостаток, что его точность ограничена величиной квадрата земной поверхности, представляемого на карте клеткой лонгиметра. Эта величина меняется с изменением масштаба карты, и в разных случаях следовало бы рекомендовать разные масштабы и надлежащие лонгиметры. Такие рекомендации составить было бы нелегко.

Можно, однако, измерять длины, подсчитывая число пересечений параллельных линий на кальке с кривой на карте (мы уже упоминали этот метод в связи с измерением горизонталей). Пусть n — число пересечений, d — расстояние между параллельными линиями, a k — число различных положений кальки: тогда число L = nπd/2k дает приближенное значение длины. Все k положений кальки получаются последовательными поворотами на угол 180°/k.

Этим мы еще не освобождаемся от парадокса бесконечной длины. Чтобы избежать парадокса, условимся, что на каждой прямой все точки пересечения, начиная с одиннадцатой, считаться не будут. Указанное ограничение приведет нас к определенной величине, которую мы обозначим L₁₀ и назовем длиной десятого ранга. Этим мы еще не освобождаемся от парадокса бесконечной длины. Чтобы избежать парадокса, условимся, что на каждой прямой все точки пересечения, начиная с одиннадцатой, считаться не будут. Указанное ограничение приведет нас к определенной величине, которую мы обозначим L₁₀ и назовем длиной десятого ранга.

Это понятие свободно от парадокса длины; если переходить к более подробным картам и увеличивать точность измерений путем увеличения k и уменьшения d, то, ограничивая число учитываемых точек пересечения десятью, мы будем получать по формуле для L числа, все более близкие к некоторому пределу — идеальной длине L₁₀. Точно так же определяются длины любых рангов L₁, L₂, ..., L_m, ...

Это правило позволяет указать процедуру измерения, которая свободна от таких единиц длины, как километры, мили или версты: для сравнения длин границ различных стран можно было бы, например, во всех случаях пользоваться длиной двенадцатого ранга.

Пусть L'_m и L"_m означают длины левого и правого берегов Вислы одного и того же ранга т. Парадокс длин может проявиться теперь в новой форме:

            lim L'_m = ∞,     lim L"_m = ∞.

m → ∞               m → ∞

Можно, однако, ожидать, что отношение L'_m/L"_m, имеет конечный предел. Чтобы найти этот предел с любой желаемой точностью, нужно только выбрать т достаточно большим и пользоваться разлинованной калькой, как было указано. Такой метод позволяет определить отношение длин двух берегов Вислы, хотя сами эти длины остаются при этом неизвестными.

 

 

 

 

Стержневой многоугольник позволяет проводить прямые линии без помощи линейки. Инверсор состоит из шести стержней: четыре одинаковых коротких стержня образуют подвижный ромб, а два одинаковых длинных стержня соединяют две вершины этого ромба с неподвижной точкой F₁. Если соединить теперь третью вершину ромба с другой неподвижной точкой F₂ еще одним стержнем, равным по длине расстоянию F₁F₂, и если все соединения шарнирные, то при деформации ромба его свободная вершина будет описывать прямую.

Чтобы определить центр тяжести палки, будем, поддерживая палку в горизонтальном положении ребрами ладоней, постепенно сдвигать руки.

Если центр тяжести находится первоначально между руками, то палка будет оставаться в равновесии: при смещении центра тяжести в сторону одной из рук, давление на нее будет становиться во много раз больше, чем на другую; в конце концов произведение давления на коэффициент трения окажется больше для ближайшей к центру тяжести ладони и тогда движение палки относительно нее прекратится и палка начнет перемещаться относительно другой ладони. В этой игре палки с ладонями руки будут чередоваться до тех пор, пока не сойдутся. А так как центр тяжести остается все время между ладонями, то он окажется в месте их соприкосновения.

Если палка гладкая, то этот фокус проделывается чисто механически, без всякого сознательного усилия и даже — с завязанными глазами.

Все построения, которые выполняются циркулем и линейкой, можно произвести и без линейки. Если, например, заданы только концы отрезка 1—2 и нужно найти его середину, то проводим сначала две окружности радиуса 1—2 с центрами в точках 1 и 2 и находим точку 3 их пересечения; из этой точки проводим окружность того же радиуса и получаем точку 4; из точки 4 проводим окружность того же радиуса (через точки 3 и 2), пересекающую окружность с центром 2  в точке 5; из точки 5 радиусом 5—3 и из точки 1 радиусом 1—5 проводим еще две окружности и находим точки их пересечения 6 и 7; наконец, из этих точек проводим две окружности через точку 5; в их пересечении получаем точку М, которая и будет искомой серединой отрезка. В построении участвует восемь окружностей. (Может ли их быть меньше?)

Если даны две пересекающиеся окружности, то их центры можно найти, пользуясь только линейкой. Выбираем точку а на одной из окружностей и проводим из нее прямую через точку пересечения окружностей ― получаем точку b; по прямой из b через вторую точку пересечения попадаем в точку с; выбрав вместо а другую точку A, получаем таким же образом точки В и С. Пунктирные прямые соединяют а с с и А с С, а также A с а и С с с; получаем две точки, которые соединены на рисунке штрих-пунктирной прямой. Эта прямая проходит через центр окружности аАсС. Повторяя то же построение с другими исходными точками, находим еще одну такую прямую и центр. (Сколько раз мы пользовались линейкой?)

Нельзя указать правило, которое позволяло бы по заданной окружности только циркулем и линейкой построить отрезок той же длины, что и окружность. Отношение длины окружности к диаметру равно 3,141592653... Ксендз А. А. Коханьский, состоявший библиотекарем при короле Яне III, изобрел приближенное построение. Из точки А на окружности проводится окружность того же радиуса - получается точка 1. Окружность того же радиуса, проведенная из точки 1, дает точку 2. Прямая 2—0 в пересечении с касательной к окружности в точке А дает точку 3. Откладывая по касательной от точки 3 отрезок, равный тройному радиусу, находим точку 6; отрезок В ― 6 приближенно выражает длину полуокружности (с какой точностью?).

Если построить всевозможные окружности, проходящие через две заданные точки, то можно будет найти другое семейство окружностей, пересекающих все окружности первого семейства под прямыми углами. Все окружности второго семейства являются окружностями Апполония.

Если на плоскости даны три области произвольной формы, то можно провести такую окружность, которая делит каждую из них  на две равновеликие части. Чтобы разделить область пополам, достаточно одной прямой. Соответствующее свойство пространства выражается «теоремой о бутербродах»: любой ломтик хлеба с маслом и ветчиной можно одним плоским разрезом поделить так, что хлеб, масло и ветчина поделятся пополам.

Коперник установил, что окружность, которая катится по окружности вдвое большего радиуса, находясь внутри ее, каждой своей точкой описывает прямую.

Представим себе хорду меньшей окружности в виде спички, прикрепленной к ней своими концами, и проследим движение спички от момента, когда она коснется своей головкой большей окружности, до момента, когда другой ее конец достигнет центра этой окружности. За этот промежуток спичка заметет область, заключенную внутри прямоугольного треугольника, каждая точка которой пройдет под спичкой ровно один раз. В этом смысле каждый треугольник можно замести спичкой, перемещая ее подходящим образом.

Движение спички, скользящей своими концами вдоль двух пересекающихся прямых, совпадает с ее движением в качестве хорды малой окружности в коперниковой системе двух окружностей. Нужно только принять точку пересечения прямых за центр большей окружности, а малую окружность провести через этот центр и оба конца спички. В каждый момент своего движения малая окружность (с прикрепленной к ней спичкой) будет проходить через эти три точки. Если длина спички равна диаметру малой окружности, то спичка заметет внутренность звезды, называемой астроидой.

Когда одна монета катится по другой такой же монете, точка касания монет обегает полностью обе монеты подвижную и неподвижную. Обводы монет равны, поэтому когда точка касания пройдет половину обвода неподвижной монеты, она пройдет половину обвода подвижной. Однако, после этого, как показывает опыт, подвижная монета снова ляжет «головой вверх» (почему?)

Когда круг катится по прямой, точка на его обводе (гвоздь) описывает циклоиду. В каждый момент точка обвода либо приближается к наивысшей точке, либо удаляется от нее, а скорость подвижной точки пропорциональна ее расстоянию от самой низкой точки круга. (Какова скорость самой низкой точки?).

Пусть по прямой катятся одновременно два круга с одной и той же скоростью и один из них в два раза больше другого; если в начальный момент провести в большем круге вертикальный диаметр, то в процессе всего движения этот диаметр будет касаться циклоиды, описываемой точкой меньшего круга.

Отметим какую-нибудь точку ближе к центру круга, тогда ее траекторией будет гладкая кривая.

А если взять точку на продолжении радиуса, то получим кривую с петлями.

Длина циклоиды равна периметру квадрата, описанного вокруг катящегося круга.

Повернем рисунок на 180°.

Будем теперь считать, что тяжелый маленький шарик Р скатывается по желобу, имеющему форму циклоиды; движение шарика под действием силы тяжести будет таким же, как если бы он был закреплен на обводе равномерно катящегося круга.

