Один малыш жаловался, что ему трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9. Отец его нашел очень легкий способ помочь памяти с помощью пальцев рук. Вот этот способ.

Положите обе руки рядом на стол и вытяните пальцы. Пусть каждый палец по порядку означает соответствующее число: первый слева 1, второй за ним 2, третий 3, четвертый 4 и т. д. до десятого, который означает 10. Требуется теперь умножить любое из первых десяти чисел на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает множимое. Тогда остальные пальцы, лежащие налево от поднятого пальца, дадут в сумме число десятков, а пальцы направо — число единиц.

Пусть надо умножить 7 на 9. Кладете обе руки на стол и поднимаете седьмой палец, налево от поднятого пальца лежит 6 пальцев, а направо — 3. Значит, результат умножения 7 на 9 равен 63.

Это удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас же станет понятным, если рассмотреть таблицу умножения первых десяти последовательных чисел на 9:

 

1 X 9 = 09           6 X 9 = 54

2 X 9 = 18           7 X 9 = 63

3 X 9 = 27           8 X 9 = 72

4 X 9 = 36           9 X 9 = 81

5 X 9 = 45         10 X 9 = 90

 

Здесь цифры десятков в произведениях идут, последовательно увеличиваясь на единицу: 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 8, 9, а цифры единиц идут, наоборот, уменьшаясь на единицу: 9, 8, 7, . . . , 1, 0. Сумма же цифр единиц и десятков всюду равна 9. Простым поднятием соответствующего пальца мы отмечаем это и... умножаем. Человеческая рука есть одна из первых счётных машин.

 

 

 

Каждый день в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлантический океан в Нью-Йорк и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении совершается ровно за 7 дней. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встречает пароход на пути из Гавра в Нью-Йорк?

 

 

 

Крестьянка принесла на рынок корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму — половину остатка и еще пол-яблока, третьему — половину остатка да еще пол-яблока и т. д. Когда же пришел шестой покупатель и купил у нее половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что крестьянка продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на рынок?

 

 

 

В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала всползать на дерево. В течение дня, т. е. до 18 часов, она всползала на высоту 5 м, а в течение ночи спускалась на 2 м. В какой день и час она всползет на высоту 9 м?

 

 

Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, со скоростью 50 км/ч. Но вместе с первым велосипедистом из города А вылетает муха, пролетающая в час 10 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В, и так продолжала она свои полеты вперед и назад до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?

 

 

 

Два путешественника идут по одной и той же дороге в одном и том же направлении. Первый находится на 8 км впереди другого и идет со скоростью 4 км/ч, второй делает по 6 км в час. У одного из путешественников есть собака, которая именно в тот момент, когда мы начали наблюдать за ними, побежала от своего хозяина к другому путешественнику (ее скорость 15 км/ч). Затем она вернулась к хозяину и опять побежала к другому путешественнику. Так она бегала от одного к другому до тех пор, пока путешественники не встретились. Нужно узнать, какой путь пробежала собака.

 

 

 

Существует очень простой прием для устного быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5. Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее целое число и к произведению приписать 25.

Например,

 

352 = 1225, 852 = 7225.

 

Объясните, почему так получается.

 

 

 

Некоторое число оканчивается на 2. Если же эту его последнюю цифру переставить на первое место, то число удвоится.

Найти это число.

 

 

Найти число, которое, будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, по на 7 это число делится нацело.

 

 

 

Для предлагаемой задачи можно пользоваться карточками, которые нетрудно нарезать из бумаги, и нарисовать на них карандашом, или чернилами черные кружочки. На первой — один кружочек, на второй - 2, на третьей — 3 и т. д. до десяти. Каждую карточку надо сделать в двух экземплярах.

Теперь мы вполне подготовлены для практического решения следующей задачи:

Взято десять сделанных нами карточек, от единицы до десятка. Вычислить, сколько всего очков будет в этих десяти карточках, не прибавляя последовательно очков первой карточки ко второй, результата этого сложения — к очкам третьей и т. д., т. е. не делая длинного ряда последовательных сложений.

Дело сводится к тому, чтобы быстро, без последовательного сложения узнать сумму первых десяти чисел (от 1 до 10). Берем десять карточек от единицы до десятки и кладем их в ряд. Берем затем десять других карточек и подкладываем их под первым рядом, но только в обратном порядке:

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 6 4 3 2 1

 

У нас получается два ряда по десяти карточек, или десять столбцов по две карточки. Если сосчитать, сколько очков в каждом столбце, окажется, что в каждом столбце по одиннадцати очков. А всего в десяти столбцах, или в двух рядах карточек,— десять раз по одиннадцати очков, или 110 очков. Но в обоих длинных рядах, очевидно, по одинаковому числу очков. Значит, сумма всех очков одного ряда равна половине 110, т. е. равна 55. Итак, в десяти карточках — 55 очков.

Нетрудно видеть, что подобным же образом, не прибегая к последовательному сложению, мы можем вычислить сумму любого ряда целых последовательных чисел до любого данного числа. Например, сумма всех чисел от 1 до 100 будет равна половине сто раз взятого 101, т. е. 5050.

 

 

 

На расстоянии метра одно от другого лежат в ряд сто яблок, и на расстоянии метра же от первого яблока садовник принес и поставил корзину.

Спрашивается, какой длины путь совершит он, если возьмется собрать эти яблоки так, чтобы брать их последовательно одно за другим и каждое отдельно относить в корзину, которая все время стоит на одном и том же месте?

 

 

 

Сколько ударов в сутки делают часы с боем?

 

 

 

Как найти сумму n первых натуральных чисел?

С частными случаями этой задачи мы уже встречались раньше. Представим теперь идею решения геометрически.

Возьмем прямоугольник; боковую сторону его разделим на n равных частей, а основание на n + 1 частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Получим сетку, разбивающую его на n (n + 1) маленьких равных прямоугольников (см. рис.).

Рисунок выполнен для случая n = 8. Заштрихуем теперь клетки так, как показано на рисунке. Число заштрихованных клеток выразится суммой

 

n + (n - 1) + (n - 2) + . . . + 3 + 2 + 1.

 

Но и количество белых клеток, если считать их по столбцам справа налево, равно тому же числу.

Значит,

 

2(1 + 2 + 3 + . . . + n ) = n - ( n + 1),

 

откуда и получаем ответ:

 

 

 

 

Посмотрите на таблицу:

 

1 = 1²,

1 + 3 = 4 = 2²,

1 + 3 + 5 = 9 = З²,

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².

 

Может быть, эта закономерность (сумма, подряд стоящих нечетных чисел, начиная с 1, равна квадрату их числа) сохраняется и дальше. Как это проверить?