Пятое математическое действие
Пятое действие
Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», подчеркивая, что к четырем общеизвестным математическим операциям она присоединяет три новых: возведение в степень и два ему обратных действия.
Наши алгебраические беседы начнутся с «пятого действия» —
возведения в степень.
Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Далее: сила всемирного тяготения, электростатическое и магнитное взаимодействия, свет, звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния. Продолжительность обращения планет вокруг Солнца (и спутников вокруг планет) связана с расстояниями от центра обращения также степенной зависимостью: вторые степени времен обращения относятся между собою, как третьи степени расстояний.
Не надо думать, что практика сталкивает нас только со вторыми и третьими степенями, а более высокие показатели существуют только в упражнениях алгебраических задачников. Инженер, производя расчеты на прочность, сплошь и рядом имеет дело с четвертыми степенями, а при других вычислениях (например, диаметра паропровода) — даже с шестой степенью. Исследуя силу, с какой текучая вода увлекает камни, гидротехник наталкивается на зависимость также шестой степени: если скорость течения в одной реке вчетверо больше, чем в другой, то быстрая река способна перекатывать по своему ложу камни в 46, т. е. в 4096 раз более тяжелые, чем медленная.
С еще более высокими степенями встречаемся мы, изучая зависимость яркости раскаленного тела — например, нити накала в электрической лампочке от температуры. Общая яркость растет при белом калении с двенадцатой степенью температуры, а при красном — с тридцатой степенью температуры («абсолютной», т. е. считаемой от минус 273°). Это означает, что тело, нагретое, например, от 2000° до 4000° (абсолютных), т. е. в два раза сильнее, становится ярче в 212, иначе говоря, более чем в 4000 раз. О том, какое значение имеет эта своеобразная зависимость в технике изготовления электрических лампочек, мы еще будем говорить в другом месте.
Никто, пожалуй, не пользуется так широко пятым математическим действием, как астрономы. Исследователям вселенной на каждом шагу приходится встречаться с огромными числами, состоящими из одной-двух значащих цифр и длинного ряда нулей. Изображение обычным образом подобных числовых исполинов, справедливо называемых «астрономическими числами», неизбежно вело бы к большим неудобствам, особенно при вычислениях. Расстояние, например, до туманности Андромеды, написанное обычным порядком, представляется таким числом километров:
95 000 000 000 000 000 000.
При выполнении астрономических расчетов приходится к тому же выражать зачастую небесные расстояния не в километрах или более крупных единицах, а в сантиметрах. Рассмотренное расстояние изобразится в этом случае числом, имеющим на пять нулей больше:
9 500 000 000 000 000 000 000 000.
Массы звезд выражаются еще большими числами, особенно если их выражать, как требуется для многих расчетов, в граммах. Масса нашего Солнца в граммах равна
1 983 009 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Легко представить себе, как затруднительно было бы производить вычисления с такими громоздкими числами и как легко было бы при этом ошибиться. А ведь здесь приведены далеко еще не самые большие астрономические числа.
Пятое математическое действие дает вычислителям простой выход из этого затруднения. Единица, сопровождаемая рядом нулей, представляет собой определенную степень десяти:
100 = 102, 1000 = 103, 10 000 = 104 и т. д.
Приведенные раньше числовые великаны могут быть поэтому представлены в таком виде:
первый ... ... ... 95 • 1023,
второй ... ... ... 1 983 • 1030.
Делается это не только для сбережения места, но и для облегчения расчетов. Если бы потребовалось, например, оба эти числа перемножить, то достаточно было бы найти произведение 95 • 1983 = 188385 и поставить его впереди множителя 1023+30 = 1053;
95 • 1023 • 1 983 • 1030 = 188 385 • 1053.
Это, конечно, гораздо удобнее, чем выписывать сначала число с 23 нулями, затем с 30 и, наконец, с 53 нулями, — не только удобнее, но и надежнее, так как при писании десятков нулей можно проглядеть один-два нуля и получить неверный результат.
Чтобы убедиться, насколько облегчаются практические вычисления при пользовании степенным изображением больших чисел, выполним такой расчет: определим, во сколько раз масса земного шара больше массы всего окружающего его воздуха.
