Физика — наука, изучающая наиболее общие закономерности природы, строение и законы движения материи. Это один из способов описания мира, важнейшим элементом которого является математика. Физика как наука дает математическое описание реальности, в рамках которого обнаруживаются фундаментальные законы, управляющие поведением вещества.

Особенностью физики является то, что она оперирует понятиями, которым соответствуют измеримые, характеризуемые числом величины. Измеримые величины называются наблюдаемыми, и утверждения относительно наблюдаемых величин проверяемы.

Слово «физика» происходит от греч. physis = природа. Первоначально, в эпоху античной культуры наука, не была расчлененной и охватывала всю совокупность знаний о природных явлениях. По мере дифференциации знаний и методов исследования из общей науки о природе выделились отдельные науки, в том числе и физика. Границы, отделяющие физику от других естественных наук, в значительной мере условны и меняются с течением времени. Деление физики на отдельные дисциплины достаточно условно. Все изучаемые этой наукой темы перекрываются вследствие глубокой внутренней взаимосвязи между объектами материального мира и процессами, в которых они участвуют. Поэтому по изучаемым объектам физика делится на физику элементарных частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику твердого тела, физику плазмы. Другой критерий деления — изучаемые процессы или формы движения материи. Различают: механическое движение, тепловые процессы, электромагнитные явления, гравитационные, сильные, слабые взаимодействия. Соответственно в физике выделяют механику материальных точек и твердых тел, механику сплошных сред (включая акустику), термодинамику и статистическую механику, электродинамику (включая оптику), теорию тяготения, квантовую механику и квантовую теорию поля. По целям исследования выделяют иногда также прикладную физику (например, прикладная оптика). Особо выделяют учение о колебаниях и волнах, что обусловлено общностью закономерностей колебательных процессов различной физической природы и методов их исследования. Здесь рассматриваются механические, акустические, электрические и оптические колебания и волны с единой точки зрения.

Особенностью физики является то, что она оперирует понятиями, которым соответствуют измеримые, характеризуемые числом величины. Многие важные понятия обыденного языка (например, ум, справедливость), а также и более утонченные философские категории не таковы. Это существенное самоограничение, но благодаря ему физические высказывания приобретают четкий и однозначный смысл и, что не менее важно, могут быть подвергнуты экспериментальной проверке.

Измеримые величины называются наблюдаемыми, и утверждения относительно наблюдаемых величин проверяемы. Физика старается избегать высказываний, которые сами либо выводимые из них следствия не могут быть в принципе проверены и либо подтверждены, либо опровергнуты (важна именно принципиальная возможность проверки, независимо от того, осуществима ли она имеющимися в данный момент средствами).

Понятия «пространство» и «время» — это одновременно и понятия обыденного языка, и важные философские категории, но также и исходные фундаментальные понятия физики. Окружающий нас мир — это множество событий, происходящих в пространстве и времени.

Понятие «пространство» связано с протяженными телами. Тела находятся в пространстве. И это понятие наглядней и кажется более простым, чем «время», но и здесь есть свои трудности.

Простейшее изменение, происходящее в окружающем мире, — это движение, когда объект, оставаясь тождественным самому себе, перемещается из одного места в другое, и не случайно математическое описание реальности начиналось именно с описания движения. Когда мы говорим о движении, то подразумеваем движение в пространстве. Понятие «движение» соединяет между собой понятия «пространство» и «время», и часто они и связанные с ними проблемы рассматривались вместе. В физике эти два понятия слились в одно — «пространство-время». Мысленно легко абстрагироваться от предметов, заполняющих пространство, и представить себе «чистое» (абсолютное — по терминологии Ньютона) пространство, в котором нет ничего. Точно так же можно абстрагироваться от конкретных процессов, протекающих во времени, и сформировать представление о «чистом» времени, о времени «самом по себе». «Абсолютное, истинное, математическое время, само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему протекает равномерно и иначе называется длительностью» — определение, данное Ньютоном в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии». Пространство — это та арена, на которой происходят все явления окружающего нас мира, и они протекают во времени. Именно эти представления лежали в основе ньютоновской механики. Но постепенно стало ясно, что такие абстракции, как «чистое пространство» и «чистое время», не могут быть предметом научного обсуждения. Точки «чистого пространства» не наблюдаемы. Они неотличимы одна от другой. Невозможно говорить о движении относительно абсолютного пространства, потому что утверждения о движении или покое непроверяемы.

С античных времен, однако, считали, что свойства «чистого» пространства правильно описываются специальной математической дисциплиной — евклидовой геометрией, которую до сих пор изучают в школе. Утверждения геометрии (теоремы) можно было непосредственно проверить. Например, рассматривая конкретные прямоугольные треугольники и измеряя их стороны линейкой, можно убедиться в правильности теоремы Пифагора. Но главным достоинством теорем считали то, что они не нуждаются в экспериментальной проверке, потому что они «доказываются». Геометрия создавала и поддерживала иллюзию того, что могут быть осмысленные, содержательные и «правильные» (проверяемые) высказывания о некоторых свойствах реального мира, полученные чисто умозрительно, иллюзию, которая веками укрепляла философию и метафизику в их поисках умопостигаемых истин. Уверенность в том, что утверждения геометрии относятся к реальному пространству, была поколеблена лишь в середине XIX в., после создания неевклидовых геометрий (Лобачевский, Больяи и Гаусс). И нелегко и не сразу пришло осознание того, что теоремы геометрии как математической дисциплины не есть утверждения о свойствах реального физического пространства, в котором мы живем. Его свойства — предмет изучения физики, а не математики. Математик может работать с абстрактным пространством, потому что он сам наделяет его определенными свойствами. Физик имеет дело с миром, который существует сам по себе, и его свойства не могут быть установлены умозрительно.
 

 

 

Положение объекта в пустом пространстве не может быть задано и вообще быть предметом обсуждения, потому что точки пустого пространства неотличимы одна от другой. О положении тела можно говорить лишь по отношению к некоторому другому телу, которое будет представлять собой систему отсчета. Точки системы отсчета различимы, и, поставив каждой из них в соответствие три числа, так чтобы соседним точкам отвечали близкие числа, получим систему координат. Положение точки в данной системе отсчета однозначно определяется тремя числами — ее координатами.

 

 

Для дальнейшего обсуждения удобно организовать систему отсчета специальным образом. Представим себе кубическую решетку, выполненную из твердых стержней одинаковой длины. В этой решетке выделим три взаимно перпендикулярных оси, проходящие вдоль стержней, которые будут служить осями х, у, z декартовой системы координат. Мы получим систему отсчета (физический объект!) и связанную с ней декартову систему координат. Такая конструкция позволяет каждой точке в пределах решетки поставить в соответствие три числа х, у, z — декартовы координаты точки. Дополним нашу решетку часами. Будем считать, что в узлах решетки расположены одинаковые часы (во всех узлах — чтобы избежать сложной проблемы определения момента времени в данной точке пространства по удаленным часам).

 

 

Необходимо, однако, чтобы часы были синхронизированы, т. е. чтобы одновременным событиям соответствовали одинаковые показания часов. Предположим, что мы собрали одинаковые часы в одном месте, одновременно установили стрелки на ноль и разнесли после этого часы во все точки системы отсчета. Тогда, по определению, одинаковым показаниям часов в разных точках будут соответствовать одновременные события.

Теперь представим пустое пространство, и в нем находится описанная структура из стержней и часов. В этой структуре и будут разворачиваться физические события.

 

 

Опыт показывает, что, сваривая стержни под прямым углом, мы можем построить объемную кубическую решетку определенных размеров. Кубическую решетку неограниченных размеров из одинаковых твердых стержней в реальном пространстве построить нельзя. Рано или поздно, в зависимости от того, где ее строить, стержни перестанут стыковаться. При одинаковой точности стыковки в окрестности Земли можно построить большую решетку, чем вблизи какой-нибудь нейтронной звезды. Это означает, что наше физическое пространство искривлено, т. е. свойства реального пространства не такие, как свойства евклидова пространства. В малых объемах отклонения малы, но в космических масштабах они заметны. Реальное пространство искривлено, и степень этого искривления зависит от того, что в нем находится. А геометрия реального пространства — предмет изучения физики.

 

 

Многие случаи движения, представляющие практический интерес, моделируют движением точки. Но решение этой задачи дает ключ к решению и более сложной проблемы — описанию движения произвольных протяженных тел, поскольку любое из них может быть представлено как совокупность точек.

 

 

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ вдоль заданной кривой является простейшим случаем движения. Рассмотрим реальную ситуацию: автомобиль движется по известному шоссе из пункта А в пункт В. Как ее можно описать математически? Прежде всего упростим картину. Автомобиль заменим (смоделируем) точкой, а шоссе — кривой в пространстве, потому что нас интересует, как движется автомобиль по шоссе, в какие моменты времени он проходит через определенные пункты. Теперь вместо движущегося по шоссе автомобиля мы рассматриваем движение точки по заданной кривой.

