Вряд ли кто из наших читателей не умеет сам из квадратного куска бумаги сделать «петушка», лодочку, кораблик, коробочку и т. д. Достигается это путем разнообразного перегибания и складывания бумажного квадрата. Полученные при этом сгибы (складки) позволяют придавать взятому куску бумаги ту или иную желаемую форму.

Сейчас мы убедимся, что с помощью перегибания бумаги можно не только делать забавные или интересные игрушки, но и получить наглядное представление о многих фигурах на плоскости, а также об их свойствах. Кусок обыкновенной белой (а еще лучше — цветной) бумаги и перочинный ножик для разглаживания или удаления ненужных частей могут оказаться прекрасным пособием для усвоения начал геометрии.

Сгибая кусок бумаги, совместим какие-либо две точки, затем, прижав их друг к другу пальцем, разгладим ножом сгиб. Каждый, наверное, не один раз. проделывал это. Но задумывались ли вы когда-нибудь, почему линия сгиба обязательно получается прямой? Если подумать, то легко увидеть в этом проявление одной из геометрических теорем, а именно теоремы о том, что совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух фиксированных, есть прямая линия.

Очень полезно подыскивать геометрические обоснования и в последующих задачах.

 

 

 

 

Имеется кусок бумаги неправильной формы. Как, пользуясь только перочинным ножом, вырезать из него прямоугольник?

 

 

 

Как из бумажного прямоугольника получить квадрат?

Исследуем теперь некоторые свойства получившеюся квадрата. Линия сгиба, проходящая через два противоположных угла квадрата, есть диагональ этого квадрата. Другая диагональ получается перегибом квадрата через другую пару противоположных углов, как это видно на рис. 1. Непосредственным наложением убеждаемся, что диагонали квадрата пересекаются друг с другом под прямыми углами и что в точке пересечения они взаимно делятся пополам. Эта точка пересечения диагоналей квадрата называется центром квадрата.

Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника, вершины которых находятся в противоположных углах квадрата. Каждый из этих треугольников имеет, очевидно, по две равные стороны, т. е. эти треугольники равнобедренные. Кроме того, эти треугольники и прямоугольные, так как каждый из них имеет по прямому углу.

Две диагонали, как легко видеть, разделяют квадрат на 4 совпадающих при наложении прямоугольных и равнобедренных треугольника, общая вершина которых находится в центре квадрата.

Перегнем теперь наш бумажный квадрат пополам так, чтобы одна сторона совпадала с противоположною ей. Получаем сгиб, проходящий через центр квадрата (рис. 2). Линия этого сгиба обладает, как легко убедиться, следующими свойствами:

1) она перпендикулярна двум другим сторонам квадрата,

2) делит эти стороны пополам,

3) параллельна двум первым сторонам квадрата,

4) сама делится в центре квадрата пополам,

5) делит квадрат на два совпадающих при наложении прямоугольника,

6) каждый из этих прямоугольников равновелик (т. е. равен по площади) одному из треугольников, на которые квадрат делится диагональю.

 

 

Перегнем квадрат еще раз так, чтобы совпадали две другие стороны. Попѵченный сгиб и сделанный раньше делят квадрат па 4 совпадающих при наложении квадрата (рис. 2). Перегнем эти 4 меньших квадрата через их углы, лежащие посередине сторон большего квадрата (по диагоналям), и получим квадрат (рис. 3), вписанный в наш начальный квадрат. Этот вписанный квадрат, как легко убедиться, имеет площадь, равную половине площади большого квадрата и имеет тот же центр. Соединяя середины сторон этого внутреннего, вписанного, квадрата, получим квадрат, площадь которого равна 1/4 площади первоначального (рис. 4). Если в этот последний квадрат по предыдущему опять впишем квадрат, то его площадь будет равна 1/8 площади первоначального. В этот, в свою очередь, можем вписать квадрат, площадь которого равна 1/16 площади первоначального, и т. д.

Если перегнуть наш квадрат как угодно, но так, чтобы сгиб проходил через центр, то квадрат разделится на две совпадающие при наложении трапеции.

 

 

 

Из бумажного квадрата сгибанием получить равнобедренный треугольник.

 

 

 

Как из бумажного квадрата сгибанием получить равносторонний треугольник?