На каждый кв. см земной поверхности воздух давит, мы знаем, с силой около килограмма. Это означает, что вес того столба атмосферы, который опирается на 1 кв. см, равен 1 кг. Атмосферная оболочка Земли как бы составлена вся из таких воздушных столбов; их столько, сколько кв. сантиметров содержит поверхность нашей планеты; столько же килограммов весит вся атмосфера. Заглянув в справочник, узнаем, что величина поверхности земного шара равна 510 млн. кв. км, т. е. 51 • 107 кв. км.
Рассчитаем, сколько квадратных сантиметров в квадратном километре. Линейный километр содержит 1000 м, по 100 см в каждом, т. е. равен 105 см, а кв. километр содержит (105)2 = 1010 кв. сантиметров. Во всей поверхности земного шара заключается поэтому
51 • 107 • 1010 = 51 • 1017
кв. сантиметров. Столько же килограммов весит и атмосфера Земли. Переведя в тонны, получим:
51 • 1017 : 1 000 = 51 • 1017 : 103 = 51 • 1017-3 = 51 • 1014.
Масса же земного шара выражается числом 6 •
Чтобы определить, во сколько раз наша планета тяжелее ее воздушной оболочки, производим деление:
6 • 1021 : 51 • 1014 ≈ 106,
т. е. масса атмосферы составляет примерно миллионную долю массы земного шара.
Если вы спросите у химика, почему дрова или уголь горят только при высокой температуре, он скажет вам, что соединение углерода с кислородом происходит, строго говоря, при всякой температуре, но при низких температурах процесс этот протекает чрезвычайно медленно (т. е. в реакцию вступает весьма незначительное число молекул) и потому ускользает от нашего наблюдения. Закон, определяющий скорость химических реакций, гласит, что с понижением температуры на 10° скорость реакции (число участвующих в ней молекул) уменьшается в два раза.
Применим сказанное к реакции соединения древесины с кислородом, т. е. к процессу горения дров. Пусть при температуре пламени 600° сгорает ежесекундно 1 грамм древесины. Во сколько времени сгорит 1 грамм дерева при 20°? Мы уже знаем, что при температуре, которая на 580 = 58 • 10 градусов ниже, скорость реакции меньше в
258 раз,
т. е. 1 грамм дерева сгорит в 258 секунд.
Скольким годам равен такой промежуток времени? Мы можем приблизительно подсчитать это, не производя 57 повторных умножений на два и обходясь без логарифмических таблиц. Воспользуемся тем, что
210 = 1024 ≈ 103.
Следовательно,
258 = 260-2 = 260 : 22 = 1/4 • 260 = 1/4 • (210)6 ≈ 1/4
• 1018,
т. е. около четверти квинтиллиона секунд. В году около 30 млн., т. е. 3 • 107, секунд; поэтому
(1/4 • 1018) : (3 • 107) = 1/12 • 1011 ≈ 1010.
Десять миллиардов лет! Вот во сколько примерно времени сгорел бы грамм дерева без пламени и жара.
Итак, дерево, уголь горят и при обычной температуре, не будучи вовсе подожжены. Изобретение орудий добывания огня ускорило этот страшно медленный процесс в миллиарды раз.
З А Д А Ч А
Будем характеризовать погоду только по одному признаку, — покрыто ли небо облаками или нет, т. е. станем различать лишь дни ясные и пасмурные. Как вы думаете, много ли при таком условии возможно недель с различным чередованием погоды?
Казалось бы, немного: пройдет месяца два, и все комбинации ясных и пасмурных дней в неделе будут исчерпаны; тогда неизбежно повторится одна из тех комбинаций, которые уже наблюдались прежде.
Попробуем, однако, точно подсчитать, сколько различных комбинаций возможно при таких условиях. Это — одна из задач, неожиданно приводящих к пятому математическому действию.
Итак: сколькими различными способами могут на одной неделе чередоваться ясные и пасмурные дни?
Р Е Ш Е Н И Е
Первый день недели может быть либо ясный, либо пасмурный; имеем, значит, пока две «комбинации».
В течение двухдневного периода возможны следующие чередования ясных и пасмурных дней;
ясный и ясный
ясный и пасмурный
пасмурный и ясный
пасмурный и пасмурный.