Некоторую точку О кривой выберем в качестве начала отсчета. Зададим (произвольно) положительное направление вдоль кривой. Положение некоторой точки Р на кривой полностью определяется одним числом, например величиной s — длиной части кривой между точками О и Р. Считается, что при s > 0 точка Р сдвинута на расстояние s от точки О в положительном направлении кривой, а при s < 0 — в противоположном направлении. Введем теперь в рассмотрение время. Ясно, что каждому моменту времени t соответствует некоторое значение s. Такое соответствие в математике называется функцией и записывается так:

s = f(t).

 

Под f подразумевают некоторое правило, согласно которому каждому значению t из области определения функции ставится в соответствие значение s. Это правило может быть задано таблицей либо для достаточно простых случаев формулой. Будем называть s координатой движущейся точки.

Имея такую функцию, мы можем дать определение движению: если координата точки S меняется с течением времени, точка движется.

Каким образом можно фактически получить функцию S = f(t)? (Напомним, что физика оперирует лишь наблюдаемыми величинами.) Очень просто. Пусть у каждого километрового столба вдоль шоссе стоят наблюдатели с часами, и каждый из них по своим часам фиксирует момент прохождения автомобилем своего столба. В результате мы составим таблицу, в которой определенным значениям s соответствуют определенные значения t. Это непосредственный и безукоризненный способ получения функции, описывающей движение.

Наглядное представление о функции дает график.

 

 

Функция S = f(t) полностью описывает движение точки вдоль кривой. Непрерывность этой функции означает, что разность ее значений ∆s для двух моментов времени, разделенных малым промежутком ∆t, прямо пропорциональна величине промежутка, и это правило выполняется тем точнее, чем меньше промежуток. Не все функции, рассматриваемые математиками, таковы, но функции, описывающие движение материальных тел, обладают этим свойством, что гарантируется законами природы. Физически это означает, что невозможна ситуация, при которой реальное тело в данный момент времени находится здесь, а в следующий момент окажется на Марсе. Запишем формулу:

∆s = v(t)∆t,                                                                                               (1)

 

где ∆s — путь, пройденный точкой за малое время ∆t. Коэффициент пропорциональности между перемещением и временем зависит от того, как быстро движется точка, и называется скоростью. Скорость точки имеет определенное значение в каждый момент времени, т. е. является функцией времени. Функция s = f(t) полностью определяет скорость точки в каждый момент времени. Скорость есть производная этой функции: v(t) = f'(t) = ds/dt. Если параметр s во времени растет, скорость положительна, убывает — отрицательна. Имеется фундаментальный закон природы, управляющий ускорением тела (не положением, не скоростью, а именно ускорением). С открытия этого закона и началась физика как наука в современном понимании этого слова. Закон позволяет найти функцию а = a(t), а зная ее, можно чисто математическими методами получить функцию s = s(t), т. е. предсказать, как будет двигаться объект.

 

 

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ. Положение точки на кривой задается одним числом, но для задания положения на поверхности одного числа, очевидно, мало. На плоскости можно ввести декартовы координаты х, у (и построить квадратную решетку из твердых стержней) Движение точки тогда будет задаваться двумя функциями: х = x(t), y = y(t), которые любому моменту времени t ставят в соответствие значения координат точки. Расстояние между двумя точками (х₁, x₂), (х₂, y₂) определяется по формуле (теорема Пифагора):
 

                                                                                 (4)

 

Изменение координат точки ∆х, ∆у за малое время ∆t мало и пропорционально времени:

∆x = v_x(t)∆t, ∆y = v_y(t)∆t.                                                                                      (5)

 

Величины v_x, v_y, определяющие, как быстро изменяются координаты, называются компонентами вектора скорости. При движении точки на плоскости скорость представляется вектором и задается двумя числами v_x, v_y.

Расстояние, которое пройдет точка за малое время, будет, согласно формулам (4) и (5), равно

 

                                                                            (6)

 

Величина (число)

 

                                                                                         (7)

 

oпpeдeляeт расстояние, проходимое точкой за малое время, и называется модулем вектора скорости.

Ускорение также представляется вектором и задается двумя числовыми функциями. Они определяют, как быстро меняются компоненты скорости:

 

∆v_x = a_x(t)∆t, ∆v_y = a_y(t)∆t.                                                                                    (8)

 

Задача усложняется, если точка движется по искривленной поверхности: на такой поверхности невозможно ввести декартовы координаты (на ней нельзя построить квадратную решетку из твердых стержней).

Положение на поверхности по-прежнему задается двумя числами (координатами) х₁, x₂, что может быть сделано многими способами (вместо квадратной решетки можно представить себе сеть из эластичных нитей, натянутую на поверхность), но координаты теряют непосредственный метрический смысл. Расстояние между двумя точками с близкими значениями координат не определяется формулой (4). Для вычисления расстояния нужно задать четыре числа для каждой точки поверхности, зависящие от формы поверхности и выбранной системы координат. Изменение координат во времени дается по-прежнему формулами (5), но формулы (4) и (6) модифицируются.

 

 

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ПРОСТРАНСТВЕ. При описании движения точки в пространстве для задания ее положения необходимы три числа. Это могут быть величины х, у, z — декартовы координаты точки.

Определяя координаты в моменты времени t₁, t₂, t₃, ... , мы можем найти последовательные положения движущейся точки: (х₁, у₁, z₁), (х₂, y₂, z₂), (х₃, y₃, z₃), ... Эти точки лягут на некоторую кривую, которая называется траекторией. Если речь идет о протяженном массивном теле, то говорят о траектории его центра масс. Законы природы гарантируют, что центр масс движется по определенной кривой.

Если в момент времени частица находилась в точке А с координатами (x₁, у₁, z₁), а в момент t₂ — в точке В с координатами (х₂, y₂, z₂), то ориентированный отрезок АВ прямой, проведенный из точки А в точку В, называется перемещением частицы за указанное время. Так мы приходим к понятию вектора.

Вектор, проведенный из точки (0,0,0) в точку нахождения частицы (х, у, z), называется радиус-вектором частицы ṝ. Указанному перемещению будет соответствовать вектор ∆ṝ = ṝ₂ — ṝ₁. Компонентами этого вектора будут разности соответствующих координат, а его модуль

 

 

представляет собой расстояние между точками.

Каждый вектор в трехмерном пространстве задается тремя числами — своими компонентами. Но не всякий вектор является ориентированным отрезком в пространстве, т. е. отрезком, соединяющим две точки. Векторы, представляющие собой величины с размерностью, отличной от длины, не есть ориентированные отрезки. Они обладают ориентацией, но не «длиной» и не могут соединять две точки пространства. Движение точки в пространстве описывается так же, как и движение на плоскости, с учетом третьей координаты.

 

 

Твердое тело состоит из множества точек, и при его движении перемещения разных точек могут быть различными, и, следовательно, различными будут скорости и траектории этих точек.

Подходящей мoдeлью для описания движения многих протяженных объектов является концепция твердого тела. Понятие «твердое тело» используется в физике в разных контекстах и в разных смыслах. Применительно к обсуждаемой проблеме твердое тело можно определить как множество точек, расстояния между которыми не изменяются ни при каких обстоятельствах. Это, конечно, некоторая абстракция. Условие твердости сильно ограничивает возможные типы движения. Из него сразу следует, что проекции векторов скорости любых двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, одинаковы.

 

 

Проекция вектора на некоторую прямую определяется с помощью скалярного произведения. Это операция, которая двум векторам ᾱ ставит в соответствие число: ᾱ х ƀ = аЬ cos а, где а — угол между векторами-сомножителями. Через компоненты векторов скалярное произведение выражается формулой ᾱ х ƀ = а_х х Ь_х + а_у х Ь_у + а_z х Ь_z. Если ñ - единичный вектор вдоль прямой, то проекция вектора ᾱ на эту прямую равна величине ᾱ х ñ.

Оказывается, что произвольное движение твердого тела сводится к двум простым движениям — поступательному движению и вращению. Точнее говоря, любое малое смещение твердого тела можно представить как перемещение всех точек тела на один и тот же малый вектор и малый поворот, причем результат не зависит от порядка, в котором производятся эти операции.

Поворот вокруг фиксированной оси — одно из возможных движений твердого тела.

Поворот определяется углом поворота и осью. Угол задается числом, а ось — прямая с определенной ориентацией в пространстве. Пусть ñ — единичный вектор (|ñ| = 1) вдоль оси вращения, который определяет ориентацию оси и задает на ней положительное направление.

Задание вектора ñ определяет направление поворота с помощью правила винта (буравчика): положительному значению угла поворота соответствует ход правого винта в направлении вектора ñ.

 

 

Поворот определяется тремя числами: два числа задают ось, третье — угол поворота. Эти три числа, однако, не являются компонентами вектора. Но поворот на малый угол представляется вектором!

Вектор смещения каждой точки твердого тела при малом повороте может быть определен с помощью операции векторного произведения.

Векторным произведением векторов а, ƀ называется вектор ĉ, ортогональный плоскости, в которой лежат векторы ᾱ, ƀ , с модулем, равным:

 

|ĉ| = |ᾱ| х |ƀ| х sin φ.

 

где φ — угол между векторами ᾱ, ƀ.

Векторное произведение обозначается знаком х или квадратными скобками: ĉ = ᾱ х ƀ = [ᾱƀ].

