Алексей Кившенко родился 22 (10 по старому стилю) марта 1851 года в Венёвском уезде, Тульской губернии.

Базовое художественное образование А. Д. Кившенко получил в Рисовальной школе при Обществе поощрения художеств, где он учился у Крамского Ивана Николаевича. С 1867 года Кившенко в статусе вольнослушателя посещал Императорскую Академию художеств, пока в 1870 году не был принят на полноценной основе.

В 1877 году Алексей Кившенко закончил обучение получением большой золотой медали, звания классного художника первой степени, а также правом на заграничную поездку, оплачиваемую казной академии.

С 1880 по 1884 год Кившенко Алексей Данилович путешествовал по Европе, а после своего возвращения в Российскую империю был почти сразу одарён званием художника-академика. В последующие годы Кившенко преподавал в Императорской Академии художеств и в "Училище технического рисования".

Художник-живописец Кившенко Алексей Данилович был участником объединений "Санкт-Петербургское общество художников" и "Общество выставок художественных произведений".

Алексей Данилович Кившенко умер 2 октября 1895 года в немецком городе Гейдельберге, а похоронен был в Санкт-Петербурге на Смоленском православном кладбище.