Исследуем некоторые свойства получившегося равностороннего треугольника. Сложим его, накладывая каждую из сторон на основание. Мы получим таким образом три высоты этого треугольника: АА', ВВ', СС' (рис. 1).

Вот некоторые свойства равностороннего треугольника, которые можно вывести из рассмотрения полученной нами фигуры на рис. 1.

 

 

рис. 1

 

Каждая из высот разделяет треугольник на два совпадающих при наложении прямоугольных треугольника.

Они делят стороны пополам и перпендикулярны к ним. Они проходят через одну общую точку.

Пусть высоты АА' и СС' встречаются в О. Проведем ВО и продолжим ее до встречи с АС в В'. Теперь докажем, что ВВ' есть третья высота. Из треугольников С'ОВ и ВОА' находим, что |ОС'| = |ОА’|, и убеждаемся, что углы ОВС' и А'ВО равны. Затем, из треугольников АВ'В и СВ’В следует, что углы АВ'В и ВВ'С равны, т. е. каждый из них есть прямой угол. Значит, ВВ' есть высота равностороннего треугольника ABC. Она также делит АС пополам в В'.

Можно, аналогично предыдущему, показать, что ОА, ОВ и ОС равны и что также равны ОА', OB' и ОС'.

Поэтому из О, как центра, можно описать окружности, которые пройдут соответственно через А, В и С и через А', В' и С'. Последний круг касается сторон треугольника.

Равносторонний треугольник ABC делится на шесть совпадающих при наложении прямоугольных треугольников, углы которых при точке О равны, и на три таких совпадающих при наложении симметричных четырехугольника, что около них можно описать окружности.

Площадь треугольника АОС равна удвоенной площади треугольника А'ОС; отсюда |АО| = 2|ОА’|. Аналогично, |ВО| = 2 |OB'| и |СО| = 2|ОС'|. Значит, радиус круга, описанного около треугольника ABC, вдвое больше радиуса вписанного круга.

Прямой угол А квадрата делится прямыми АО и АС на три равные части. Угол ВАС равен 2/3 прямого угла. Углы С'АО и ОАВ' равны 1/3 прямого угла каждый. То же относится к углам при В и С.

Шесть углов при О равны 2/3 прямого каждый.

Перегните бумагу по линиям А'В', В'С' и С'А' (рис. 2). В таком случае А'В'С есть равносторонний треугольник. Его площадь равна 1/4 площади треугольника ABC. Отрезки А'В', В'С', С'А' параллельны соответственно АВ, ВС, СА и равны половинам их. АС'А'В' есть ромб, С'ВА'В' и СВ'С'А' — также, А'В', В'С', С'А' делят соответственные высоты пополам.

 

 

рис. 2

 

 

Как из квадрата получить правильный шестиугольник?

На рис. 1 представлен образец орнамента из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников, который вы теперь легко можете построить сами.

Можно, в свою очередь, разделить шестиугольник на равные правильные шестиугольники и равносторонние треугольники (рис. 2), делая перегибы через точки, делящие его стороны на три равные части. Получается красивый симметричный орнамент.

Можно получить шестиугольник еще и следующим путем. Возьмем равносторонний треугольник и перегнем его так, чтобы все его вершины сошлись в центре. Из того, что мы уже знаем о равностороннем треугольнике, нетрудно вывести, что сторона полученного шестиугольника равна 1/3 стороны взятого равностороннего треугольника. Площадь же этого шестиугольника равна 2/3 площади взятого треугольника.

 

 

 

 

Как в данном квадрате построить правильный восьмиугольник?

 

 

 

Каждый, изучавший геометрию, знает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Но мало кому известно, что эта фундаментальная теорема может быть «доказана» с помощью простого лоскутка бумаги.

Мы ставим слово «доказана» в кавычки, потому что это не доказательство в строгом смысле слова, а скорее лишь наглядная демонстрация. Но все же этот остроумный прием очень любопытен и поучителен.

Вырезают из бумаги треугольник любой формы и перегибают его сначала по линии АВ (см. рисунок) так, чтобы основание треугольника легло на себя. Затем, снова разогнув бумагу, перегибают треугольник по линии CD так, чтобы вершина А попала в точку В. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CG так, чтобы точки Е и F попали в точку В, получим прямоугольник CDHG и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1, 2, 3) составляют в сумме два прямых.