Направление вектора ĉ определяется правилом правого винта: если вектор ᾱ (первый сомножитель) вращать по кратчайшему пути к вектору ƀ, то ход правого винта даст направление вектора ĉ. Векторное произведение не перестановочно (оно меняет знак при перестановке сомножителей):

 

ᾱ х ƀ = -ƀ х ᾱ.

 

При произвольном движении твердого тела скорость точки О и угловая скорость вращения есть функции времени. Задание этих функций (в общем случае — шести функций, по три на каждый вектор) полностью описывает движение твердого тела.

С точки зрения кинематики выбор точки О произволен. Но если учитывать динамику, то в качестве точки О удобнее брать центр масс тела.
 

 

Жидкость или газ — это система с бесконечным числом степеней свободы, и с этим связан особый способ описания ее движения. С точки зрения кинематики жидкость или газ (далее для краткости будем говорить просто «жидкость») моделируется множеством точек с различными скоростями, заполняющих некоторую область пространства и движущихся так, что скорости близких точек мало отличаются, причем это отличие тем меньше, чем ближе точки.

 

 

Будем следить за скоростью жидкости в каждой точке пространства. Например, если речь идет о движении воздуха в атмосфере, то имеется в виду сеть наземных станций, которые фиксируют скорость ветра в различных точках земной поверхности.

В результате в идеале мы можем получить следующую картину. Для любого момента времени мы знаем вектор скорости жидкости в каждой точке пространства, т. е. векторную функцию ṽ = ṽ (ṝ, t). Иначе говоря, в каждой точке ṝ и для каждого момента времени t известен вектор скорости элемента жидкости, который в данный момент оказался в данном месте.

Функция ṽ (ṝ, t) дает исчерпывающее описание движения жидкости: знание этой функции позволяет ответить на все вопросы относительно положения любого выделенного элемента жидкости в любой момент времени.

 

 

В частности, знания такой функции для атмосферы позволило бы указать положение запущенного воздушного шара в любой момент времени (хотя это не очень простая математическая задача).

Если в каждой точке пространства задан некоторый вектор, математик скажет, что задано векторное поле. Таким образом, движение жидкости описывается зависящим от времени полем вектора скорости. Если это поле не меняется во времени, мы имеем дело со стационарным течением.

 

 

ЛИНИИ ТОКА. Наглядное представление о течении жидкости можно получить с помощью так называемых линий тока. Это кривые в пространстве, в каждой точке которых вектор скорости жидкости является касательным вектором кривой (т. е. его направление совпадает с направлением кривой в данной точке). Картина линий тока особенно полезна для стационарных течений. В этом случае линии тока представляют собой траектории частиц движущейся жидкости. Имеются экспериментальные способы, позволяющие сделать видимыми линии тока.

Картина линий тока для стационарного течения определяет направление скорости жидкости в каждой точке пространства и позволяет судить о величине скорости.

 

 

Координаты и моменты времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразуются специальным образом. Следствием этих преобразований является закон сложения скоростей.

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ. Если в инерциальной системе К в точке с координатами x, у, z в момент времени t происходит некоторое событие, то представляется очевидным, что координаты и момент времени х', у', z', t' этого события в другой инерциальной системе К’, оси которой параллельны осям системы К, движущейся относительно К со скоростью V вдоль оси x, будут связаны с первыми формулами:

 

x = х' + Vt', у = у', z = z', t = t'.                                                                                (1)

 

 

Формулы соответствуют случаю, когда в момент времени t = t' = 0 начала координат обеих систем совпадают. Эти законы преобразования координат были названы преобразованиями Галилея.

Если вдоль оси x неподвижной системы движется вагон со скоростью V, а вдоль вагона в направлении его движения идет человек со скоростью v' относительно вагона, то скорость человека относительно неподвижной системы будет равна v = v' + V. Это настолько очевидный результат, что, кажется, не о чем и говорить. Однако это не так.

 

 

ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ является следствием преобразований координат и времени.

Пусть частица в момент времени t' находится в точке (х', у', z'), а через малое время ∆t' в точке (х' + ∆x', y' + ∆у', z' + ∆z') системы отсчета К'. Это два события в истории движущейся частицы. Имеем:
 

∆х' = v_x'∆t',

 

где v_x'— х-я компонента скорости частицы в системе К'. Аналогичные соотношения имеют место для остальных компонент.

Разности координат и промежутки времени (∆х, ∆у, ∆z, ∆t) пpeoбpaзyютcя так же, как координаты:

 

∆х = ∆х' + V∆t', ∆у = ∆у', ∆z = ∆z', ∆t = ∆t’.

 

Отсюда следует, что скорость той же частицы в системе К будет иметь компоненты:

 

 

 

Это закон сложения скоростей. Его можно выразить в векторной форме:

 

ṽ = ṽ' + Ṽ

 

 

(координатные оси в системах К и К' параллельны).

 

 

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ. Пусть в системе К мы имеем две частицы со скоростями ṽ₁, ṽ₂. В системе К’, движущейся со скоростью Ṽ = ṽ1, первая частица будет неподвижна, а скорость второй будет равна ṽ'₂ = ṽ₂ - ṽ₁. Это скорость второй частицы относительно первой (по определению).

 

ПОСТОЯНСТВО СКОРОСТИ СВЕТА. Экспериментально было обнаружено, что скорость света во всех инерциальных системах отсчета

 

с = 3 х 10⁸ м/с.

 

(Это результат известного опыта Майкельсона, который, из-за его исключительной важности, многократно перепроверялся.)

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА. Преобразования координат и времени события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой справедливы при любых возможных относительных скоростях этих систем. Правильные преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой должны быть такими, чтобы из них следовало постоянство скорости света.

Оказывается, этого требования достаточно для того, чтобы найти преобразования. Они называются преобразованиями Лоренца и имеют вид:

 

                                               (2)

 

где с — скорость света,

 

а

 

Как видим, время также преобразуется!

Преобразования Лоренца заменяют «ошибочные» преобразования Галилея, считавшиеся правильными в течение двух веков. И насколько можно доверять физическим теориям, если вчера считалось правильным одно, сегодня другое, а что будут считать правильным завтра, вообще никто не знает.

А дело в том, что преобразования Галилея — составной элемент физической теории под названием «ньютоновская механика». Физическая теория — это в конечном счете математическая модель, отражающая определенные свойства реальности в терминах наблюдаемых, измеримых величин. Величины измеряются всегда лишь с определенной, конечной точностью. Математическая модель, дающая правильные предсказания с этой точностью в своем круге проблем, считается правильной. И это свойство модели не может измениться во времени.

Математическая модель, правильная в своей области применимости вчера, будет правильной в этой области сегодня и во все будущие времена. В будущем может появиться более мощная модель, охватывающая более широкий круг явлений или дающая более точные предсказания в области применимости старой. Но в пределах применимости старой модели новая модель должна воспроизводить все ее результаты.

При малых скоростях преобразования Лоренца мало отличаются от преобразований Галилея. При весьма приличной, по земным меркам, скорости V = 100 км/с множитель у в формулах преобразований Лоренца отличается от единицы на величину 5 х 10^-8, и при такой точности преобразования Лоренца и преобразования Галилея совпадают.

Но физическая теория не сводится целиком к математической модели. Теория включает в себя еще и интерпретацию модели. Так, классическая (ньютоновская) механика интерпретировала переменную t как «абсолютное время», а инерциальные системы двигались с постоянной скоростью относительно «абсолютного пространства». Теория не предусматривала возможность существования предельной скорости. Новая физическая теория, не отменяя старую математическую модель в ее области применимости, может самым радикальным образом изменить ее интерпретацию. Это и сделала теория относительности с понятиями «пространство» и «время».

 

 

СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА. Из преобразований Лоренца следует, как и должно было быть, новый закон сложения скоростей. Если частица в системе К' имеет скорость ṽ' = (v'_x, v'_y, v'_z), то ее скорость в системе К будет иметь компоненты:

 

                                         (3)

 

Так выглядит правильный закон сложения скоростей!

Из формулы (3) следует, что если в системе К' V_х'² + v_y'² + v_z'²= c² т. е. некоторый объект движется в этой системе со скоростью света, то скорость этого объекта в другой системе К также будет равна скорости света:

 

v² = V_x²+ v_z² = c².

 

Преобразования Лоренца и следующий из них закон сложения скоростей отражают свойства физического пространства и времени. Закон сложения скоростей справедлив безотносительно к тому, что движется. То, что в природе нашелся реальный объект, имеющий скорость света, не имеет непосредственного отношения к свойствам пространства и времени.

Из механики следует, что скорость с = 3 х 10⁸ м/с есть предельная, но недостижимая скорость для частицы с массой, отличной от нуля. Такие частицы могут двигаться с любой скоростью, меньшей с. У частиц с нулевой массой выбора нет; они могут двигаться лишь со скоростью, равной с.