Шарик, скатывающийся по такому желобу, опередит другой шарик, скатывающийся по наклонной плоскости, даже если  первому  шарику часть пути придется пройти в гору. На нашем эскизе указано положение шарика, скатывающегося по наклонной плоскости (которая обозначена пунктирной линией), в момент, когда шарик, скатывающийся по циклоиде, пересечет эту плоскость.

Расчеты в подобных задачах значительно упрощаются, если опираться на следующий факт, обнаруженный Кантом: шарики, которые начинают одновременно скатываться из одной и той же точки по разным наклонным плоскостям, будут в каждый момент времени располагаться на некоторой окружности. Из всех шариков, скатывающихся по разным желобкам в определенную точку, быстрее всех у цели окажется шарик, скатывающийся по циклоиде.

Круг имеет наибольшую площадь по сравнению со всеми другими фигурами с тем же периметром. Отсюда следует, что площадь, ограниченная замкнутой кривой длины L, никогда не превышает величины L²/(4π), (почему?).

Если фигура ограничена кривой, отличной от окружности, то ее площадь можно увеличить за счет деформации фигуры, не меняющей длины ограничивающей кривой. Это легко проверяется в случае фигуры с двумя перпендикулярными осями симметрии: фигура разрезается вдоль осей симметрии на четвертушки, две из них переворачиваются на другую сторону, после чего все они снова складываются вместе. Длина периметра не изменилась, но в центре новой фигуры образовался квадрат, который как раз и дает приращение площади.

Круг имеет постоянную ширину: можно катить его рукой по столу, не опуская и не поднимая руки. Но тем же свойством обладают и различные другие фигуры. Если из каждой вершины равностороннего треугольника провести окружность через две другие вершины, то получится фигура постоянной ширины.

Чтобы получить фигуру постоянной ширины с гладким контуром, нужно продолжить стороны правильного треугольника, отложить на продолжениях один и тот же отрезок, а затем провести из каждой его вершины по две   окружности: одну радиусом, равным отложенному отрезку, а другую — радиусом, равным стороне треугольника, увеличенной на этот отрезок. Если катить такой контур по прямой, то высота его самой верхней точки будет оставаться неизменной.

Длина контура постоянной ширины равна длине любого другого контура той же постоянной ширины. Очевидно, что измерение длины лонгиметром дает в обоих случаях одинаковый результат — это и есть доказательство. Отношение длины контура к его ширине равно 3,14159 ...  (почему?).

Круг можно вращать внутри треугольника, сохраняя его касание со сторонами треугольника. В случае равностороннего треугольника фигурой наименьшей площади с таким же свойством является линза, ограниченная двумя дугами окружности, радиус которой равен высоте треугольника.

Одно из свойств круга состоит в том, что шест кругового сечения, изготовленный из однородного материала с меньшей, чем у воды плотностью, остается неподвижным на поверхности воды, как бы ни поворачивать его вокруг собственной оси. Нарисованные здесь контуры,  обладают таким же свойством при условии, что материал, из которого изготовлен шест, в два раза легче воды; эти контуры так подобраны, что любая хорда, делящая их пополам, делит пополам и заключенную внутрь них площадь. Таким образом, свойство одновременного деления пополам контура и площади не является исключительной привилегией круга. Контур, представленный на рисунке, имеет три оси симметрии и содержит три прямоугольных отрезка.

Солдаты разошлись из пункта Р в разных направлениях и остановились через 30 шагов после того как миновали ров, расположенный на расстоянии 60 шагов от Р. В результате возникла кривая, называемая конхоидой Никомеда. Потом все они пошли назад прежней дорогой, сделав три остановки — через 60, еще через 30 и снова через 30 шагов.

Так появились две новые линии: сплошная линия на рисунке и линия с петлей. Пунктирная линия соединяет точки, в которых были сделаны первая и последняя остановки.

Если бы ров шел не по прямой, а по окружности диаметром в 60 шагов, то линии, отвечающие первой и второй остановкам, соединились бы в одну гладкую кривую, называемую улиткой Паскаля.

Круг — самая симметричная из фигур — у него бесконечно много осей симметрии. Чтобы получить симметричный образ какого-либо предмета, можно воспользоваться зеркалом. В этом случае зеркало будет плоскостью симметрии. Пусть таким предметом служит диск, наклоненный к плоскости зеркала; нарисуем на диске два диаметра — один параллельный плоскости зеркала, и второй, перпендикулярный к первому. По другую сторону зеркала увидим отражение диска и его диаметров. Соединяя накрест концы диаметров с их образами, получим точку на зеркале. Данную точку можно считать вершиной конуса, в основании которого лежит реальный диск. Отражением этого конуса будет другой, воображаемый, конус, который мы видим за зеркалом. Но оба конуса, настоящий и воображаемый, можно считать за один, так как образующие воображаемого конуса служат продолжениями образующих настоящего конуса. Так получается модель, представленная на фотографии; зеркало из нее изъято.

Однако прямая, соединяющая центр диска с вершиной конуса, не проходит через центр другого диска, как об этом наглядно свидетельствует черный стержень модели. В этом можно убедиться, если провести секущую плоскость через черные диаметры, наклоненные к зеркалу. На плоскости получатся два симметрично расположенных диаметра, два белых стержня, соединяющих накрест их концы, и черный стержень, проходящий через середину одного из диаметров; то, что середина второго диаметра не попадет на черный стержень, есть очевидный факт планиметрии.

Отсюда вытекает невозможность построения центра круга с помощью одной только линейки. Ведь такое построение заключалось бы в проведении системы прямых, две из которых пересекались бы в центре круга. Проектируя эту систему на второй диск из вершины конуса как из центра, мы получили бы новую систему прямых, отвечающих в отношении второго диска тому же предписанию, что и исходная система в отношении первого диска, поскольку граничная окружность первого диска перейдет в граничную окружность второго, прямые — в прямые, точки пересечения прямых — в точки пересечения соответствующих прямых. Следовательно, центр первого диска, который является одной из этих точек, должен перейти в центр второго диска, но, как мы видели, не перейдет. Это доказательство невозможности весьма показательно как пример применения математического метода.

Чтобы получить плоское изображение трехмерного предмета, мы прибегаем к геометрической перспективе. Фотографическая камера дает ее автоматически, но мастера живописи также пользовались ею, желая создать впечатление глубины пространства.

Горизонтальные параллельные прямые всегда пересекаются в одной точке на линии горизонта картины. Если эти прямые перпендикулярны к фону, то точка их пересечения является главной точкой картины (точка пересечения красных линий на репродукции). Чтобы получить правильное зрительное ощущение реального трехмерного пространства, нужно, чтобы глаз располагался на прямой, проходящей через главную точку перпендикулярно к плоскости картины. Если глаз отклонится от этой линии, то получится иной, искаженный образ модели (почему?).

Оптическая иллюзия зрителя, ощущающего на себе провожающий взгляд с портрета, мимо которого он проходит, легко объясняется. Если бы вместо портрета у стены неподвижно стоял живой человек, то по мере того, как мы его минуем, он представал бы перед нами в меняющемся виде: сначала голова скрыла бы одно ухо. потом за переносицей стал бы скрываться один глаз и т. д. Но если бы этот человек, когда мы идем мимо, поворачивал голову вслед за нами, оставаясь лицом  к  нам, то мы бы видели все время оба уха, оба глаза и т. д. Минуя же портрет, мы из любого положения видим оба уха и оба глаза, так что у нас возникает ощущение, что человек с портрета поворачивается к нам лицом.

Однажды в летний день автору довелось наблюдать рой мушек, которые танцевали подобно комарам на одном месте, затем неожиданно перекидывались все на несколько метров дальше, чтобы и там потанцевать парами и через какую-нибудь минуту вернуться на прежнее место — эта их общая игра повторялась снова и снова. Так продолжалось довольно долго, благодаря чему автор смог грубо оценить скорость, с которой совершались перелеты; она составляла примерно 60 км в час.

При внимательном наблюдении во время перелетов видны были светлые точки. Они прочерчивали в воздухе пунктирные прямые с расстоянием между точками приблизительно в один сантиметр. Это был, конечно, эффект наклонного солнечного освещения: насекомые становились видимыми в момент, когда взмахивали крылышками. Каждая вереница блесток принадлежала одной мушке, а блестки видны были во множестве на траектории мушки благодаря свойству сетчатки глаза удерживать изображение в течение некоторой доли секунды.

Но 60 км в час — это 6 000 000 сантиметров за 3600 секунд или 1667 сантиметров в секунду, а значит, 1667 взмахов крылышками в секунду. Даже если допустить, что из-за ошибки, связанной с грубой оценкой скорости полета и расстояния между блестками, найденное число следует уменьшить на 40%, то и тогда итогом наблюдения будет по меньшей мере тысяча взмахов в секунду. Любопытно, что этот результат удалось получить, не прибегая к инструментам.

Один взмах крылышками для мушки — это то же самое, что для человека шаг. Человек делает два шага в секунду, мушка — 1600 взмахов; значит, жизнь мушки протекает в 800 раз быстрее: две минуты для нее означают то же, что для нас сутки, так что игры мушек в течение одного описанного выше цикла можно сравнить с утренними и вечерними.