 

 

Необычайная наглядность и простота этого приема позволяют познакомить даже детей, не изучавших геометрии, с одной из ее важнейших теорем. Для знающих же геометрию он представляет интересную задачу — объяснить, почему такое сгибание бумажного треугольника всегда дает желаемый результат. Объяснить это нетрудно, и мы не хотели бы лишить читателя удовольствия самому подыскать геометрическое обоснование этого своеобразного «доказательства».

 

 

 

Показать, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

 

 

Нарисуем два равных квадрата, стороны которых, равны сумме обоих катетов данного на рис. 1 треугольника. Затем в полученных нами квадратах произведем построения, указанные на рис. 2, 3. Здесь от каждого из равных квадратов мы отнимаем по 4 равных треугольника. Если отнимать от равных величин поровну, то и остатки получатся равные. Эти остатки на рис. 2, 3 заштрихованы; но на рис. 2 получаются два квадрата, построенные на катетах данного треугольника, а на рис. 3 —- квадрат, построенный на гипотенузе, и сумма площадей первых двух квадратов равна, следовательно, площади второго.

Мы доказали, таким образом, знаменитую теорему Пифагора.

Другое доказательство той же теоремы найдем, если на взятом бумажном квадрате сделаем сгибы, как указано на рис. 4. Здесь GEH есть прямоугольный треугольник и площадь квадрата, построенного на ЕН, равна сумме площадей квадратов, построенных на EG и GH.

 

 

рис. 4

 

 

Призовем теперь на помощь ножницы и будем не только перегибать, но и разрезать бумагу. Так мы придем ко многим интересным и поучительным задачам.

 

 

 

Пусть фигура состоит из трех равных квадратов, расположенных так, как показано на рисунке.

 

 

Вырезать из этой фигуры такую часть, чтобы, приложив ее к оставшейся части, получить квадрат, внутри которого имеется квадратное отверстие.

 

 

 

 

Кусок бумаги или картона имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна 4, а другая 9 единицам длины. Разрезать этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их надлежащим образом, получить квадрат.

 

 

 

У одной хозяйки был прямоугольный коврик размером 120 х 90 сантиметров. Два противоположных угла его истрепались, пришлось их отрезать (на рисунке эти треугольные куски заштрихованы). Но хозяйке все же хотелось иметь коврик в форме прямоугольника. Она поручила мастеру разрезать его на такие две части, чтобы из них можно было сшить прямоугольник, не теряя, конечно, ни кусочка материи. Мастер исполнил желание хозяйки.

 

 

Как ему удалось это сделать?

 

 

 

У другой хозяйки было два клетчатых коврика: один размером 60 х 60 см, другой 80 х 80 см (рисунок). Она решила сделать из них один клетчатый коврик размером 100 х 100 см. Мастер взялся выполнить эту работу и пообещал, что каждый коврик будет разрезан не более чем на две части и при этом не будет разрезана ни одна клетка. Обещание свое он сдержал.

Как он поступил?

 

 

 

 

На коврике (рисунок) изображено 7 роз. Требуется тремя прямыми линиями разрезать коврик на 7 частей, каждая из которых содержала бы по одной розе.

 

 

 

 

Разрезать квадратный кусок бумаги на 20 равных треугольников и сложить из них 5 равных квадратов.

 

 

 

Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат.

 

 

 

Разрезать квадрат на семь таких частей, чтобы сложив их надлежащим образом, получить три равных квадрата.

Эту задачу можно обобщить:

1. Разрезать квадрат на такие части, из которых можно было бы составить данное число равных квадратов.

2. Разрезать квадрат на наименьшее число частей, которые, соответственно сложенные, давали бы некоторое число равных между собою квадратов.

3. Разрезать квадрат на такие 8 частей, чтобы, соответственно сложенные, они составили 3 квадрата, площади которых были бы пропорциональны числам 2, 3 и 4.

 

 

 

Разрезать квадрат на 8 таких частей, чтобы, сложив их соответственным образом, получить два квадрата, площадь одного из которых была бы вдвое больше площади другого.

 

 

 

Разрезать правильный шестиугольник на 5 таких частей, чтобы, соответственно сложенные, они образовали квадрат.