Преобразования Лоренца имеют математическую особенность: величина Y стремится к бесконечности, когда скорость V системы стремится к скорости света. При V ˃ с знаменатель в формуле для Y обращается в ноль и формулы преобразования теряют смысл. При V > с величина под корнем становится отрицательной и формулы теряют смысл. Такие математические «катастрофы» нуждаются в физической интерпретации, заключающейся в следующем: скоростью света не может обладать никакой материальный (имеющий массу) объект.
 

 

Принцип относительности — это утверждение о том, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны и физические законы во всех инерциальных системах имеют одинаковый вид.

 

 

ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА. Все, что нас окружает в мире, в конечном счете может быть описано следующим образом: для момента времени t задаются координаты всех частиц, из которых состоят окружающие нас тела, и значения всех полевых характеристик в каждой точке пространства. Так надо сделать для всех моментов времени, такое описание будет полным и исчерпывающим. При этом могут обнаружиться определенные связи между событиями, представляющие собой не что иное, как законы природы. Но координаты и моменты времени могут быть заданы лишь в определенной системе отсчета, от которой будет зависеть получаемая картина.

В связи с этим возникают две проблемы. Первая — как перевести описание одной и той же ситуации из одной системы отсчета в другую? Это техническая проблема. Если движение одной системы относительно другой известно, то перевод можно осуществить чисто математическими методами.

Другая проблема более глубокая. Целью физической теории является установление связей между событиями, происходящими в разных точках пространства в разные моменты времени. И система отсчета влияет на форму протекания физических процессов. Одна и та же начальная конфигурация тел в различных системах отсчета в дальнейшем со временем может вести себя по-разному. Частица, движущаяся в одной системе отсчета равномерно и прямолинейно, в другой может двигаться самым причудливым образом. Как в этой ситуации определить, чем «руководствуется» частица в своем движении? Произвол в выборе системы отсчета делает эту проблему особенно острой. Если в каждой системе «своя физика», то как можно найти «объективные законы природы»? Данная проблема решается естественным (т. е. природным) путем. Существуют привилегированные системы отсчета, для которых и формулируются физические законы. Их проявления в других системах определяются тогда чисто математическими методами. Существуют такие системы отсчета, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. Такие системы отсчета называются инерциальными.

 

 

ОДНОРОДНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА означает, что все точки его эквивалентны (неразличимы). В частности, если некоторая замкнутая система (устройство, изолированное от влияния остального мира) функционирует определенным образом в данном месте, то при параллельном переносе ее в другое место она будет функционировать точно так же. Изотропность пространства означает, что все направления в пространстве эквивалентны. В частности, если в данном месте изменить ориентацию некоторой замкнутой системы как целого, то ее функционирование не изменится. И наконец, утверждение относительно однородности времени означает, что все моменты времени эквивалентны. Если некоторая система сейчас функционирует определенным образом, то и через тысячу лет при прочих равных условиях она будет функционировать точно так же. Подчеркнем, что речь идет не о свойствах абстрактного пространства и времени, а о наблюдаемых свойствах пространства и времени в конкретной, реализованной в виде кубической решетки из твердых стержней системе, в узлах которой размещены одинаковые часы. Утверждение «Существует инерциальная система отсчета» означает, что такая конструкция, обладающая описанными выше свойствами, в принципе возможна.

Возможна ли? Откуда следует существование инерциальных систем отсчета? Законы природы не выводятся логически. Они обнаруживаются и формулируются в рамках определенной физической теории. Исходным пунктом ньютоновской механики был постулат о существовании инерциальных систем отсчета, для которых и формулировались законы механики. Появившаяся позже теория электромагнитного поля основывалась на этом постулате. Специальная теория относительности Эйнштейна, в рамках которой обнаружились и получили объяснение неожиданные свойства пространства и времени в инерциальных системах отсчета, завершила эту линию развития. Ничто, кроме гравитации, не противоречило принятию постулата об инерциальных системах. Теорию гравитационного поля не удалось привести в соответствие с этим постулатом. Обнаружилось, что глобальных (неограниченных размеров) инерциальных систем не существует. Но локальную (ограниченных размеров) систему отсчета, обладающую нужными свойствами, с любой указанной наперед точностью построить можно.

 

 

Примером лучшей инерциальной системы может служить система, связанная с невращающимся космическим кораблем, летящим с выключенными двигателями вдали от тяготеющих тел. Это последнее требование (удаленность) не принципиально. Просто чем дальше от тяготеющих тел и чем меньше их масса, тем больших размеров может быть система отсчета. Таким образом, из всех обитателей Земли только космонавты знакомы с жизнью в инерциальной системе отсчета.

Система, связанная с Землей, для решения многих задач может с достаточной степенью точности считаться инерциальной, а неизотропность пространства при этом «взваливается» на гравитационное поле.

Система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной системы, инерциальна. Все инерциальные системы отсчета эквивалентны. Другая формулировка: никакими физическими опытами невозможно обнаружить равномерное движение относительно инерциальной системы отсчета. Приведенные утверждения выражают суть так называемого принципа относительности.

С телом, движущимся с постоянной скоростью относительно инерциальной системы, можно связать пространственную решетку, снабженную часами. Утверждается, что пространство в этой структуре должно быть однородно и изотропно, а время однородно. Однако это неочевидное утверждение. Если тело движется с постоянным ускорением, то с ним можно связать кубическую решетку из твердых стержней. Но пространство в этой системе не будет ни однородным (часы в разных точках будут идти в разном темпе), ни изотропным. Это один аспект принципа относительности.

Другой аспект связан с тем, что все инерциальные системы эквивалентны. Это означает, в частности, что если мы в какой-то конкретной системе создали некоторое устройство, функционирующее определенным образом, то такое же устройство, созданное в другой системе, при прочих равных условиях, будет функционировать точно так же.

Наблюдатель в инерциальной системе отсчета никоим образом (какие бы исследования над физическими системами он ни производил) не может определить, движется его система относительно другой инерциальной системы или покоится.

Это, конечно, очень сильное утверждение. Оно касается не только известных физических явлений, но и явлений, которые могут быть обнаружены в будущем.

 

 

Из принципа относительности, лежащего в основе физической теории, следует, что физические законы в инерциальных системах должны быть одинаковы, поскольку именно они управляют функционированием различных устройств. Но физические законы имеют математический вид. Если мы сформулировали закон для конкретной системы отсчета в виде некоторой формулы, то ее преобразование при переходе к другой системе, движущейся известным образом относительно первой, — чисто математическая проблема (см. Преобразования Галилея и Лоренца]. В соответствии с принципом относительности исходная формула при переходе к другой инерциальной системе не должна менять свой вид. Физические законы дoлжны быть инвариантны относительно преобразований при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Однако не всякая математическая формула удовлетворяет такому требованию, и принцип относительности помогает отобрать подходящие в этом смысле физические законы. Это облегчает их поиск, в чем и проявляется важная конструктивная роль принципа относительности.

 

 

В основе механики лежат три постулата, сформулированные Ньютоном, впоследствии названные законами Ньютона. Все остальные утверждения ньютоновской механики являются математическими следствиями этих законов.

 

 

Очень важно, что эти законы касаются поведения тел в инерциальных системах отсчета. Соответственно все их следствия относятся также к поведению тел в инерциальных системах отсчета.

Первый закон. Свободная частица (частица, на которую не действует сила) движется с постоянной скоростью или покоится.

Первый закон предоставляет критерий инерциальности системы отсчета: система отсчета, в которой свободная частица движется с постоянной скоростью, является инерциальной.

Второй закон. Если на неподвижное тело с массой m начинает действовать сила Ḟ₀, тело приобретает ускорение а, равное:
 

                                                                                                       (1)

Формула (1) предоставляет способ определения массы. Измеряются сила и ускорение, а масса выступает в качестве связывающего их коэффициента. Так, например, определяют массы атомных ядер (измеряется ускорение ядра при движении в известном магнитном поле).

В нерелятивистской (ньютоновской) механике второй закон формулируется в более общем виде: приведенная формула считается справедливой вообще, а не только при нулевой скорости тела. Однако в таком виде закон не согласуется с преобразованиями Лоренца, т. е. не удовлетворяет принципу относительности (хотя согласуется с преобразованиями Галилея).

При любом движении тела всегда можно выбрать инерциальную систему, в которой тело в данный момент покоится, и в этой системе второй закон Ньютона (1) будет справедлив. Переход в другую инерциальную систему отсчета, в которой тело будет иметь скорость v, ocyществляется с помощью преобразований Лоренца. Преобразованная формула примет вид:

 

                                                                                     )

Система отсчета, связанная с космическим кораблем с выключенными двигателями, является инерциальной.

 

 

Производная по времени от величины в скобках (изменение этой величины за единицу времени) равно силе, действующей на тело. Выражение для силы также преобразуется, и величина Ḟ однозначно выражается через Ḟ₀. [Важная оговорка: формула (2) получается из формулы (1) лишь при m = const.]

Третий закон. Тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению («действие равно противодействию»). Сила, действующая на тело, характеризует взаимодействие тела с другими телами. Утверждается, что сила Ḟ _AB, с которой тело В действует на тело А, и Ḟ_BA, с которой тело А действует на тело В, таковы, что Ḟ_AB + Ḟ_BA = 0.