Законы симметрии используются в такой игрушке. На деревянной подставке помешается стальной шарик. Короткая трубочка, вделанная в подставку, служит опорой шарику, так что шарик находится на высоте примерно 2 см над подставкой. На подставке смонтирован держатель, заканчивающийся таким же блестящим шариком, который находится на высоте около 30 см над подставкой. Держатель несет также горизонтальную стеклянную пластинку, которая располагается на таком расстоянии от подставки, чтобы служить плоскостью симметрии для шариков. Глядя сверху, мы видим нижний шарик, так как пластинка прозрачна, а также верхний, поскольку пластинка играет роль зеркала. Однако виден будет только один шарик под пластинкой, ибо зрительные образы шариков сливаются благодаря их симметричному расположению.

Уложим теперь глиняную куклу на подставку таким образом, чтобы нижний шарик оказался внутри куклы;  глядя, как и раньше, сверху, мы увидим шарик на прежнем месте, поскольку по-прежнему будет видно отражение верхнего шарика. Но зрительно это отражение будет восприниматься так же, как если бы был виден нижний шарик. Мы сможем убедиться в этом на ощупь, если, добираясь до шарика сквозь глину пальцами или щипцами, безошибочно достигнем его, словно бы глина была прозрачной.

Для этой идеи можно найти практическое применение, использовав ее для локализации чужеродных предметов в теле человека. Здесь, однако, нужен будет рентгеновский аппарат. Сначала нам неизвестно местонахождение предмета в теле пациента (скажем, кусочка иголки) и просвечивание лучами рентгеновской лампы, находящейся под операционным столом, даст на экране, расположенным над пациентом, только проекцию иголки. Лампа подвешена на маятнике, отклонение которого приводит к смещению этой проекции. Но и при новом положении лампы можно вернуть проекцию на прежнее место, поднимая или опуская всю установку (с помощью зубчатого колесика с рукояткой). Стеклянная пластинка и маленькая лампочка, находящиеся над пациентом, связаны с осью маятника таким образом, что в  момент возвращения проекции на прежнюю отметку лампочка займет симметричное с отыскиваемой иголкой положение относительно пластинки. В этот момент экран убирается, в операционной включается обычный свет, и хирург видит перед собой изображение, подобное изображению на фотографии: глядя сквозь пластинку, он видит пациента, а в нем лампочку как раз в том месте, где находится игла.

Теперь можно оперировать, не подвергаясь действию рентгеновских лучей, так как рентгеновский аппарат выключен. Точность локализации не зависит от угла зрения хирурга, как и в описанной выше игрушке.

Некоторые оптические иллюзии весьма поразительны. Будем разглядывать проволочную сетку такого вида, как на рисунке, но сконцентрируем наш взгляд на точке, находящейся перед сеткой, а потом постепенно, не отводя взгляда от этой точки, станем присматриваться к сетке. Квадраты сетки покажутся меньше обыкновенного, а когда мы попробуем дотронуться до сетки, то протянем руку недостаточно далеко и промахнемся. Иллюзия объясняется тем, что квадраты сетки одинаковы и, глядя в точку перед сеткой, мы правым глазом видим квадрат, находящийся слева, а левым — другой квадрат, лежащий правее первого. Оба квадрата дают такие же образы, как один меньший квадрат, находящийся на уровне выбранной точки. Эта точка расположена ближе к нам, чем настоящая сетка, и эффект получается такой, как если бы вся сетка переместилась на уровень выбранной точки, а размеры сетки соответствующим образом уменьшились. Можно и отдалить от себя сетку, но сделать это труднее (почему?).

Различие в образах у правого и левого глаза лежит в основе стереоскопического видения. Такого видения (когда рисунок на бумаге воспринимается как пространственная модель) можно достигнуть с помощью анаглифов. Нужно построить два перспективных изображения: проекцию предмета на бумагу из правого глаза как из центра и такую же проекцию для левого глаза. Первое изображение выполняется синим цветом, второе — красным, и рисунок разглядывается сквозь двухцветные очки, у которых правое стеклышко красное, а левое — синее. Тогда изображение получается рельефным  (почему?).

Когда стержень находится перед нами в горизонтальном положении, но поддерживающих его опор не видно, то трудно оценить расстояние до него. Причина заключается в однородности стержня. Стоит нанести на стержень пятнышко лака, и иллюзия исчезнет — сосредотачивая взгляд на пятнышке, мы создаем у себя ощущение вполне определенного расстояния. В случае отсутствия пятнышка достаточно слегка склонить голову к плечу (почему?).

 

 

 

 

Уже Платону было известно, что существует только пять видов правильных многогранников.

Как составить четыре треугольника из шести спичек? Для этого нужно из трех спичек составить треугольник, лежащий в основании пирамиды, а три другие сделать ее боковыми ребрами. В результате получится правильный четырехгранник - первое из Платановых тел. Его прямоугольная проекция на плоскость основания выглядит так.

Одна из проекций представляет собой квадрат с диагоналями, а модель фигуры можно изготовить, исходя из развертки, показанной на рисунке.

О кубе, втором платоновом теле, мы уже говорили раньше. Из 27 одинаковых кубов можно составить один больший куб. Выкрасив грани большего куба в черный цвет и разложив его снова на маленькие кубы, получим, что некоторые из них будут иметь по три черные грани, другие по две, третьи – по одной, наконец, среди кубов окажутся и такие, на которые краска вообще не попала. По сколько кубов будет в каждой из этих групп?

Из восьми равносторонних треугольников удается составить еще одно платоново тело — правильный восьмигранник. Если установить его на одной из граней как на основании и спроектировать на плоскость этого основания, то мы получим рисунок, из которого видно, что центры граней правильного восьмиугольника являются вершинами куба. Обратно, центры граней куба служат вершинами правильного восьмигранника.

Следующее платоново тело – правильный двенадцатигранник – имеет пятиугольные грани. Модель двенадцатигранника легко получается из его развертки. Нужно перочинным ножиком сделать на ребрах надрезы (с внешней стороны будущей модели) и, поделив развертку на две звезды, наложить одну на другую так, чтобы вышла одна десятиугольная звезда; затем эту звезду следует обвязать резинкой, обходя ею углы поочередно сверху и снизу, и прижимая модель свободной рукою к столу. Отпустив теперь руку, мы увидим, что раскрывшись, звезда превратится в пространственную модель двенадцатигранника.

Для раскраски двенадцатигранника с условием, чтобы соседние грани были разного цвета, потребуется не менее четырех красок. Если выбраны четыре цвета (например, красный, синий, зеленый и желтый), то раскраску можно произвести только двумя различными способами; при этом предполагается; что раскраски, переходящие друг в друга в результате поворотов и зеркальных отражений, не считаются различными.

Последнее правильное тело — двадцатигранник. Его развертка состоит из двадцати равносторонних треугольников.

Горизонтальную проекцию двадцатигранника можно получить одновременно с проекцией двенадцатигранника; действительно, как видно из модели, центры граней двенадцатигранника служат вершинами двадцатигранника. Обратно, центры граней двадцатигранника дают вершины двенадцатигранника. Что же касается четырехгранника то он отвечает сам себе: центры его граней являются вершинами меньшего четырехгранника. В двенадцатигранник можно также вписать и куб, выбрав в качестве его вершин подходящие вершины двенадцатигранника; пусть читатель вообразит себе тело, образованное всевозможными кубами, вписанными в двенадцатигранник.

Одинаковыми шарами нельзя заполнить всего пространства. То же относится и к кругам на плоскости: уложив их с максимальной возможной плотностью, мы получим нечто вроде пчелиных сот и легко представим себе, как при деформации круги перейдут в шестиугольники.

Чтобы наиболее плотно заполнить пространство шарами, следует разбить его на кубические ячейки (кубы берутся без граней, лишь в виде проволочных каркасов), и, считая ячейки попеременно белыми и черными, ставить в каждую белую ячейку такой шар, который касался бы тех ее ребер. При этом половина ячеек будет занята шарами и нетрудно подсчитать, какая часть пространства окажется заполненной шарами. Если через а обозначить ребро ячейки, то радиус шара как половина диагонали квадрата а х а будет a/√2.  Поэтому объем шара составит ³/₄π (a/√2)³, а учитывая, что объем двух ячеек есть 2а³, получим, что искомое отношение равно π√²/₆≈0,7405.

Итак, при максимально плотном заполнении шары занимают примерно 74% всего пространства. Поэтому если в бензиновой эмульсии мыла содержится более 75% мыла, то можно быть уверенным, что не мыльные шарики взвешены в бензине, а шарики бензина в мыле. Такая смесь не воспламеняется (почему?) и мыло, содержащее менее 25% бензина, безопасно в домашнем обиходе.