Итого в течение двух дней 22 различного рода чередования. В трехдневный промежуток каждая из четырех комбинаций первых двух дней сочетается с двумя комбинациями третьего дня; всех родов чередования будет
22 • 2 = 23.
В течение четырех дней число чередований достигнет
23 • 2 = 24.
За пять дней возможно 25, за шесть дней 26 и, наконец, за неделю 27 = 128 различного рода чередований.
Отсюда следует, что недель с различным порядком следования ясных и пасмурных дней имеется 128. Спустя 128 • 7 = 396 дней необходимо должно повториться одно из прежде бывших сочетаний; повторение, конечно, может случиться и раньше, но 896 дней — срок, по истечении которого такое повторение неизбежно. И обратно: может пройти целых два года, даже больше (2 года и 166 дней), в течение которых ни одна неделя по погоде не будет похожа на другую.
З А Д А Ч А
В одном советском учреждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней?
Р Е Ш Е Н И Е
Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать.
Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно
36 • 36 = 362.
К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно
362 • 36 = 363.
Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 364, а пятибуквенных 365
или 60 466 176. Чтобы составить эти 60 с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую,
3 • 60 466 176 = 181 398 528
секунд. Это составляет более 50 000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней — более 20 лет.
Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или один из 630. Это очень малая вероятность.
З А Д А Ч А
До недавнего времени каждому велосипеду присваивался номер подобно тому, как это делается для автомашин. Эти номера были шестизначные.
Некто купил себе велосипед, желая выучиться ездить на нем. Владелец велосипеда оказался на редкость суеверным человеком. Узнав о существовании повреждения велосипеда, именуемого «восьмеркой», он решил, что удачи ему не будет, если ему достанется велосипедный номер, в котором будет хоть одна цифра 8. Однако, идя за получением номера, он утешал себя следующим рассуждением. В написании каждого числа могут участвовать 10 цифр: 0,1, ..., 9. Из них «несчастливой» является только цифра 8. Поэтому имеется лишь один шанс из десяти за то, что номер окажется «несчастливым».
Правильно ли было это рассуждение?
Р Е Ш Е Н И Е
Всего имелось 999 999 номеров: от 000 001, 000 002 и т. д. до 999 999. Подсчитаем, сколько существует «счастливых» номеров. На первом месте может стоять любая из девяти «счастливых» цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. На втором — также любая из этих девяти цифр. Поэтому существует 9 • 9 = 92 «счастливых» двухзначных комбинаций. К каждой из этих комбинаций можно приписать (на третьем месте) любую из девяти цифр, так что «счастливых» трехзначных комбинаций возможно 92 • 9 = 93.
Таким же образом определяем, что число шестизначных «счастливых» комбинаций равно 96. Следует, однако, учесть, что в это число входит комбинация 000 000, которая непригодна в качестве велосипедного номера. Таким образом, число «счастливых» велосипедных номеров равно 96 — 1 = 53 1 440, что составляет немногим более 53% всех номеров, а не 90%, как предполагал велосипедист.
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что среди семизначных номеров имеется больше «несчастливых» номеров, чем «счастливых».
Разительный пример чрезвычайно быстрого возрастания самой маленькой величины при повторном ее удвоении дает общеизвестная легенда о награде изобретателю шахматной игры. Не останавливаясь на этом классическом примере, приведу другие, не столь широко известные.
З А Д А Ч А
Инфузория парамеция каждые 27 часов (в среднем) делится пополам. Если бы все нарождающиеся таким образом инфузории оставались в живых, то сколько понадобилось бы времени, чтобы потомство одной парамеции заняло объем, равный объему Солнца?
Данные для расчета: 40-е поколение парамеций, не погибающих после деления, занимает в объеме 1 куб. м; объем Солнца примем равным
1027 куб. м.
Р Е Ш Е Н И Е
Задача сводится к тому, чтобы определить, сколько раз нужно удваивать 1 куб. м, чтобы получить объем в
1027 куб. м. Делаем преобразования:
1027 = (103)9 ≈ (210)9 =
290,
так как 210 ≈ 1000.