В ньютоновской механике из второго и третьего законов следует закон сохранения импульса. Однако закон сохранения импульса более фундаментален, чем законы Ньютона.

 

 

ИМПУЛЬС. Величина

 

                                                                          (3)

 

называется импульсом частицы. Второй закон в форме уравнения (2) можно сформулировать в виде:

 

∆ṗ = Ḟ ∆t.                                                                                                (4)

 

Эта формула определяет малое изменение импульса частицы за малое время ∆t. Сила есть причина изменения импульса.

Если сила, действующая на частицу, равна нулю, импульс частицы не изменяется и ее скорость постоянна. Первый закон является следствием второго. Фактически первый закон есть утверждение о существовании инерциальных систем отсчета.

 

 

Сила характеризует взаимодействие тел, в результате которого они обмениваются импульсом.

 

 

Физику в основном интересуют фундаментальные силы, силы взаимодействия тел на расстоянии в пустом пространстве. Переносчиком такого взаимодействия является поле. Физика знает только два поля, ответственных за дальнодействующие силы, — электромагнитное и гравитационное.

Прикладная механика занимается главным образом силами, возникающими при контакте макроскопических тел, а также силами, действующими на внутренние элементы тел со стороны окружающих элементов. В конечном счете эти силы сводятся к электромагнитным силам, поскольку именно электромагнитное взаимодействие ответственно за свойства окружающих нас макроскопических тел. Однако в механике эти силы описываются в терминах некоторых макроскопических характеристик среды, оставляя в стороне вопрос о том, чем определяются эти характеристики на микроскопическом уровне.

Сила, действующая на содержимое некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S, есть импульс, втекающий внутрь этой поверхности за единицу времени (см. Импульс). Компактное (ограниченное в пространстве) тело можно охватить замкнутой поверхностью, нигде не пересекающей его. Если эта поверхность целиком пролегает в пустоте, а импульс тела меняется (центр масс тела имеет ускорение), то импульс течет через пустое пространство и мы имеем дело с фундаментальными силами (гравитационными или электромагнитными). Эти силы и соответствующие потоки импульса определяются в рамках теории поля. Если поверхность целиком или частично пересекает материальную среду, то могут быть потоки импульса через эту среду и связанные с ними механические силы.

 

 

ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПОТОКА ИМПУЛЬСА через замкнутую поверхность ее разбивают на малые элементы площадью ∆S_i, ориентация которых в пространстве определяется единичным вектором нормали ñ, направленным вовне (см. Импульс).

Если площадка расположена в сплошной среде (в твердом теле, жидкости или газе) и скорость частиц среды в окрестности площадки равна ṽ_i, а плотность р_i, то поток импульса за малое время ∆t внутрь замкнутой поверхности за счет движения вещества через эту площадку равен:

 

∆ṗ_i = -p_iṽ_i∆S_i(v_i x ñ_i)∆t                                                                                                                                                  (1)

 

Величина ∆S_i(ṽ_i х ñ,)∆t = ∆S_iv_i cos а_i∆t есть объем вещества AV_i пересекающего площадку за время ∆t. Масса этого вещества равна ∆m_i = p_i∆V_i, а его импульс равен ∆m_iṽ_i. Но импульс может перетекать через площадку и при определенном состоянии неподвижной среды. В общем случае он добавляется к импульсу, переносимому за счет движения среды, и часто оказывается больше последнего.

 

СИЛЫ ТЯЖЕСТИ. Гравитационные силы относятся к фундаментальным силам. Соответствующие им потоки импульса текут в пустом пространстве. Гравитационное поле характеризуется вектором напряженности ğ, определенным в каждой точке пространства (это ускорение пробной частицы в данной точке под действием поля). Поток импульса внутрь замкнутой поверхности через площадку ∆S с внешней нормалью ñ, в пределах которой напряженность поля равна ğ, составит:
 

Аṗ = — g²/4пGG x [Ƭ (Ƭ x ñ) — 1/2 х ñ] ∆S∆t,                                                                             (2)

 

где Ƭ - единичный вектор в направлении ğ (т.е. ğ = ğƬ,

а G - гравитационная постоянная.

Поток импульса внутрь любой замкнутой поверхности S в пустоте со стороны гравитационного поля равен нулю, хотя отличен от нуля через каждый элемент поверхности (так устроено гравитационное поле). Но если внутрь поверхности внести тело (любое) массой m, гравитационное поле (вектор ğ) во всех точках поверхности несколько изменится за счет того, что внесенное тело само создает поле, накладывающееся на первоначальное. Поток импульса внутрь поверхности со стороны результирующего поля будет отличным от нуля и определит гравитационную силу, действующую на тело.

 

 

ВЕС ТЕЛА. Пусть на резиновом жгуте подвешено некое тело. Со стороны гравитационного поля внутрь замкнутой поверхности, охватывающей тело, за время ∆t втекает импульс, равный mg∆t. Поверхность пересекает жгут, и через сечение жгута внутрь поверхности втекает за время ∆t импульс ∆ṗ = oƬ∆S∆t [формула (3)]. В результате изменение импульса внутри поверхности равно нулю, а напряжение в жгуте Ơ = mg/∆S. Натяжение жгута определяет вес тела. Но если жгут оборвется, поток импульса вдоль жгута исчезнет и импульс внутри поверхности (импульс тела mṽ) будет увеличиваться за счет импульса, втекающего со стороны гравитационного поля:

m∆ṽ = mğ х ∆t.

 

ОБМЕН ИМПУЛЬСОМ МЕЖДУ ДВУМЯ КОНТАКТИРУЮЩИМИ ТЕЛАМИ А и В происходит лишь через поверхность, по которой эти тела соприкасаются.

Импульс, перетекающий от тела В к телу А через малую площадку ∆S в области контакта, равен ∆ṗ_AB = ∆Ḟ_AB∆t‚ где ∆Ḟ_AB — сила, действующая на площадку. Эту силу можно представить как сумму двух сил: ∆Ḟ = ∆ + ∆Ḟ_тр, где ∆ направлена по нормали к площадке в сторону тела А, а по касательной к площадке. Последняя называется силой трения и зависит от свойств соприкасающихся поверхностей (в отличие от N). Двум этим силам отвечает и поток импульса через площадку ∆S. Сумма сил ∆Ḟ_ТР по всем элементарным площадками в области контакта тел А и В даст полную силу трения ∆Ḟ_ТР = Σ∆Ḟ_ТР, которой соответствует поток импульса через всю площадь контакта ∆ṗ = Ḟ_ТРAt.

 

 

СИЛА, СОЗДАВАЕМАЯ ОДНОРОДНЫМ СТЕРЖНЕМ. Если поверхность пересекает тонкий однородный стержень, ориентация которого задается единичным вектором т, направленным наружу, то поток импульса через площадку будет равен

∆ṗ_i = oƬ(Ƭ x ñ_i)∆Ơ_i∆t_i.                                                                                 (3)

 

Величина S характеризует состояние стержня и называется напряжением. Полный поток импульса через все сечение стержня поверхностью найдем, суммируя потоки через элементарные площадки;

∆ṗ = Σ∆ṗ_i = oƬlS₀∆t,                                                                                        (4)
 

где S₀ — поперечное сечение стержня. Величина Ḟ = oƬS₀ есть сила, с которой стержень действует на содержимое внутри замкнутой поверхности. Если а > 0, стержень растянут, если меньше нуля — сжат. Такие же формулы справедливы для однородной нити, с тем отличием, что для нити невозможно a < 0 (нить не работает на сжатие). Напряжение S определяет поток импульса через единицу площади поперечного сечения стержня. Если эта величина окажется слишком велика, материал стержня разрушится.
 

 

Ньютоновская теория гравитации основывается на законах Ньютона в механике и его же законе всемирного тяготения, согласно которому две частицы взаимодействуют через пустое пространство с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Теория, основанная на этих утверждениях, оказалась поразительно точной и объяснила практически все явления, наблюдаемые в Солнечной системе.

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИ вся ньютоновская теория тяготения выражается следующим образом. Пусть имеется N частиц (материальных точек). Пронумеруем все частицы и пусть m_i и r_i, и г_i (i = 1, 2 ... N) — масса и радиус-вектор i-й частицы (положение частиц задается в некоторой инерциальной системе). Никакими другими характеристиками частицы не обладают (это означает, что они не участвуют ни в каких других взаимодействиях, кроме гравитационного). Тогда имеют место уравнения:

 

                                                                           (1)

 

Придавая индексу i значения от 1 до N, получим N уравнений, по одному для каждой частицы (в правой части равенства предполагается суммирование при фиксированном индексе i по всем значениям k, кроме k = i). Здесь G — некоторая константа (гравитационная постоянная), а t — время.

 

 

Из этих уравнений, зная положение и скорость частиц в некоторый момент времени, математик (или компьютер!) в принципе может найти положение частиц во все будущие (и прошлые) времена, т. е. найти N векторных функций

 

ṝ_i = ṝ_i(t).