Наиболее плотное заполнение пространства шарами может быть достигнуто и другим способом. Располагаем сначала шары в один слой так, чтобы вид сверху совпадал с первым рисунком. На этот слой накладываем следующий, точно такой же слой, так, чтобы каждый шар верхнего слоя оказался в ямке, образованной тремя шарами первого слоя. Заметим, что не все ямки окажутся заполненными: если шар ляжет в какую-нибудь ямку, то соседние с ней ямки останутся свободными. В связи с этим третий слой можно будет разместить двумя способами: шары этого слоя располагают либо над свободными ямками первого слоя, либо как, раз над шарами первого слоя; так укладывается слой за слоем. В любом случае каждый шар среднего слоя будет касаться двенадцати соседних шаров. В первом случае точки касания дадут вершины «кубооктаэдра» или кристалла аргентина Ag₂S — эта фигура вырезается из правильного восьмигранника кубом, проходящим через середины его ребер. Во втором случае точки касания дадут вершины другого четырнадцатигранника, который также составлен из 6 квадратов и 8 равносторонних треугольников. Если рассечь такой четырнадцатигранник. плоскостью, проходящей через шесть его ребер, повернуть одну половину на 60° относительно другой и затем склеить обе половины, то мы снова получим кубооктаэдр.

Теперь представим себе, что шары сделаны из дрожжей и разрастаются одинаково. Пустоты между ними заполнятся и место каждого шара займет многогранник, описанный около породившего его шара. Первому способу размещения шаров будет отвечать ромбический двенадцатигранник, а второму — тело, ограниченное 6 ромбами и 6 трапециями.

Ромбический двенадцатигранник можно получить, разрезав его по экватору (черная линия на рисунке) и повернув верхнюю половину вокруг вертикальной оси на 60°. Из этого следует, что оба тела имеют одинаковые объемы и поверхности, одно и то же число многогранных углов каждого типа, а их соответствующие грани — одинаковые площади, периметры и углы. Двугранные углы тел также одинаковы.

Первый способ размещения шаров показывает, что кубооктаэдр можно вписать в ромбический двенадцатигранник; второй способ приводит к сходному выводу (какому?).

Мы видим, что пространство можно заполнить ромбическими двенадцатигранниками; тела, как показывает опыт с дрожжами, также позволяют осуществить такое заполнение.

Ячейки пчелиных сот можно получить, сжимая между двумя досками два слоя шариков, уложенных наиболее плотным образом. В результате образуются два слоя шестигранных призм, заканчивающихся сводчатыми колпачками, которые составлены из трех ромбов каждый; колпачки одного слоя служат также колпачками другого. Это позволяет предположить, что форма пчелиных сот обязана своим происхождением действию эластичных шариков; в данном случае шариками являются головки пчел, предельно густо усеивающие каждую из двух поверхностей тонкой восковой пластинки.

Возникает вопрос, какому способу заполнения пространства следует отдать предпочтение — двенадцатигранникам или полуправильным четырнадцатигранникам. Речь идет о том, который из двух способов более экономичен, т. е. в каком случае на изготовление граней уйдет меньше материала. Оказывается, расходы на материал при втором способе заполнения (названном нами простейшим) будут примерно на 6 промиллей меньше. Иными словами, поверхность четырнадцатигранника приблизительно на шесть тысячных меньше поверхности равновеликого ему двенадцатигранника. Весьма интересно, что такая незначительная разница заметна на глаз: а именно, видно, что четырнадцатигранник. по своей форме стоит ближе к шару, который является наиболее экономичным из тел, о чем будет сказано ниже.

Кристалл флюорита CaF₂ напоминает полуправильный четырнадцатигранник, тот самый раздутый кирпич, который изображен на рисунке. Кристалл пирита FeS₂ близок к правильному двенадцатиграннику. Кристаллы же других минералов принимают любопытные неправильные формы: кристалл сфалерита ZnS имеет 12 граней, являющихся одинаковыми дельтоидами, а у куприта Cu₂O 24 грани, каждая из которых представляет собой неправильный пятиугольник.

Если через каждое ребро правильного двенадцатигранника провести плоскость, перпендикулярную к плоскости симметрии, в которой лежит это ребро, то получится ромбический тридцатигранник. Диагонали его граней являются ребрами правильных многогранников: большие диагонали служат ребрами двадцатигранника, а меньшие — ребрами двенадцатигранника. Повторяя эту процедуру в отношении тридцатигранника, придем к шестидесятиграннику (какими будут его грани?).

Результаты выборов по системе пропорционального представительства определялись в случае трех партий с помощью треугольника; при наличии четырех партий треугольник заменяется правильным четырехгранником, который делится на части, равноотстоящими плоскостями, параллельными гранями. Если провести параллельно каждой грани бесконечно много равноотстоящих плоскостей, то мы придем к заполнению всего пространства правильными восьмигранниками и четырехгранниками.

Кроме обычных правильных многоугольников, существуют еще и звездчатые. Звездчатый пятиугольник pentagramma mysticum был излюбленной фигурой астрологов и чародеев. Имеются три правильных семиугольника — один обычный и два звездчатых.

Фотография дает представление о том, как выглядит многогранник, ограниченный 12 звездчатыми пятиугольниками.

Можно выбрать такие четыре вершины куба, которые служат вершинами правильного четырехгранника. Это можно сделать двумя способами, а в сплетении соответствующих двух четырехгранников получится звездчатый восьмигранник.

 

 

Проще всего получить шар, выдувая мыльные пузыри.

Силы поверхностного натяжения вызывают сокращение поверхности мыльной пленки. Внутри мыльного пузыря содержится некоторая порция воздуха. Поэтому пленка принимает такую форму, которой при заданном объеме соответствует наименьшая поверхность. Единственное тело, удовлетворяющее этому условию, есть шар.

Луна была когда-то жидким телом. Поскольку любая капля жидкой массы притягивала любую другую такую каплю, частицы жидкости располагались так, что любое изменение формы требовало затраты энергии. Можно доказать математически, что сферическая (т. е. шаровая) форма обладает таким свойством. Фотография является снимком шара, освещенного сбоку. А эта фотография – снимком Луны.

Если выдувать мыльные пузыри через трубку с двумя отверстиями, то на них появятся две выпуклости из мыльной пленки (а), которые будут расти одинаково вплоть до момента, пока они не превратятся в полусферы (б). Затем произойдет нечто удивительное: один  пузырек, будет продолжать расти, а другой начнет уменьшаться (с). Причина этого кроется в том свойстве шара, о котором мы говорили выше: при заданном объеме шар имеет наименьшую возможную поверхность. Когда мы вдуем в трубку некоторую порцию воздуха, природа должна будет распорядиться о размещении данной избыточной порции внутри как можно более малой поверхности, при условии, что эта поверхность состоит из двух пленок, краями которых служат границы круглых отверстий. Это равнозначно тому, чтобы заключить избыток воздуха внутри пленки, одна часть которой расположена над отверстием, а другая под ним, ибо (с) две пленки всегда можно соединить в одну, не меняя ни их объема, ни их поверхности. Пока избыток, воздуха недостаточен, чтобы заполнить сферу радиуса, равного радиусу отверстия, пленка будет иметь симметричную чечевицеобразную форму (а). Как только эта форма станет сферической (б), начнет расти сфера, опирающаяся на границу отверстия и заключающая в себе весь избыток, воздуха. Такая сфера показана на рисунке (с), ее нижняя часть обозначена пунктиром; стоит только перевести эту нижнюю часть на второе отверстие, чтобы стало понятно, почему вторая пленка оседает (почему?).

Земля имеет форму шара. Одна из двух черных линий, соединяющих Лиссабон с мысом Фарвель (на фотографии она получилась почти прямой), дает кратчайший путь между данными пунктами. Это дуга большого круга шара, так называемая ортодрома. Меридианы тоже являются ортодромами, а из параллелей – только экватор. Вторая линия – это локсодрома, или линия постоянного курса; она пересекает все меридианы под одним и тем же углом. Мореплаватель, который выбрал свой курс по компасу и сохраняет его неизменным, движется по локсодроме. Это упрощает управление кораблем, но удлиняет путь. Мы видим, что в дальнейшем своем течении локсодрома закручивается спирально вокруг полюса и становится совершенно непригодной для прокладывания курса в полярных широтах.

Проекция Меркатора представляет собой карту, которая верно передает углы на земной поверхности; меридианы и параллели образуют на ней прямоугольную сетку. Локсодромы изображаются на этой карте прямыми. Действительно, любая локсодрома пересекает все меридианы на поверхности Земли под одним и тем же углом, а, значит, и на карте Меркатора тоже, поскольку углы на ней сохраняются. Но меридианы на этой карте изображаются параллельными прямыми, поэтому локсодрома, пересекающая все эти прямые под одним и тем же углом, сама будет прямой.  Ортодрома,  напротив,  изгибается  наподобие синусоиды.

Если спроектировать поверхность земного шара из южного полюса на плоскость, касающуюся шара в северном полюсе (стереографическая проекция), то получится карта, которая окружности на поверхности Земли переводит снова в окружности и сохраняет углы. На такой карте ортодрома будет предоставлена окружностью (большей, чем сама ортодрома), а локсодрома - логарифмической спиралью. Последнее вытекает из того, что меридианы на карте изображаются прямыми, пересекающимися в полюсе, а локсодрома пересекает их под одинаковыми углами.

Если спроектировать земную поверхность из центра Земли на плоскость, касающуюся земной поверхности в северном полюсе (гномоническая проекция), то ортиодрома перейдет в прямую. Поэтому такая карта будет удобна для полетов в арктических районах.