Значит, сороковое поколение должно претерпеть еще 90 делений, чтобы вырасти до объема Солнца.
Общее число поколений, считая от первого, равно 40 + 90 = 130. Легко сосчитать, что это произойдет на 147-е сутки.
Заметим, что фактически одним микробиологом (Метальниковым) наблюдалось 8061 деление парамеции. Предоставляю читателю самому рассчитать, какой колоссальный объем заняло бы последнее поколение, если бы ни одна инфузория из этого количества не погибла...
Вопрос, рассмотренный в этой задаче, можно предложить, так сказать, в обратном виде:
Вообразим, что наше Солнце разделилось пополам, половина также разделилась пополам и т. д. Сколько понадобится таких делений, чтобы получились частицы величиной с инфузорию?
Хотя ответ уже известен читателям — 130, он все же поражает своею несоразмерной скромностью.
Мне предложили ту же задачу в такой форме:
Листок бумаги разрывают пополам, одну из полученных половин снова делят пополам и т. д. Сколько понадобится делений, чтобы получить частицы атомных размеров?
Допустим, что бумажный лист весит 1 г, и примем для веса атома величину порядка 1/1024. Так как в последнем выражении можно заменить 1024 приближенно равным ему выражением 280, то ясно, что делений пополам потребуется всего 80, а вовсе не миллионы, как приходится иногда слышать в ответ па вопрос этой задачи.
Электрический прибор, называемый триггером, содержит две электронные лампы (т. е. примерно такие лампы, которые применяются в радиоприемниках). Ток в триггере может идти только через одну лампу: либо через «левую», либо через «правую». Триггер имеет два контакта, к которым может быть извне подведен кратковременный электрический сигнал (импульс), и два контакта, через которые с триггера поступает ответный импульс. В момент прихода извне электрического импульса триггер переключается: лампа, через которую шел ток, выключается, а ток начинает идти уже через другую лампу. Ответный импульс подается триггером в тот момент, когда выключается правая лампа и включается левая.
Проследим, как будет работать триггер, если к нему подвести один за другим несколько электрических импульсов. Будем характеризовать состояние триггера по его правой лампе: если ток через правую лампу не идет, то скажем, что триггер находится в «положении 0», а если ток через правую лампу идет, — то в «положении 1».
Первоначальное положение 0
|
|
После первого импульса: положение 1
После второго импульса: положение 0 и подача ответного импульса
Рис. 1.
Пусть первоначально триггер находился в положении 0, т. е. ток шел через левую лампу (рис. 1). После первого импульса ток будет идти через правую лампу, т. е. триггер переключится в положение
1. При этом ответного импульса с триггера не поступит, так как ответный сигнал подается в момент выключения правой (а не левой) лампы.После второго импульса ток будет идти уже через левую лампу, т. е. триггер снова попадет в положение 0. Однако при этом триггер подаст ответный сигнал (импульс).
В результате (после двух импульсов) триггер; снова придет к начальному состоянию. Поэтому после третьего импульса триггер (как и после первого) попадет в положение 1, а после четвертого (как и после второго) — в положение 0 с одновременной подачей ответного сигнала и т. д. После каждых двух импульсов состояния триггера повторяются.
Представим себе теперь, что имеются несколько триггеров и что импульсы извне подводятся к первому триггеру, ответные импульсы первого триггера подводятся ко второму, ответные импульсы второго — к третьему и т. д. (на рис. 2 триггеры расположены
Рис. 2.
один за другим справа налево). Проследим, как будет работать такая цепочка триггеров.
Пусть сначала все триггеры находились в положениях 0. Например, для цепочки, состоящей из пяти триггеров, мы имели комбинацию 00000. После первого импульса первый триггер (самый правый) попадет в положение 1, а так как ответного импульса при этом не будет, то все остальные триггеры останутся в положениях 0, т. е. цепочка будет характеризоваться комбинацией 00001. После второго импульса первый триггер выключится (попадает в положение 0), но подаст при этом ответный импульс, благодаря чему включится второй триггер. Остальные триггеры останутся в положениях 0, т, е. получится комбинация 00010. После третьего импульса включится первый триггер, а остальные не изменят своих положений. Мы будем иметь комбинацию 00011. После четвертого импульса выключится первый триггер, подав ответный сигнал; от этого ответного импульса выключится второй триггер и также даст ответный импульс; наконец, от этого последнего импульса включится третий триггер. В результате мы получим комбинацию 00100.