 

Поскольку все тела можно представить состоящими из материальных точек, то эти уравнения описывают все следствия гравитационного взаимодействия любых тел. Из них следует, что планеты движутся по эллипсам вокруг Солнца, и с их помощью можно определить, какое положение на небе будет занимать Марс в любой наперед указанный момент времени в будущем (равно как и в прошлом) или когда произойдет следующее лунное затмение. Они позволяют понять, почему бывают приливы, рассчитать траекторию пушечного ядра или баллистической ракеты, определить, какую мощность можно получить от ГЭС с плотиной заданной высоты, и многое другое.

 

 

 

Уравнение (1) получено на основе двух фундаментальных законов — ньютоновских втором законе механики и законе всемирного тяготения. В левой части равенства стоит произведение массы i-й частицы на ее ускорение (вторая производная радиус-вектора частицы по времени и есть ее ускорение), а выражение в правой части представляет собой силу, действующую на эту частицу со стороны всех остальных частиц системы. И оно написано на основе закона всемирного тяготения, который заключается в следующем.

Пусть в точках ṝ₁, ṝ₂ инерциальной системы отсчета находятся две точечные частицы с массами m₁, m₂ соответственно. Утверждается, что со стороны второй частицы на первую действует сила Ḟ₁₂, равная

                                                                            (2)

 

Поскольку частицы равноправны, на вторую частицу со стороны первой действует сила Ḟ₂₁, выражение для которой получим из приведенного выше, поменяв местами индексы 1 и 2. При этом сразу обнаружится, что Ḟ₁₂ + Ḟ₂₁ = 0, т. е. эти силы равны по величине и противоположны по направлению, как и должно быть согласно третьему закону Ньютона. Что означает приведенная формула? Прочтем ее. Вектор ṝ₁₂ = ṝ₂ - ṝ₁ — это вектор, соединяющий первую частицу со второй. Его модуль ṝ₁₂ = ṝ₂ - ṝ₁ есть расстояние между двумя частицами. Вектор ṝ_12/r₁₂ - единичный вектор (вектор с модулем, равным 1) в направлении от первой частицы ко второй. Таким образом, вектор Ḟ₁₂ расположен на линии, соединяющей обе частицы, и направлен в сторону второй частицы, т. е. частица массой m₁ притягивается к частице с массой m₂. Величина этой силы притяжения (ее модуль) равна

 

                                                                                       (3)

 

 

Таким образом, сила пропорциональна массам частиц и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Ясно, что F₂₁ = F₁₂. Это и есть закон всемирного тяготения. Но закон сформулирован для двух материальных точек, что также отражено в формуле. Положение протяженного тела нельзя задать радиус-вектором — не известно, в какую точку его проводить. Точно так же лишено смысла понятие расстояния между двумя протяженными телами. Но точечных объектов, строго говоря, не существует. Закон приближенно справедлив для любых двух тел при условии, что их размеры много меньше расстояния между ними (в этом случае не важно, между какими точками тел измерять расстояние) . Если же это условие не выполняется, закон тем не менее позволяет найти силу притяжения, хотя математически это уже не простая проблема. Нужно разбить тела на малые элементы, найти силу взаимодействия каждого элемента одного тела с каждым элементом другого и просуммировать эти силы. Таким образом Ньютону удалось доказать, что сила притяжения двух сферически-симметричных тел будет такой же, как и сила притяжения двух материальных точек с массами этих тел, помещенных в их центры.

 

 

 

ГРАВИТАЦИОННАЯ МАССА. Сила тяготения определяется массой частиц. Масса — это свойство частицы, от которого зависит ее отклик на приложенную силу, и это свойство проявляется в ситуациях, не имеющих ничего общего с гравитацией. Естественно было бы ожидать, что гравитационное взаимодействие тел определяется каким-нибудь специальным гравитационным зарядом, подобно тому, как электромагнитное взаимодействие определяется электрическим зарядом. Но оказалось, что этот гравитационный заряд пропорционален инертной массе тела и подходящим выбором единицы измерения может быть сделан равным массе. Гравитационная масса тела равна инертной массе. Это обстоятельство играет принципиально важную роль в теории гравитационного взаимодействия и со времен Ньютона неоднократно проверялось.

 

 

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ. Из ньютоновской формулы для силы взаимного притяжения двух частиц можно найти эту силу, но в ней не усматривается, каким образом осуществляется взаимодействие через пустое пространство на любых расстояниях. Это так называемая проблема дальнодействия, которая в современной физике благополучно решена. Частицы, участвующие в фундаментальных взаимодействиях, взаимодействуют не непосредственно друг с другом через пустое пространство, а с полями, ответственными за эти взаимодействия. Например, переносчиком электромагнитного взаимодействия является электромагнитное поле.

Ньютоновской теории тяготения также можно придать вид полевой теории. Закон тяготения и закон Кулона имеют одинаковую математическую форму, и поэтому математическая структура гравитационного поля в ньютоновской теории тождественна структуре электростатического поля.

В рамках ньютоновской теории гравитационное поле характеризуется одной векторной величиной — напряженностью поля.

Напряженность гравитационного поля в данной точке пространства — это отношение силы, действующей на частицу, помещенную в данную точку, к массе частицы. Эта величина не зависит ни от массы частицы, ни от каких-либо других свойств частицы и характеризует именно гравитационное поле. Учитывая, что отношение силы к массе есть ускорение частицы, заключаем, что напряженность гравитационного поля в данной точке — это ускорение любой частицы, помещенной в данную точку поля.

Пусть вектор ğ представляет собой напряженность гравитационного поля. Полностью описать гравитационное поле — значит задать в каждой точке пространства вектор ğ. Таким образом, гравитационное поле описывается векторным полем

 

ğ = ğ(ṝ, t).
 

Если в точку г поместить частицу массой m, то на нее будет действовать сила

 

Ḟ = mğ(ṝ),

 

под действием которой частица приобретет ускорение

 

 

 

Ускорение, как видим, в разных точках будет разным, но оно не зависит ни от каких свойств частицы! Это важное и уникальное свойство гравитационного взаимодействия.
 

 

 

Гравитационная сила, действующая на частицу, пропорциональна массе частицы. Механике известен еще один вид сил, обладающих этим свойством, — так называемые силы инерции. Локально (в достаточно малом объеме) силы инерции и гравитации неразличимы.

 

ПОНЯТИЕ «СИЛА ИНЕРЦИИ» появляется при описании движения частицы в рамках неинерциальных систем отсчета. Ускорение частицы относительно неинерциальной системы определяется законом, совпадающим по виду с вторым законом Ньютона, если к «настоящим» силам, вызванным взаимодействием частицы с другими телами, добавить некоторые дополнительные («фиктивные») силы — силы инерции. Выражения для этих сил однозначно определяются математической структурой второго закона Ньютона и характером движения рассматриваемой неинерциальной системы отсчета.

Между силами инерции и гравитации имеет место замечательная и, как оказалось, глубокая аналогия. И те и другие действуют на все без исключения тела и их величина пропорциональна массе тела. То, что силы инерции пропорциональны массе, неудивительно. Это просто следствие второго закона Ньютона. Удивительно то, что гравитационная сила пропорциональна массе.

 

 

СИСТЕМА ОТСЧЕТА С УСКОРЕНИЕМ БЕЗ ВРАЩЕНИЯ. Пусть К — инерциальная система отсчета, а К' — движущаяся относительно нее система, координатные оси которой параллельны осям системы К. Точка О' — начало координат системы К', а Х, Y, Z — координаты этой точки в системе К. Координаты точки меняются по заданному закону: X = X(t), Y = Y(t), Z = Z(t), который и определяет движение системы К' относительно К. Точка Р движется относительно системы К' так, что ее координаты меняются по закону: х' = x’(t), у’ = y'(t), z' = z'(t). Из преобразований Галилея следует, что скорость точки Р относительно системы К равна

 

ṽ(t) = Ṽ(t) + ṽʹ(t),
 

где Ṽ(t) — скорость движущейся системы в момент времени t; ṽ’(t) — скорость точки Р относительно движущейся системы. Найдем ускорение ã(t) точки Р относительно инерциальной системы К:

 

                                                                                                  (2)

 

где ã'(t) — ускорение точки Р относительно К’; —   dṼ/dt ускорение системы К’ относительно К. Если это ускорение равно нулю, то система К’ инерциальна и ускорение точки Р в обеих системах одинаково.

Но если частица движется с ускорением относительно инерциальной системы отсчета, то, значит, на нее действует сила Ḟ со стороны каких-то других тел (в этом смысл второго закона Ньютона):
 

mã = Ḟ.

 

Выразив ускорение а через ã' из формулы (2), получим:

 

 

                                                                                             (3)

 

Это уравнение определяет ускорение частицы относительно ускоренно движущейся системы отсчета, т. е. выполняет функцию второго закона Ньютона. Но оно и имеет вид второго закона, с тем лишь отличием, что к действующей силе (со стороны других тел) в правой части уравнения добавляется дополнительное слагаемое, зависящее от ускорения системы отсчета. Это слагаемое выступает как новая сила и называется силой инерции:
 

                                                                                         (4)

 

Сила инерции, определяемая формулой (4), зависит только от ускорения начала координат системы К' и одинакова во всех точках этой системы.