Поместив глобус внутрь цилиндра, касающегося его по экватору и продолжив плоскости параллелей и меридианов до пересечения с цилиндром, получим карту Земли на поверхности цилиндра. Если разрезать эту поверхность и разложить ее на плоскости, то мы придем к карте с прямолинейными взаимно перпендикулярными меридианами и параллелями. Эта карта обладает тем специфическим свойством (известным еще Архимеду), что она сохраняет площади. Если покрыть глобус равномерным слоем краски или глины и если каждую частицу этого покрытия перенести в соответствующее место карты на цилиндре, т. е. в горизонтальном направлении, то получится равномерное покрытие цилиндрической поверхности; если перенести всю массу покрытия в обратном направлении на общую ось цилиндра и шара, то эта ось также покроется равномерно. Последнее покрытие можно было бы получить сразу, без вспомогательного цилиндра. Но к тому же покрытию можно прийти и по-другому, в два приема: сначала вся масса проектируется на плоскость экватора — каждая частица массы как бы спадает на эту плоскость или возносится к ней, а затем это плоское распределение массы прямоугольно проектируется на какой-нибудь диаметр экваториального сечения, что, очевидно, снова приведет к равномерному распределению.

 Мы получили попутно такое распределение массы на круглом диске, прямоугольная проекция которого на любой диаметр диска дает равномерное распределение вдоль этого диаметра. Существует лишь одно такое распределение массы на диске.

Чтобы объяснить парадокс даты на нашей планете, представим себе, что карта нарисована на прозрачной кальке и снова наклеена на цилиндр, на который она проектировалась. Пусть поверхность цилиндра изготовлена из стекла и неподвижна. Один из меридианов, отделяющий Азию от Америки и пересекающий Тихий океан, считаем линией даты. Календарь будет представлять собой бумажную ленту, втягиваемую под стекло через щель вдоль линии даты и накручиваемую на невидимый деревянный барабан, который вращается в указанном стрелкой направлении; неподвижная же стеклянная поверхность будет имитировать Землю. Ненакрученная часть ленты означает будущее, накрученные ее витки, закрытые другими витками, означают прошлое, а накрученная часть ленты, видимая через стекло, — это настоящее. На ленте указаны дни, месяцы и годы. Дни разделены поперечными линиями на часы. Даты меняются в полночь, поэтому поперечные линии, означающие 0 часов (жирные линии на ленте) служат также границами дат.

В связи с этим на Земле получаются две границы дат: неподвижная граница дат и подвижная граница полуночи. На нашем рисунке ВТОРНИК простирается от неподвижной до подвижной границы, которая находится западнее неподвижной (в момент, представленный на рисунке, подвижная граница проходит через северную Японию). На запад от нее еще продолжается ПОНЕДЕЛЬНИК, который охватывает все пространство западнее подвижной границы вплоть до самой неподвижной границы. По мере того как подвижная граница в результате вращения деревянного барабана смещается на запад, ВТОРНИК увеличивает свою территорию за счет сокращающейся территории ПОНЕДЕЛЬНИКА. Наконец, наступает момент, когда ВТОРНИК владеет всем земным шаром. Но это только один момент, т. к. начинается СРЕДА  - линия полуночи сходит с неподвижной линии даты, и, двигаясь на запад, оставляет между собой и неподвижной границей узкую полоску на новый день. ВТОРНИК начинает клониться к упадку, и вся игра возобновляется снова.

Если бы Земля была цилиндрической формы, то можно было бы провести на ней круговые параллели и перпендикулярные к ним прямолинейные меридианы. Представим себе, что на такой цилиндрической планете все эти линии видимы — как на суше, так и на море. Тогда навигация упростилась бы, ибо, как мы уже знаем, кратчайшими линиями на цилиндре являются винтовые, а они пересекают параллели и меридианы под одними и теми же углами. На Земле, имеющей форму шара, невозможно построить координатную сетку меридианов и параллелей, которые пересекали бы все ортодромы (т. е. большие круги) под одинаковыми углами. Однако помимо цилиндра существуют и другие тела, допускающие такую удобную сетку. Как известно, конус можно разрезать и развернуть на плоскости; кратчайшими линиями будут тогда прямые. Но на плоскости обычная квадратная сетка обладает тем свойством, что любая прямая пересекает все параллели под одинаковыми углами, и все меридианы под одинаковыми углами. Если теперь нам удастся свернуть эту плоскую сетку в конус, то наша цель будет достигнута. Но здесь возникает одна трудность: желая, чтобы линии сетки были гладкими, мы должны разрезать ее подходящим образом, а именно, вдоль самих этих линий. Угол при вершине А на рисунке может иметь величину 90°, 180° или 270°. Получатся три разных конуса. У первого из них будет лишь одно семейство «меридиано-параллелей», причем каждая из этих линий пересекает каждую другую, а также и саму себя, в единственной точке. Второй конус будет иметь сетку меридианов и параллелей и каждый меридиан пересекает каждую параллель ровно один раз. На третьем конусе получится три семейства линий; их можно назвать меридианами, параллелями и связующими. Каждое семейство пересекает два других и через каждую точку конуса проходят линии двух семейств. На фотографиях конусов, обращенных вершинами к объективу, видно, как пересекаются линии их сеток.

 

 

Забавно выглядят белки, когда они гонятся друг за другом по дереву. Белки бегут по винтовым линиям. Действительно, чтобы найти кратчайший путь на цилиндре, можно разрезать его вдоль прямой и разложить на плоскости как карту. Кратчайший путь между  любыми двумя точками будет идти тогда по прямой, а эта прямая при свертывании всей поверхности в цилиндр перейдет в винтовую линию. Проекция винтовой линии дает в некоторых точках острия. Это особенность каждой спиральной линии - любая точка такой линии при подходящем проектировании может перейти в конец острия. Обычный винт имеет своим краем винтовую линию. Так называемый бесконечный винт преобразует равномерное вращательное движение в равномерное поступательное.

Когда отрезок постоянной длины одним своим концом скользит по винтовой линии, а другим по ее оси, он описывает винтовую поверхность. Эту поверхность описывает также и «плечо», укрепленное на стержне под прямым углом, когда оно равномерно вращается вокруг стержня, а стержень в свою очередь равномерно смещается вдоль самого себя. Если не считать некоторых поверхностей вращения, то винтовая поверхность — единственная, которая может скользить по самой себе. Сфера, цилиндр и плоскость являются поверхностями вращения; они не только могут скользить по себе, но могут при этом перевести любую свою точку в любое положение и к тому же по любой траектории. По этой именно причине четыре перечисленные поверхности всегда будут играть наиболее важную роль в машиностроении.

В сечении цилиндра плоскостью получается эллипс. Ошибочно было бы считать, что эллипс, будучи плоской кривой, представляет собой кратчайшую линию на поверхности цилиндра.

Если обернуть свечку бумагой, а потом разрезать свечу наискосок острым ножом и развернуть бумагу, то получится синусоида.

Каждую кривую можно получить, складывая синусоиды. Бороздка, оставляемая на граммофонной пластинке иглой при записи одного чистого тона, будучи развернута на плоскости, превращается в синусоиду. На рисунке приведены три синусоиды с одинаковыми амплитудами, т. е. с одинаковыми максимальными отклонениями от оси; они отвечают трем тонам аккорда: с — qc¹ (до малой октавы — соль малой октавы — до первой октавы). Жирная линия является суммой этих синусоид; ее вычерчивает на граммофонной пластинке игла при записи указанного аккорда. Однако в других случаях тот же аккорд может дать и другую линию. Из рисунка видно, что на этот раз составляющие колебания начинаются не одновременно. Наш слух реагирует только на силу, высоту и тембр звука, которые зависят лишь от амплитуды и частоты какого-то из составляющих колебаний, и не различает подъемов и спадов результирующей волны; отсюда можно заключить, что ухо располагает механизмом, позволяющим восстанавливать по волне из нескольких голосов отдельные синусоиды; такой механизм действительно существует и называется кортиевым органом. Мозг, хотя и синтезирует составляющие колебания, но этот синтез представляет собой нечто отличное от суммирования синусоид, и некоторые особенности кривой, выявленные на граммофонной пластинке, утрачиваются.

Электрокардиограмма регистрирует колебания электрического потенциала, вызванные периодическими сокращениями сердечной мышцы. Расшифровка ее зубцов — дело трудное.

Три кривые стали известны раньше других: эллипс, парабола и гипербола. Их можно получить, выполняя подходящие сечения конуса плоскостью. Вследствие этого они могут быть реализованы в виде теней, отбрасываемых круглым кольцом. Поместив кольцо так, чтобы все его точки проектировались на стену, получим эллипс; если часть кольца не проектируется на стену, то тень принимает форму гиперболы; когда же на стену проектируются все точки кольца, кроме одной, тень дает параболу.

Шар, лежащий на столе и освещенный сверху, дает тень в виде эллипса, а точка, в которой он касается стола, является одним из фокусов этого эллипса.

Планеты движутся по эллипсам. Солнце находится в одном из фокусов. Радиус Солнце  - планета заметает ежедневно одну и ту же площадь, равно как и за  каждый  месяц, но из рисунка вид но, что пройденный Землей путь меняется от месяца к месяцу.