Аналогичные рассуждения можно продолжать и далее. Посмотрим, что при этом получается:
Мы видим, что цепочка триггеров «считает» поданные извне сигналы и своеобразным способом «записывает» число этих сигналов. Нетрудно видеть, что «запись» числа поданных импульсов происходит не в привычной для нас десятичной системе, а в двоичной системе счисления.
Всякое число в двоичной системе счисления записывается нулями и единицами. Единица следующего разряда не в десять раз (как в обычной десятичной записи), а только в два раза больше единицы предыдущего разряда. Единица, стоящая в двоичной записи на последнем (самом правом) месте, есть обычная единица. Единица следующего разряда (на втором месте справа) означает двойку, следующая единица означает четверку, затем восьмерку и т. д.
Например, число 19 = 16 + 2 + 1 запишется в двоичной системе в виде 10011.
Итак, цепочка триггеров «подсчитывает» число поданных сигналов и «записывает» его по двоичной системе счисления. Отметим, что переключение триггера, т. е. регистрация одного приходящего импульса, продолжается всего... стомиллионные доли секунды! Современные триггерные счетчики могут «подсчитывать» десятки миллионов импульсов в секунду. Это в миллионы раз быстрее, чем счет, который может проводить человек без всяких приборов; глаз человека может отчетливо различать сигналы, следующие друг за другом не чаще, чем через 0,1 сек.
Если составить цепочки из двадцати триггеров, т. е. записывать число поданных сигналов не более чем двадцатью цифрами двоичного разложения, то можно «считать» до 220 — 1; это число больше миллиона. Если же составить цепочку из 64 триггеров, то можно записать с их помощью знаменитое «шахматное число».
Возможность подсчитывать миллионы сигналов в секунду очень важна для экспериментальных работ, относящихся к ядерной физике. Например, можно подсчитывать число частиц того или иного вида, вылетающих при атомном распаде.
Замечательно, что триггерные схемы позволяют также производить д е й с т в и я над числами. Рассмотрим, например, как можно осуществить сложение двух чисел.
Пусть три цепочки триггеров соединены так, как указано на рис. 3. Верхняя цепочка триггеров служит
Рис. 3.
для записи первого слагаемого, вторая цепочка—для записи второго слагаемого, а нижняя цепочка — для получения суммы. В момент включения прибора на триггеры нижней цепочки приходят импульсы от тех триггеров верхней и средней цепочек, которые находятся в положении 1.
Пусть, например, как это указано на рис. 3, в первых двух цепочках записаны слагаемые 101 и 111 (двоичная система счисления). Тогда на первый (самый правый) триггер нижней цепочки приходят (в момент включения прибора) два импульса: от первых триггеров каждого из слагаемых. Мы уже знаем, что в результате получения двух импульсов первый триггер останется в положении 0, но даст ответный импульс на второй триггер. Кроме того, на второй триггер приходит сигнал от второго слагаемого. Таким образом, на второй триггер приходят два импульса, вследствие чего второй триггер окажется в положении 0 и пошлет ответный импульс на третий триггер. Кроме того, на третий триггер приходят еще два импульса (от каждого из слагаемых). В результате полученных трех сигналов третий триггер перейдет в положение 1 и даст ответный импульс. Этот ответный импульс переводит четвертый триггер в положение 1 (других сигналов на четвертый триггер не поступает). Таким образом, изображенный на рис. 3 прибор выполнил (в двоичной системе счисления) сложение двух чисел «столбиком»:
или в десятичной системе: 5 + 7 = 12. Ответные импульсы в нижней. цепочке триггеров соответствуют тому, что прибор как бы «запоминает в уме» одну единицу и переносит ее в следующий разряд, т. е. выполняет то же, что мы делаем при сложении «столбиком».
Если бы в каждой цепочке было не 4, а скажем, 20 триггеров, то можно было бы производить сложение чисел в пределах миллиона, а при большем числе триггеров можно складывать еще большие числа.