 

 

Поле сил инерции однородно. Ускоренно движущаяся невращающаяся система отсчета эквивалентна инерциальной системе, в которой имеется однородное поле сил (поле сил инерции)

 

 

Эйнштейновская теория исходит из того, что гравитация есть проявление кривизны пространства-времени. Гравитационных сил нет. Мировая линия частицы, на которую не действуют никакие силы, представляет собой геодезическую (прямейшую) времениподобную кривую. То, что в ньютоновской теории называется гравитационной силой, является силой инерции.

 

 

После создания специальной теории относительности стало ясно, что ньютоновская теория тяготения нуждается в пересмотре, хотя наблюдательных данных, вынуждающих к такому пересмотру, практически не было. В этой теории не была решена проблема дальнодействия. Фактически она основывалась на формуле для силы взаимодействия двух частиц, в которую входит только расстояние между частицами. Из этой формулы следует, что, как только одна из частиц сдвигается, сила, действующая на другую частицу, мгновенно меняется, как бы далеко она ни находилась. Но это противоречит специальной теории относительности, согласно которой скорость распространения взаимодействия не может превосходить скорость света. Гравитационное взаимодействие, согласно эйнштейновской теории, отличается от остальных фундаментальных взаимодействий. Если прочие взаимодействия осуществляются посредством поля в пространстве-времени, то гравитационное взаимодействие осуществляется посредством самого пространства-времени. Распределение энергии и импульса в пространстве «деформируют» пространство-время, и эта деформация в свою очередь влияет на потоки энергии и импульса.

 

 

ИСКРИВЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ. Если «выключить» гравитацию (в теории это достигается тем, что гравитационную постоянную G полагают равной нулю), пространство-время будет плоским, или псевдоевклидовым. Формально (математически) это означает, что событиям можно приписать четыре числа (три пространственных и одну временную координаты) так, что будет верна формула для интервала («длины» прямой, связывающей два событиям в пространстве-времени):

 

                                                                            (1)
 

 

Физически это означает, что может быть введена глобальная (занимающая все пространство) инерциальная система отсчета, в рамках которой и определяются пространственные и временные координаты событий. Координаты в разных системах связаны между собой преобразованиями Лоренца. Иначе говоря, можно построить кубическую решетку из твердых одинаковых стержней, часы в узлах которой будут идти в одинаковом темпе. Мировая линия свободной частицы в плоском пространстве не зависит от свойств частицы и является времениподобной прямой (пространственные координаты — линейные функции времени, частица движется равномерно и прямолинейно). Если на частицу действует сила, то ее мировая линия искривляется, и она будет кривой в любой инерциальной системе отсчета (частица движется с ускорением, ускорение абсолютно). Если теперь «включить» гравитацию, картина изменится. Пространство-время «искривляется», событиям нельзя поставить в соответствие координаты так, чтобы была верна формула (1), существование глобальной инерциальной системы отсчета невозможно. Физически это означает, что невозможно построить трехмерную решетку из твердых стержней одинаковой длины. Более того, невозможно построение просто жесткой трехмерной структуры из твердых стержней, а в случаях, когда это можно сделать (стационарное гравитационное поле), часы в разных точках конструкции будут идти в разном темпе. Роль прямой плоского пространства в искривленном пространстве играет геодезическая линия. В искривленном пространстве среди множества кривых, соединяющих две точки, найдется кривая экстремальной (наибольшей или наименьшей) длины. Такая кривая и называется геодезической.

Если мировая линия свободной частицы в плоском пространстве — времениподобная прямая и не зависит от свойств частицы, то мировая линия свободной частицы в искривленном пространстве — времениподобная геодезическая, также не зависящая от свойств частицы. То, что все тела в гравитационном поле при одинаковой начальной скорости движутся одинаковым образом, в ньютоновской теории выглядит удивительным курьезом. В эйнштейновской теории этот факт получает естественное объяснение.

 

 

Отклонения геометрии пространства-времени от псевдо-евклидовой в пределах Солнечной системы относительно малы, но они проявляются динамически в движении планет. Эйнштейновская теория не только воспроизводит наблюдаемые следствия ньютоновской, но и предсказывает новые наблюдаемые эффекты. В частности, первым успехом теории были поправки к ньютоновской теории движения Меркурия, объяснившие прецессию его орбиты.

 

 

СТАЦИОНАРНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ (и соответствующее пространство-время) создается стационарным — не зависящим от времени — источником. Стационарность означает возможность введения жесткой системы отсчета (пространственной структуры из твердых стержней), расстояние между точками которой не меняется во времени. В ньютоновской теории гравитационное поле определяется распределением массы (энергии). В эйнштейновской теории геометрия пространства-времени определяется распределением энергии, импульса и потоков импульса. Связь между геометрией и распределением указанных величин дается так называемыми уравнениями Эйнштейна. Описание геометрии искривленного пространства требует достаточно сложного математического аппарата. Однако можно дать сравнительно простое описание свойств стационарного пространства-времени в терминах наблюдаемых физических величин.

 

 

СТАТИЧЕСКОЕ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ создается статическим распределением массы, обладающим центральной симметрией (массивный шар). Такое распределение можно окружить семейством твердых сфер с общим центром, совпадающим с центром симметрии. Из симметрии следует, что все скалярные (представляемые одним числом) физические величины во всех точках любой сферы должны быть одинаковыми, и часы во всех точках любой сферы должны идти в одинаковом темпе.

Пусть S — площадь некоторой сферы. Припишем этой сфере параметр г («радиус») по формуле г = . Для сферы в плоском (евклидовом) пространстве эта величина была бы настоящим радиусом, т. е. расстоянием от центра до сферы, измеренным линейкой. В нашем случае, однако, это не так. Расстояние между соседними сферами с радиусами г и г + ∆г, ∆г < < г, расположенными вне источника (распределения массы), измеренное линейкой (или радаром), окажется равным не ∆г.

 

                                                                                             (1)

 Именно это и означает, что трехмерное пространство «искривлено» или неевклидово. Величина r_g = 2GM/c² (где G — гравитационная постоянная, М — масса источника, с — скорость света) называется гравитационным радиусом тела. Если взять двое одинаковых часов, показания которых совпадают, поместить их на две сферы с радиусами r₁, r₂, а по прошествии некоторого времени (достаточно большого, чтобы можно было пренебречь эффектами, связанными с переносом часов) снова совместить, то обнаружится, что их показания не совпадают. Если часы на сфере r₁ покажут время Ƭ₁, то часы на сфере r₂ покажут время Ƭ₂, причем

 

                                                                                          (2)

 

Видим, что часы на сфере с большим радиусом покажут большее время, чем часы на сфере с меньшим радиусом. (Всякие часы показывают длину собственной мировой линии, а мировые линии рассматриваемых часов различны.) Если вторые часы находятся очень далеко (на бесконечности, как говорят физики), то получим:

 

 

где Ƭ(г) — время, протекшее на радиусе г, a t — соответствующее время на бесконечности. Время вблизи гравитирующей массы течет медленнее, чем на бесконечности. При вычислении изменения различных величин во времени часто бывает удобно относить эти изменения не к локальному времени, которое в разных точках течет по-разному, а именно ко времени на бесконечности.

Если масса центрального тела не меняется во времени, геометрия окружающего пространства также не будет изменяться. Но если масса меняется, то и пространственная геометрия будет меняться. Система отсчета, связанная с центральным телом, неинерциальна. Время в разных точках пространства течет по-разному, а само пространство неоднородно, так как его свойства (отклонение от евклидовости) зависят от радиуса. В окрестности обычных тел, типа Земли или Солнца, эти отклонения слишком малы, чтобы проявляться непосредственно, и именно поэтому в ньютоновской теории можно было считать систему отсчета, связанную с Солнцем, инерциальной. Если бы мы обитали в окрестности какой-нибудь нейтронной звезды, то ньютоновская механика и теория гравитации не возникли бы.

 

 

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА. В ньютоновской теории гравитационное поле определяется лишь распределением массы в пространстве, поэтому, согласно этой теории, поля массивного неподвижного шара и такого же вращающегося шара одинаковы. На самом деле это не так. Стационарно вращающийся шар (звезду) по-прежнему можно окружить жесткой пространственной структурой из твердых стержней, точки которой будут представлять собой трехмерное пространство. Пусть эта система отсчета не вращается относительно удаленных звезд (а сам шар вращается относительно нее). Источник поля теперь не обладает центральной симметрией, так как ось вращения задает выделенное направление, в связи с этим и геометрия не будет иметь центральную симметрию. Но если кинетическая энергия вращения источника много меньше его энергии покоя mс², пространственная геометрия будет мало отличаться от геометрии, создаваемой неподвижным шаром. Формулы (1) и (2) останутся верными, но появится и нечто новое.