Если пустить шар от борта эллиптического бильярда так, чтобы он прошел не между фокусами, то шар будет двигаться по ломаной, звенья которой служат касательными к меньшему эллипсу с теми же фокусами. Если, однако, пустить его так, чтобы он прошел между фокусами, то отразившись, он снова пройдет между фокусами, и, стало быть, всегда будет так двигаться. Траектория шара составится из отрезков, касательных к некоторой гиперболе с теми же фокусами, что и у бильярда. Если шар пущен из фокуса, то, отразившись, он пройдет через другой фокус, после следующего отражения через первый фокус и так далее; после нескольких отражений прямолинейные звенья траектории будут мало отличаться от большой оси бильярда.

 

 

Все линии на поверхности шара кривые, но есть и кривые поверхности, которые сотканы из прямых линий. Такими, например, являются поверхности конуса и цилиндра.

Мы уже видели, что куб, вращаясь, может скользить своими ребрами по двум конусам и гиперболоиду вращения. Вообще же каждый однополостный гиперболоид соткан из двух семейств прямых и, глядя на него сверху, мы видим эллипс с касающимися его прямыми.

Параболоид вращения образуется при вращении параболы вокруг ее оси симметрии. Автомобильные фары нередко бывают параболоидальной формы. В сечениях параболоида плоскостями, параллельными оси, получаются параболы и притом одинаковые. Таким образом, на поверхности параболоида через любую ее точку можно провести бесконечно много одинаковых плоских кривых. Тем же свойством обладают шар и плоскость (существуют ли другие примеры?).

Центр тяжести пространственного четырехугольника, в вершинах которого помещены одинаковые грузы, можно найти, если определить сначала центр тяжести одной пары грузов и, поместив в нем оба этих груза, сделать то же самое с двумя другими грузами, а затем определить центр тяжести двух найденных центров с двойными грузами. В итоге получится, что центр тяжести всей системы попадет в середину отрезка, соединяющего середины двух  противоположных  сторон. Но можно было бы начать с другой пары противоположных сторон и прийти, очевидно, к аналогичному результату. Отсюда видно, что отрезки, соединяющие середины сторон произвольного пространственного, в частности, плоского четырехугольника, пересекаются и делятся в точке пересечения пополам. Когда грузы а, b, с, d не равны, но пропорциональны (a:b = c:d) мы получаем отрезки, которые делят одну пару противоположных сторон в отношении а:b, а другую — в отношении b:d. Эти отрезки тоже пересекаются, как показывают рассуждения, аналогичные приведенным.  Если менять массы грузов, сохраняя их пропорциональность, то получатся два семейства прямых, образующие кривую поверхность, как бы ткань натянутую на четырехугольной раме (металлический контур, который виден на снимке, является вспомогательным; чтобы выделить четырехугольник, достаточно выбрать по две нитки из каждого семейства). Сбоку полученная поверхность выглядит как седло; эту поверхность называют гиперболическим параболоидом.

Существует простой способ образования поверхности, содержащей семейство прямых: берется плоская кривая с касательными – в виде проволоки с приделанными к ней полосками — и проволока изгибается произвольным образом в пространственную кривую. В результате возникает двусторонняя поверхность, сотканная из одного семейства прямых; проволока будет ее ребром, общим для обеих сторон и ограничивающим каждую из них.

Если два соосных проволочных кольца (расположенных как нижнее и верхнее основания усеченного конуса) погрузить в мыльную воду, то образовавшаяся между кольцами пленка даст наименьшую из всех поверхностей вращения, какие могут быть между ними натянуты, ибо пленка стремится сократиться максимально возможным образом. На снимке рядом с поверхностью видна ее проекция на экран. Параллелями поверхности являются окружности, а форма меридианов отчетливо передается верхним контуром проекции поверхности. 

Нитка, подвешенная на экране, сфотографирована вместе с проекцией, чтобы показать, что меридиан имеет форму цепной линии, т. е. повторяет линию цепочки, подвешенной на двух гвоздях. Уравнение этой линии может быть представлено в виде

у = 10^х +10^-х,

при подходящем выборе единиц измерения для х и у.

Минимальная поверхность, образованная мыльной пленкой, может быть получена вращением цепной линии вокруг оси х. Как найти эту ось по имеющейся цепочке? Нужно разрезать цепочку в самой нижней точке и дать ей распрямиться. Для этого следует зафиксировать цепочку гвоздями, вбитыми с внутренней ее стороны, на стене, где она висит, а затем предоставить разрезанную цепочку действию силы тяжести. Конец цепочки опишет тогда ту же самую кривую, что и коляска, которую ребенок, идущий по краю тротуара, тянет за собой.  Коляска, катящаяся по мостовой, будет приближаться к краю тротуара, но никогда его не достигнет. Край тротуара будет искомой осью. Следовательно, осью можно считать наивысшую из горизонтальных прямых, которой еще не коснутся свободно падающие концы разрезанной цепочки.

Вращая трактрису, описанную коляской (или концом цепочки), вокруг прямой, которая является границей тротуара (т. е. осью цепной линии), мы получим новую поверхность вращения. Эта поверхность обладает особым свойством: любой листок (например, листок позолоты или станиоля), покрывающий некоторую ее часть, можно передвигать по всей поверхности так, чтобы листок не растягивался, не разрывался и не морщился и вместе с тем плотно прилегал к поверхности. Тем же свойством обладают шар, цилиндр, конус и плоскость, а также любая поверхность, полученная сворачиванием или изгибанием плоскости и, стало быть, любая драпировка из нерастягивающейся ткани.

Но трактрисоида вращения отличается еще и тем, что ее кривизна всюду отрицательна, т.е. все ее точки — седловые. Эта кривизна остается одной и той же во всех точках — как у шара, что вытекает из опыта с перемещением листочка. Поэтому трактрисоида является псевдосферой, а еще правильнее — антисферой.

 

 

Уже говорилось, что существует только пять видов правильных многогранников, или Платоновых тел, но не говорилось, почему это так.

Нарисуем на поверхности шара фигуру из L линий, V вершин и S граней. Иными словами, поделим территорию земного шара между S странами, считая, что вся эта территория сухопутная. Какими бы международными отношениями не диктовался подобный раздел, всегда будет выполняться условие V + S = L + 2. Убедиться в справедливости этого условия, найденного великим математиком Эйлером, нетрудно. Начнем с одной вершины. Понимая условие Эйлера буквально, видим, что оно выполняется, ибо имеется одна вершина (V = 1), одна страна (S = 1) и границы отсутствуют (L = 0), так что 1 + 1 = 0 + 2. Если провести из вершины одну линию, то получим новый раздел территории Земли, но и для него наше правило сохраняет силу, так как V = 2, S = l, L = 1 и 2 + 1 = 1 + 2. Пусть теперь имеется произвольная фигура, удовлетворяющая правилу Эйлера; проведем новую линию, соединяющую две ее вершины. От этого число вершин не изменится, а число граней и число линий увеличится на 1; следовательно, после проведения новой линии и левая, и правая части формулы Эйлера увеличатся на 1. Поэтому, если эта формула была верна для прежней фигуры, то она останется верной и для новой. Формула Эйлера сохранит силу и в том случае, когда новая линия соединит одну из вершин прежней фигуры с новой вершиной, т. к. в этом случае число граней не изменится, а число линий и число вершин увеличится на 1. Но поделить поверхность Земли между странами всегда можно, начав с одной вершины и пририсовывая затем одну за другой все необходимые границы; следовательно, формула Эйлера справедлива для любой фигуры. (Как в этом рассуждении используется принцип домино?)

Правильные разделы сферы отличаются от всех других тем, что в них все грани ограничены одним и тем же числом s линий и в каждой вершине сходится одинаковое число v линий. Если имеется S граней (стран), то произведение Ss дает удвоенное число линий, так как каждая линия принадлежит двум граням и поэтому считается дважды. Таким образом, 2L = Ss. Можно также пересчитать линии, перебирая одну за другой все вершины; это даст формулу 2L = Vv. (Здесь подразумевалось, что в первом случае S > 1, а во втором V > 1. Если условиться, что v = 2L при V = 1 и s = 2L при S = 1, то обе формулы будут верны и тогда, когда есть только одна грань или только одна вершина.) Подставляя выражения

 S = 2L/s,     V = 2L/v

в формулу Эйлера, находим

2L/v + 2L/s = L + 2.

Это можно переписать так:

                                                                     1/v + 1/s = ½ + 1/L.                                                              (E)

Проще всего удовлетворить уравнению (Е), положив

s = 2,      v = L    или    v = 2,      s = L

Первый способ дает S = L, V = 2. Имеется только две вершины и столько граней, сколько линий. Поскольку v = L, каждая линия проходит через каждую вершину, а поскольку s = 2, каждая грань ограничена двумя линиями. Мы, следовательно, имеем два полюса, соединенных L меридианами; меридианов может быть любое число (L = 1,2,3,...).