Заметим, что в действительности прибор для выполнения сложения должен иметь несколько более сложную схему, чем та, которая изображена на рис. 3. В частности, в прибор должны быть включены особые устройства, осуществляющие «запаздывание» сигналов. В самом деле, при указанной схеме прибора сигналы от обоих слагаемых приходят на первый триггер нижней цепочки одновременно (в момент включения прибора), В результате оба сигнала сольются вместе и триггер воспримет их как один сигнал, а не как два. Во избежание этого нужно, чтобы сигналы от слагаемых приходили не одновременно, а с некоторым «запаздыванием» один после другого. Наличие таких «запаздываний» приводит к тому, что сложение двух чисел требует большего времени, чем регистрация одного сигнала в триггерном счетчике.
Изменив схему, можно заставить прибор выполнять не сложение, а вычитание. Можно также осуществить умножение (оно сводится к последовательному выполнению сложения и поэтому требует в несколько раз больше времени, чем сложение), деление и другие операции.
Устройства, о которых говорилось выше, применяются в современных вычислительных машинах. Эти машины могут выполнять десятки и даже сотни тысяч действий над числами в одну секунду! А в недалеком будущем будут созданы машины, рассчитанные на выполнение миллионов операций в секунду. Казалось бы, что такая головокружительная скорость выполнения действий ни к чему. Какая, например, может быть разница в том, сколько времени машина будет возводить в квадрат 15-значное число: одну десятитысячную долю секунды или, скажем, четверть секунды? И то и другое покажется нам «мгновенным» решением задачи...
Однако не спешите с выводами. Возьмем такой пример. Хороший шахматист, прежде чем сделать ход, анализирует десятки и даже сотни возможных вариантов. Если, скажем, исследование одного варианта требует нескольких секунд, то на разбор сотни вариантов нужны минуты и десятки минут. Е1ередко бывает, что в сложных партиях игроки попадают в «цейтнот», т. е. вынуждены быстро делать ходы, так как на обдумывание предыдущих ходов они затратили почти все положенное им время. А что, если исследование вариантов шахматной партии поручить машине? Ведь, делая тысячи вычислений в секунду, машина исследует все варианты «мгновенно» и никогда не попадет в цейтнот...
Вы, конечно, возразите, что одно дело — вычисления (хотя бы и очень сложные), а другое дело — игра в шахматы: машина не может этого делать! Ведь шахматист при исследовании вариантов не считает, а думает! Не будем спорить: мы еще вернемся к этому вопросу ниже.
Займемся приблизительным подсчетом числа различных шахматных партий, какие вообще могут быть сыграны на шахматной доске. Точный подсчет в этом случае немыслим, но мы познакомим читателя с попыткой приближенно оценить величину числа возможных шахматных партий. В книге бельгийского математика М. Крайчика «Математика игр и математические развлечения» находим такой подсчет:
«При первом ходе белые имеют выбор из 20 ходов (16 ходов восьми пешек, каждая из которых может передвинуться на одно или на два поля, и по два хода каждого коня). На каждый ход белых черные могут ответить одним из тех же 20 ходов. Сочетая каждый ход белых с каждым ходом черных, имеем 20 • 20 = 400 различных партий после первого хода каждой стороны.
После первого хода число возможных ходов увеличивается. Если, например, белые сделали первый ход е2—е4, они для второго хода имеют выбор из 29 ходов. В дальнейшем число возможных ходов еще больше. Один только ферзь, стоя, например, на поле
d5, имеет выбор из 27 ходов (предполагая, что все поля, куда он может стать, свободны). Однако ради упрощения расчета будем держаться следующих средних чисел:по 20 возможных ходов для обеих сторон при первых пяти ходах;
по 30 возможных ходов для обеих сторон при последующих ходах.
Примем, кроме того, что среднее число ходов нормальной партии равно 40. Тогда для числа возможных партий найдем выражение
(20 • 20)5 • (30 • 30)35 ».
Чтобы определить приближенно величину этого выражения, пользуемся следующими преобразованиями и упрощениями:
(20 • 20)5 • (30 •
30)35 = 2010 • 3070 = 210 • З70 • 1080,
Заменяем 210 близким ему числом 1000, т. е, 103.