Второй способ дает V = L, S = 2. На этот раз получается только две грани и столько вершин, сколько линий. Поскольку   s = L, каждая линия принадлежит каждой грани; иными словами, каждая граница граней состоит из L линий и L вершин. Следовательно, шар разделится на две полусферы, ограниченные L-угольником; число L может быть любым.

Эти два случая будем считать особыми. Отметим, что особый случай s = 2, v = 2  получается как по первому, так и по второму способу.

Вернемся теперь к уравнению (Е) и попробуем решить его при L = 1. Легко убедиться, что в этом случае получатся только два решения: v = 1, s = 2 и v = 2, s = 1. Оба они будут особыми. Одно из них представлено на рисунке. Как изобразить второе?

Положив L = 2, получим v = 2, s = 2, т. е. особое решение, отвечающее рисунку.

Желая найти другие решения, мы должны подставлять вместо L числа 3,4,5,... Тогда правая часть уравнения (Е) будет меньше единицы, а поскольку она всегда больше ½,  то ½ < ¹/_s + ¹/_v < 1.

Значение s = 1 не удовлетворяет правому неравенству, а значение s = 2 дает особые решения, представленные на рисунке, которые мы уже учли.

Итак, мы должны начать со случая s = 3. Тогда в качестве v нужно испробовать лишь одно из трех значений — 3, 4 или 5, т.к. v = 1 не удовлетворяет правому неравенству, v = 2 приводит к уже учтенному особому случаю, который представлен на рисунке, а при v ≥ 6 величина ¹/_s + ¹/_v будет меньше или равна ½  — вопреки левому неравенству. Рассуждая таким же образом и учитывая левое неравенство, мы убеждаемся, что величина v не может принимать других значений и в случае s > 3. Но все, что здесь сказано, остается в силе, если s и v поменять ролями. Таким образом, отбрасывая невозможные и особые случаи, мы можем ограничиться 9 случаями, которые получаются при s = 3, 4, 5 и v = 3, 4, 5. Из них четыре случая:

s = 4,      v = 4,

s = 5,      v = 4,

s = 4,      v = 5,

s = 5,      v = 5

невозможны из-за левого неравенства: уже сумма ¼ + ¼ = ½ оказывается меньше требуемой. Остается пять случаев:

                           s = 3,      v = 3;                                                                                                              (a)  

подстановка в (Е) дает ¹/₃ + ¹/₃ – ½ = ¹/_L,

L = 6,      S = 4,      V = 4;

                              s = 3,      v = 4;                                                                                          (b)  

подстановка в (Е) дает ¹/₃ + ¼ — ½ = ¹/_L,

L = 12,      S = 8,      V = 6;

s = 3,      v = 5;                                                                                         (с)  

подстановка в (Е) дает ¹/₃ + ¹/₅ - ¹/₂ = ¹/_L,

L= 30,      S = 20,      V = 12;

 s = 4,      v = 3;                                                                                         (d)  

  подстановка в (Е) дает

  L= 12,      S = 6,      V = 8;

 s = 5,      v = 3;                                                                                         (e)  

подстановка в (Е) дает

L = 30,      S = 12,   V  = 20.

  В случаях (d) и (e) мы не производили выкладок, т. к. эти случаи можно получить из (b) и (с), если поменять ролями s и v, а также S и V. В итоге мы нашли пять правильных, или Платоновых, разделов сферы. Особые решения не дают многогранников, т. к. не существует ни плоских двухугольников с прямолинейными сторонами, ни пространственных двугранников с плоскими гранями. Пять Платоновых тел, отвечающих правильным разделам сферы (а), (b), (с), (d) и (е), - это четырехгранник, восьмигранник, двадцатигранник, куб и двенадцатигранник; теперь уже доказано, что других правильных многогранников не существует.

  Следует отметить, что на самом деле доказано значительно больше, чем было обещано. А именно, мы нашли все правильные разделы сферы независимо от того, какими являются границы областей дугами окружностей, зигзагообразными или какими-либо иными кривыми линиями. Больше того, сказанное относится не только к сфере: наши рассуждения оставались бы в силе, если бы, например, речь шла о планетах кубической или чечевицеобразной формы.

Известна старая головоломка — обвести контур фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя ни одной линии контура дважды. На рисунке изображена фигура, которую удается обвести подобным образом.

Эйлер стал интересоваться такими фигурами, когда ему предложили задачу о мостах города Кенигсберга (нынешнего Калининграда): можно ли обойти город так, чтобы пройти по семи его мостам ровно по одному разу?

Если обозначить остров через А, левый берег реки через В, правый — через С, а область между рукавами реки в ее верхнем течении — через D, то задача сведется к обводу контура одним непрерывным движением. Но это невозможно, т.к. выбрав одну из точек А, В, С, D за начало пути, а другую (или ту же самую) за его конец, мы должны будем пройти по ходу движения через остальные две (или три) точки, не являющиеся ни начальными, ни конечными; при этом одна дорога должна вести к точке, а другая — от нее, но в каждой точке сходятся три или пять дорог, вследствие чего некоторые дороги останутся непройденными.

С другой стороны, если все точки контура — четные (т. е. такие, в которых сходится четное число дорог) или если только одна или две из них нечетные, то фигуру можно обвести одним непрерывным движением лишь бы она была связной. Проверим это для фигур с одними только четными точками. Выберем какую-нибудь точку контура в качестве стартовой. Как бы ни идти из этой точки, мы рано или поздно снова в нее вернемся, так как никогда не попадем в тупик; из любой другой точки, в которой мы окажемся по ходу движения, всегда будет вести хотя бы одна нехоженная дорога. Можно поэтому считать, что мы пройдем по замкнутому маршруту. Если это не весь контур, то наш маршрут пересекает непройденную часть контура в некоторой точке А. Из общего числа дорог, ведущих в эту точку, было использовано лишь четное число дорог и, значит, осталось их тоже четное число. Изменим теперь первоначальный план движения и пройдем прежний путь от А до А (жирная линия на рисунке). Но точка А принадлежит непройденной части контура, поэтому, вернувшись в эту точку, мы можем начать из нее путешествие по оставшейся части; новое путешествие, очевидно, снова закончится в точке А (пунктирная кривая на рисунке). Однако две замкнутые кривые, пересекающиеся в какой-нибудь точке, составляют вместе одну-единственную замкнутую кривую (примером может служить цифра 8). Если эта последняя кривая не исчерпывает всего контура, то она пересекается с оставшейся его частью в некоторой точке В, и мы можем действовать далее прежним способом; в конце концов будет найден маршрут, охватывающий весь контур.

Подобным же образом решается задача и в том случае, когда только две точки нечетные. Ввиду связности фигуры можно указать маршрут, ведущий из одной нечетной точки (точки О) в другую (точку О'). Если при этом мы не обойдем всей фигуры, то оставшаяся ее часть, поскольку она не содержит нечетных точек, будет замкнутым контуром; этот контур пересечет путь О — О' в некоторой точке А. Двигаясь из О в О', мы дойдем до точки А, обойдем замкнутый контур (пунктирная линия на рисунке), вернемся в точку А и завершим обход по участку А — О' маршрута О — О'.

Посмотрим на скрещенную цепочку. Расправляя ее на столе с целью освободиться от скрещения, мы должны будем пройти через такое положение, когда цепочка «переламывается», т. е. когда в некоторой ее точке получается острие. Это можно доказать, исследуя поведение касательной. По мере передвижения вдоль цепочки угол между касательной и некоторым постоянным направлением меняется, но при обходе всей скрещенной цепочки приращения этого угла компенсируются его уменьшениями, так что в итоге полное приращение оказывается нулевым. В случае не скрещенной цепочки полное приращение составляет 360°. Следовательно, должна существовать переходная форма цепочки, когда она из скрещенной с приращением 0°, превращается в не скрещенную с приращением 360°; это как, раз и будет форма с острием, в котором скачкообразно сбрасывается приращение угла касательной, получившееся в результате обхода всего контура.

Рисунок служит иллюстрацией к задаче, родственной задаче о мостах. Имеются три дома, голубятня, колодец и навес для сена; требуется проложить от каждого дома тропинки к голубятне, колодцу и навесу таким образом, чтобы тропинки между собой не пересекались. Эта задача неразрешима. Действительно, если идти от первого дома по тропинкам, ведущим к голубятне, колодцу и навесу, а затем двигаться от них дальше по тропинкам, соединяющим их со вторым домом, то окажется, что три непересекающиеся линии идут от первого дома ко второму. Такие линии делят всю плоскость на три области: С₁, С₂ и С₃. Следовательно, третий дом должен находиться в одной из этих областей. Если он попадет в С₁, то навес будет отделен от него замкнутым контуром; если он попадет в С₂, то другой замкнутый контур отделит от него голубятню; если же этот дом попадет в С₃, то он окажется внутри контура, отделяющего его от колодца. В первом случае третий дом нельзя будет соединить тропинкой с навесом, во втором — с голубятней, в третьем — с колодцем, поскольку такая тропинка будет пересекать другие тропинки.