Выражение З70 представляем в виде
370 = 368 • 32 ≈ 10(З4)17 ≈ 10 • 8017 = 10 • 817 • 1017 = 251 • 1018 = 2(210)5 • 1018 ≈ 2 • 1015 • 1018 = 2 • 1033.
Следовательно,
(20 • 20)5 • (30 • 30)35 ≈ 103 • 2 • 1033 • 1080 = 2 • 10116.
Число это оставляет далеко позади себя легендарное множество пшеничных зерен, испрошенных в награду за изобретение шахматной игры (264 — 1 ≈ 18 • 1018). Если бы все население земного шара круглые сутки играло в шахматы, делая ежесекундно по одному ходу, то для исчерпания всех возможных шахматный партий такая непрерывная поголовная игра должна была бы длиться не менее 10100 веков!
Вы, вероятно, очень удивитесь, узнав, что некогда существовали шахматные автоматы. Действительно, как примирить это с тем, что число комбинаций фигур на шахматной доске практически бесконечно?
Дело разъясняется очень просто. Существовал не шахматный автомат, а только вера в него. Особенной популярностью пользовался автомат венгерского механика Вольфганга фон Кемпелена (1734 - 1804), который показывал свою машину при австрийском и русском дворах, а затем демонстрировал публично в Париже и Лондоне. Наполеон I играл с этим автоматом, уверенный, что меряется силами с машиной. В середине прошлого века знаменитый автомат попал в Америку и кончил там свое существование во время пожара в Филадельфии.
Другие автоматы шахматной игры пользовались уже не столь громкой славой. Тем не менее вера в существование подобных автоматически действующих машин не иссякла и в позднейшее время.
В действительности ни одна шахматная машина не действовала автоматически. Внутри прятался искусный живой шахматист, который и двигал фигуры. Тот мнимый автомат, о котором мы сейчас упоминали, представлял собою объемистый ящик, заполненный сложным механизмом. На ящике имелась шахматная доска с фигурами, передвигавшимися рукой большой куклы. Перед началом игры публике давали возможность удостовериться, что внутри ящика нет ничего, кроме деталей механизма. Однако в нем оставалось достаточно места, чтобы скрыть человека небольшого роста (эту роль играли одно время знаменитые игроки Иоганн Альгайер и Вильям Льюис). Возможно, что пока публике показывали последовательно разные части ящика, спрятанный человек бесшумно перебирался в соседние отделения. Механизм же никакого участия в работе аппарата не принимал и лишь маскировал присутствие живого игрока.
Из всего сказанного можно сделать следующий вывод: число шахматных партий практически бесконечно, а машины, позволяющие автоматически выбрать самый правильный ход, существуют лишь в воображении легковерных людей. Поэтому шахматного кризиса опасаться не приходится.
Однако в последние годы произошли события, позволяющие усомниться в правильности этого вывода: сейчас уже существуют машины, «играющие» в шахматы. Это — сложные вычислительные машины, позволяющие выполнять многие тысячи вычислений в секунду. О таких машинах мы уже говорили выше. Как же может машина «играть» в шахматы?
Конечно, никакая вычислительная машина ничего, кроме действий над числами, делать не может. Но вычисления проводятся машиной по определенной схеме действий, по определенной программе, составленной заранее.
Шахматная «программа» составляется математиками на основе определенной тактики игры, причем под тактикой понимается система правил, позволяющая для каждой позиции выбрать единственный («наилучший» в смысле этой тактики) ход. Вот один из примеров такой тактики. Каждой фигуре приписывается определенное число очков (стоимость):
|
Король .... |
+200 очков |
Пешка ................. |
+1 очко |
|
Ферзь ..... |
+9 очков |
Отсталая пешка |
—0,5 очка |
|
Ладья ..... |
+5 очков |
Изолированная пешка |
—0,5 очка |
|
Слон ....... |
+3 очка |
||
|
Конь ....... |
+3 очка |
Сдвоенная пешка |
—0,5 очка |
Кроме того, определенным образом оцениваются позиционные преимущества (подвижность фигур, расположение фигур ближе к центру, чем к краям, и т. д.), которые выражаются в десятых долях очка. Вычтем из общей суммы очков для белых фигур сумму очков для черных фигур. Полученная разность до некоторой степени характеризует материальный и позиционный перевес белых над черными. Если эта разность положительна, то у белых более выгодное положение, чем у черных, если же она отрицательна — менее выгодное положение.
Вычислительная машина подсчитывает, как может измениться указанная разность в течение ближайших трех ходов, выбирает наилучший вариант из всех возможных трехходовых комбинаций и печатает его на специальной карточке: «ход» сделан. На один ход машина тратит очень немного времени (в зависимости от вида программы и скорости действия машины), так что опасаться «цейтнота» ей не приходится.
Конечно, «обдумывание» партии только на три хода вперед характеризует машину как довольно слабого «игрока». Но можно не сомневаться в том, что при происходящем сейчас быстром совершенство
вании вычислительной техники машины скоро «научатся» гораздо лучше «играть» в шахматы.Более подробно рассказать о составлении шахматной программы для вычислительных машин было бы в этой книге затруднительно. Некоторые простейшие виды программ мы рассмотрим схематически в следующей главе.
Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:
| 9 |
9 | 9 |
т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.
Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой вселенной ничтожно по сравнению с ним. Предлагается здесь другая задача:
Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
Р Е Ш Е Н И Е
Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:
| 2 | 22 | |
Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико — меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 24, т. е. 16.
Подлинно наибольшее число из трех двоек — не 222 и не 222 (т. е. 484), а
222 = 4 194 304.
Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.
З А Д А Ч А
Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи:
Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
Р Е Ш Е Н И Е
Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как
| 3 | ||
| 33 | ||
т. е. З27, меньше чем З33.
Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.
З А Д А Ч А
Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
Р Е Ш Е Н И Е
Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ
444,
то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение
| 4 | 44 |
как раз дает большее число. В самом деле, 44 = 256, а 4256 больше чем 444.
Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие — нет. Рассмотрим общий случай.
Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.
Обозначим цифру буквой а. Расположению
222, З33, 444
соответствует написание
a10а+а, т. е. а11a
.
Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:
|
a |
aa |
|
|
Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то большая величина отвечает большему показателю. Когда же
аа > 11а?
Разделим обе части неравенства на а. Получим: а
Легко видеть, что а
a-1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что
4
4-1 > 11,
между тем как степени
З2 и 21
меньше 11.
Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и больших чисел — другое.
З А Д А Ч А
Четырьмя единицами, не употребляя никаких знаков математических действий, написать возможно большее число.
Р Е Ш Е Н И Е
Естественно приходящее на ум число — 1111 — не отвечает требованию задачи, так как степень
1111
во много раз больше. Вычислять это число десятикратным умножением на 11 едва ли у кого хватит терпения. Но можно оценить его величину гораздо, быстрее с помощью логарифмических таблиц.
Число это превышает 285 миллиардов и, следовательно, больше числа 1111 в 25 с лишним млн. раз.
З А Д А Ч А
Сделаем следующий шаг в развитии задач рассматриваемого рода и поставим наш вопрос для четырех двоек.
При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?
Р Е Ш Е Н И Е
Возможны 8 комбинаций:
2222, 2222, 2222, 2222,
| 22 | 22 | 2 | 222 | 2 | 222 | 2 | 2 | 22 | |||
|
, |
, |
, |
. |
Какое же из этих чисел наибольшее?
Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.
Первое — 2222, — очевидно, меньше трех прочих. Чтобы сравнить следующие два —
2222 и 2222,
преобразуем второе из них:
2222 = 222•11 = (222)11 = 48411,
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки — с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222.
В самом деле,
3222 =
(25)22 = 2110
— степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки — 2222.
Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел — сейчас полученное и следующие четыре:
| 22 | 22 |
2 |
222 |
2 |
222 | 22 | 22 | |||
|
, |
, |
, |
. |
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее, чем 324 или 220, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220+2 ( = 210•2 • 22 ≈ 106 • 4)
последний — явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:
| 2 | 222 |
|
. |
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством
210 ≈ 1000.
В самом деле,
222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
| 22 | 22 | ≈ 24000000 > 101200000 | |
| . |
Итак, в этом числе — свыше миллиона цифр.
|
|
|
|
|
|