Представим себе четыре страны, каждые две из которых имеют общую границу. Столицы любых двух стран можно будет в таком случае соединить железнодорожной линией, проходящей только по их территориям. Начнем с трех столиц А, В и С. Соединяющие их линии образуют как бы треугольник. Четвертая столица D будет находиться либо внутри, либо вне этого треугольника. Соединяя эту столицу с остальными, мы в любом случае получим большой треугольник, составленный из трех граничащих друг с другом малых треугольников. Пусть теперь Е будет столицей пятой страны; она либо окажется вне большого треугольника, либо попадет в один из малых. 

В обоих случаях среди столиц А, В, С, D найдется такая столица X, которая будет отделена от Е треугольником железнодорожных линий. (На рисунке представлены оба случая: одному отвечают буквы Е и X, а другому — буквы Е' и X'.) Но эти линии не проходят по территории стран со столицами Е и X и поэтому эти страны не могут граничить друг с другом. Итак, мы приходим к выводу, что не может быть пяти стран, каждая из которых граничила бы с каждой другой.

Все эти задачи относятся к специальному разделу геометрии, называемому топологией; в топологию входит также учение об узлах.

На шнуре, концы которого соединены, никогда не получится узла, если его не было перед скреплением концов; если же узел был, то он не исчезнет, пока шнур не будет разрезан. Простейший узел имеет две формы; каждая из них является зеркальным отражением другой.

Узел можно смешать вдоль шнура как угодно далеко. Но завязать на концах шнура такие два узла, чтобы при встречном движении они взаимно уничтожились, невозможно. Только в самое последнее время этот факт, известный из опыта, удалось доказать математически.

Нетрудно так сплести три шнура, чтобы никакие два из них не были сплетены друг с другом; из рисунка видно, что достаточно разрезать какой-нибудь один шнур, чтобы расплелись все три. Можно построить модель, обладающую аналогичным свойством с любым числом замкнутых линий.

Бумажная лента, перекрученная на 180° и затем склеенная (лента Мёбиуса), представляет собой одностороннюю поверхность. Муха может перебраться из любой ее точки в любую другую, не переползая через край поверхности. Этот край является замкнутой, свободной от узлов кривой.

Если бы лента Мёбиуса была сделана из очень эластичной резины, то ее край можно было бы деформировать в окружность, а тогда сама лента превратилась бы в торбу, которая пригодна для ношения вещей, хотя у нее нет ни внутренней, ни внешней стороны.

Если разрезать ленту Мёбиуса вдоль черной серединной линии, параллельной ее краю, то лента не распадется, а перейдет в двустороннюю поверхность. Краями полученного таким способом пояса будут две замкнутые линии без узлов, сплетенные, однако, друг с другом. Теми же свойствами (двусторонностью, наличием двух сплетенных между собой краев без узлов) обладает лента, перекрученная перед склеиванием на 360°; лента, полученная разрезанием мёбиусовой, перекручена на 720°. Имеется еще одна поверхность с точно такими же свойствами, что и поверхность, модель которой представлена на снимке — а именно, зеркальное отражение этой модели: ни одна из двух указанных поверхностей не переводится в другую никаким изгибанием или растяжением.

Разрезав ленту вдоль серединной линии, мы получим две сплетенные между собой ленты; обе они копируют первоначальную ленту.

Если на ленте Мёбиуса провести линию на расстоянии одной трети ширины ленты от края и затем разрезать ленту вдоль этой линии, то получатся две сплетенные между собой ленты; меньшая из них будет подобна первоначальной ленте, а большая примет ту же форму, что и лента, которую мы уже видели на снимке.

Если перед склеиванием перекрутить ленту на 540°, т. е. на три полоборота, то снова получится односторонняя поверхность, край которой имеет узел «клеверного» типа, т. е. такой, как на снимке.

Каким именно из двух узлов снимка будет этот узел — правым или левым?

Обычный кусок поверхности, например, листок, имеет две стороны, а его край представляет собой линию без узлов. В связи с этим возникает вопрос: существует ли двусторонняя поверхность, край которой содержит узлы? Положительный ответ на него дает модель. В этой модели край поверхности имеет форму клеверного узла левого типа, а для различения сторон поверхности одна из них на фотографии заштрихована, а на другой штриховка отсутствует.

Существует гипотеза, что любую карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы всякие две страны, имеющие общий участок границы, были закрашены в разные цвета. Это до сих пор не доказано, но все примеры подтверждают такую гипотезу. В случае тора, т. е. тела в форме камеры автомобильной шины, требуется целых семь красок, так как поверхность тора можно разбить на семь областей, каждые две из которых граничат друг с другом вдоль некоторой линии.

Такое разбиение поверхности тора (кольца) показано на рисунке, на котором тор приводится в двух видах — сверху и снизу. Хотя поверхность тора значительно менее обычна, чем плоская или сферическая, удалось доказать, что семи красок на торе всегда хватает. Правда, доказано, что в случае плоскости или сферы всегда можно обойтись пятью красками, но не найдено примера, в котором четырех красок было бы недостаточно.

[Примечание при переводе. Уже после смерти автора книги проблема четырех красок была решена: американские математики Аппель и Хакен показали, что достаточно проверить лишь конечное — хотя и очень большое число типов карт; им удалось осуществить эту проверку с помощью ЭВМ, и машина подтвердила, что четырех красок всегда достаточно. См. Appel Kenneth, Haken Wоlfgang, Every planar map is four colorable, Bull. Amer. Math. Soc. 1976, 82, № 5, 711—712.]

На поверхности тора можно начертить замкнутую линию, представляющую собой левый клеверный узел и вместе с тем не имеющую самопересечений. Если разрезать тор вдоль черной линии, т. е. линии узла на торе, то получится двусторонняя поверхность с двумя сплетенными между собой краями, каждый из которых повторяет исходный узел. Чтобы получить эту поверхность непосредственно, нужно перекрутить бумажную ленту на три полных оборота (1080°), завязать полученную ленту узлом, а затем склеить.

Двустороннюю поверхность с двумя не сплетенными между собой краями, имеющими форму узлов, можно получить, соединив трубкой две одинаковые поверхности того же типа, что и поверхность, которую мы уже видели на снимке.

На торе можно расположить сколько угодно узлов левого клеверного типа, которые не пересекают ни себя, ни друг друга. Однако, если поместить на торе по одному клеверному узлу каждого типа – правого и левого, то эти узлы пересекутся в 12 точках.

Растянем плоский кусок резины, ограниченный каким угодно контуром, а затем отпустим его, позволив резине принять первоначальную форму; если вся резина окажется внутри той области, которую она покрывала в растянутом состоянии, то некоторая ее точка Р займет  то  же   положение,   какое  она  занимала,   когда   резина   была растянута.

Приведем здесь доказательство, основанное на одном свойстве шахматной доски, следуя идее, принадлежащей В. Стожку.

Пусть резина растянута до размеров шахматной доски и пусть через Q обозначена точка, в которую переходит точка Р растянутой  резины после того как ее отпустят.

Поле доски назовем красным, если для каждой его точки Р точка Q лежит ближе, чем Р, к правому краю доски; в случае, когда всякая точка Р поля переходит в точку Q, которая ближе, чем Р, к левому краю доски, будем называть поле зеленым; желтым назовем поле, если оно не является ни красным, ни зеленым. Легко убедиться, что все поля крайней левой вертикали — не зеленые, а поля крайней правой — не красные. Очевидно, кроме того, что красные и зеленые поля не могут быть соседними, так как соседние поля имеют (по крайней мере одну) общую точку. Поэтому, если запретить королю ходить по желтым полям, то он не сможет пройти от левого края доски до правого, а тогда ладья может пройти от верхнего до нижнего края доски, двигаясь по одним только желтым полям (это свойство шахматной доски было отмечено в главе "Треугольники. Квадраты. Игры"). Таким образом, можно провести от верхнего до нижнего края доски такую линию, которая проходит только по желтым полям. Из каждой точки этой линии проведем стрелку PQ. Не может быть, чтобы все эти стрелки вели выше (иначе говоря, точки Q не могут быть всегда выше точек Р), так, как, начальная точка линии не может перейти в точку за пределами доски. Точно так, же не может быть, чтобы все они вели ниже.

Направление стрелки по ходу движения меняется непрерывно, следовательно, на линии найдется такая точка Р', в которой стрелка P'Q' направлена горизонтально. Но из определения желтого поля вытекает, что в поле, содержащем точку Р', найдется такая точка Р", где стрелка P"Q" направлена вертикально.

Если поле мало, то подобный скачок в перемене направления стрелки возможен лишь при условии, что сами стрелки малы для всех точек Р в этом поле. Деля область на n² полей и увеличивая n, мы получаем в пределе точку Ро, в которой стрелка PoQo исчезает (т. е. Ро = Qo), а это означает, что после того, как резину отпустили, точка Ро остается на месте.

Если сплющивать произвольным образом шарик, сделанный из эластичного материала (не разрывая его), то всегда найдутся антиподы (диаметрально противоположные точки) L и М такие, которые после сплющивания сольются в одну точку. Из этого можно вывести такое интересное следствие: на поверхности Земли в каждый момент времени найдутся два антипода с одной и той же температурой и одним и тем же атмосферным давлением.

Шар, покрытый волосами, никогда не удастся гладко расчесать; всегда найдется, по крайней мере одна точка, в которой волосы Создадут полюс без определенного направления.