Частица, падающая на невращающуюся звезду с нулевой начальной скоростью, движется вдоль радиуса (вдоль радиальной пространственной геодезической). Если звезда вращается, картина меняется. Частица, падающая на звезду в экваториальной плоскости, будет отклоняться от радиуса. На языке ньютоновской теории это интерпретировалось бы как результат действия гравитационной силы, направленной перпендикулярно скорости частицы. Эта сила подобна силе Кориолиса — силе инерции, возникающей во вращающейся системе отсчета. Это еще одно проявление эквивалентности сил инерции и сил гравитации (отметим, что в ньютоновской теории гравитационного аналога силы Кориолиса нет). Дело выглядит так, как если бы каждый элемент жесткой системы отсчета находился в состоянии абсолютного (проявляющегося динамически) вращения, угловая скорость которого зависит от положения элемента и стремится к нулю при удалении от источника, хотя кинематически, относительно удаленных звезд, это вращение не проявляется. Угловая скорость вращения элемента может быть непосредственно измерена по прецессии гироскопа, подобно тому как с помощью гироскопа можно измерить угловую скорость вращения диска. Все это является следствием сложной структуры пространства-времени в окрестности вращающейся звезды.

 

 

СВЕТОВОЙ ЛУЧ в гравитационном поле искривляется. Траектория фотона (частицы света) в стационарном гравитационном поле в общем случае не является прямой линией (пространственной геодезической).

Свет — это электромагнитные волны определенных частот. Уравнения электродинамики формулировались для инерциальных систем отсчета, и в инерциальной системе в пустоте световые лучи будут прямыми. Ньютоновская теория гравитации не предусматривает никакой связи между явлениями электромагнетизма и гравитацией, и поэтому предсказание эйнштейновской теорией искривления световых лучей полем тяготения Солнца было революционным и вызвало большой интерес у физиков.

Искривление световых лучей гравитационным полем может быть понято без вычислений, с помощью мысленного эксперимента, предложенного Эйнштейном. Пусть лифт удерживается в шахте электромагнитом. На противоположных стенках лифта на одном уровне имеются отверстия, причем напротив одного из отверстий на стене шахты находится источник света. Как только включается источник света, отключается электромагнит и лифт начинает свободно падать. В момент включения света лифт становится инерциальной системой отсчета, в которой свет распространяется прямолинейно. Поэтому световой луч, войдя в первое отверстие, выйдет через второе. Но за время прохождения светом расстояния L до второй стенки лифта, равное L/c, лифт опустится на высоту h = gL²/2c² и луч выйдет из второго отверстия в шахту ниже точки, в которой он был испущен. В системе отсчета, связанной с шахтой, луч будет искривлен.

 

 

Электромагнитное поле связано с источниками (зарядами) и обладает определенной структурой. Его структура и связь с источниками описываются уравнениями поля (уравнениями Максвелла).

В электромагнитном взаимодействии участвуют частицы, обладающие специальным свойством — электрическим зарядом. Заряженные частицы создают электромагнитное поле и, в свою очередь, испытывают воздействие с его стороны. Определить, обладает частица зарядом или нет, а также измерить его величину можно, исследуя ее взаимодействие с частицами, заведомо обладающими этим свойством. Оказывается, существует наименьший наблюдаемый заряд — это заряд электрона е, равный в системе СИ е = 1,6 10^-19 Кл. Все прочие заряды кратны заряду электрона. Заряд — первичное понятие. Его нельзя сформулировать с помощью более простых понятий. Но в этом и нет необходимости. Для того чтобы высказывания относительно заряда имели смысл, необходимо и достаточно однозначно определить, обладает частица этим свойством или нет, а если обладает, то какова величина заряда.

Заряды бывают положительные и отрицательные. По историческим причинам заряду электрона приписывается знак ( — ). Большинство явлений электромагнетизма в окружающем нас мире связано с двумя стабильными частицами — электроном с зарядом — е и протоном с зарядом + е.

Частицы с зарядами противоположных знаков притягиваются друг к другу, поэтому системы из большого числа частиц, как правило, нейтральны: в них сбалансировано число положительно и отрицательно заряженных частиц. Если мы имеем заряженное макроскопическое тело, то это означает, что какое-то число заряженных частиц (обычно электронов) удалено с тела или, наоборот, внедрено в него.

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. На частицу с зарядом q и скоростью ṽ в пустоте в присутствии внешнего (создаваемого другими частицами) электромагнитного поля действует сила

 

Ḟ = qÊ + qṽ x Ḃ.                                                                                             (1)

 

Вектор Ê называется напряженностью электрического поля в точке нахождения частицы, вектор Ḃ — индукцией магнитного поля в той же точке. Эти векторы в разных точках пространства, вообще говоря, различны и могут меняться во времени. Таким образом, мы имеем дело с двумя векторными функциями координат и времени:

 

Ê = Ê(ṝ, t), Ḃ = Ḃ(ṝ, t).

 

Задание этих функций полностью определяет электромагнитное поле.

Из формулы (1) следует, что напряженность электрического поля определяет силу, действующую на заряженную частицу, не зависящую от состояния движения частицы. Сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, определяется векторным произведением скорости и индукции поля, направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы скорости и индукции, и зависит от величины скорости. Неподвижный заряд не «чувствует» магнитного поля.

Электромагнитное поле обнаруживается (и измеряется) по силе, действующей на заряженную частицу. Оно полностью описывается двумя векторными функциями — напряженностью электрического поля и индукцией магнитного. Векторные поля, представляющие электромагнитное поле, должны обладать специальной структурой. Математически эта структура определяется уравнениями, которым должны удовлетворять векторные поля, обладающие свойствами реального электромагнитного поля. Эти уравнения называются уравнениями поля.

Наглядно поле изображается с помощью силовых линий, представляющих собой множество кривых, пройденных таким образом, что в каждой точке кривой вектор Ê в этой точке касателен к кривой. Это силовые линии электрического поля. Аналогично проводятся силовые линии магнитного поля.

 

 

ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА. Электромагнитное поле связано с распределением и движением зарядов в пространстве. Как задать распределение заряда в пространстве? Выделим малый элемент объема ∆V в окрестности некоторой точки ṝ. Заряд, находящийся в этом элементе, пропорционален величине объема и зависит от его местонахождения. Положим,

 

∆q = p(ṝ)∆V.

 

Введенная таким образом величина р(ṝ) называется плотностью заряда в точке ṝ .

 

 

Задание функции р = р(ṝ, t) полностью описывает распределение заряда в пространстве в заданный момент времени t. Зная эту функцию, мы можем определить заряд Q, находящийся в любом объеме V. Объем разбивают на малые элементы и вычисляют сумму зарядов всех элементов. Такая сумма обозначается знаком интеграла:

 

Q = ʃp(ṝ)dV.                                                                                         (1)

    v 

 

На поле влияет не только плотность заряда в той или иной точке пространства, но и движение зарядов, которое характеризуется плотностью тока. В окрестности точки с радиус-вектором ṝ возьмем малый элемент объема ∆V. Умножим заряд каждой частицы, оказавшейся в данном элементе, на ее скорость и сложим найденные величины. Получим векторную величину

 

Σq_iṽ_i.
 

Эта сумма пропорциональна элементу объема. Как и для заряда, коэффициент пропорциональности зависит от положения элемента в пространстве, т. е. от вектора ṝ. Положим:

 

Σq_iṽ_i = ǰ(ṝ)∆V.

 

Векторная величина ǰ(ṝ) называется плотностью тока в точке ṝ. Если в окрестности точки г взять малую площадку площадью ∆S, с единичным вектором нормали ῇ, то скалярное произведение ǰ х ῇ в этой точке определяет заряд ∆q, пересекающий площадку в направлении вектора нормали за малое время ∆t:

 

∆q = ǰ x ῇ∆S∆t                                                                                            (2)

 

Множитель перед ∆t в правой части формулы (2) называется силой тока через площадку ∆S. Это скалярная величина. Если взять кусок произвольной поверхности S, разбить его на малые элементы ∆S_i, вычислить по формуле (2) для каждого элемента заряд ∆q_i и сложить полученные числа, то найденная таким образом величина

 

∆q = Σ∆q_i = ∆tΣǰ_i x  ῇ_i∆S_i

_i                           

 

будет представлять собой заряд, пересекший выбранный кусок поверхности за время ∆t. Множитель, следующий за ∆t в правой части этой формулы, называется силой тока через поверхность S и обозначается буквой I. Заменив знак суммы знаком интеграла, запишем:

I = ʃǰ x ῇdS                                                                                               (3)

s          
 

в основе электродинамики лежат четыре уравнения — так называемые уравнения Максвелла.

 

 

1. Первое уравнение Максвелла.

Рассмотрим некоторую (произвольную) замкнутую поверхность и вычислим для нее величину

 

ΣÊi x ῇ_i∆S_i,                                                                                               (4)

 

так, как и при выводе формулы (3), с заменой вектора ǰ на вектор Ê.

Полученная величина в математике обозначается знаком интеграла:

 

                                                                                                                                                            (5)

 

и называется потоком вектора Ê через замкнутую поверхность S.

 

 

 

Во всем этом пока не было никакой физики. Мы можем при желании вычислять указанную сумму, возводить в квадрат какое-нибудь число. К природе это не имеет никакого отношения. Но следуюпдее утверждение имеет отношение к природе.

Оказывается, что если мы вычислим поток вектора напряженности реального электрического поля через любую замкнутзто поверхность, то полученная величина с точностью до множителя (зависящего от системы единиц) будет равна сумме зарядов, оказавшихся внутри этой поверхности:

 

                                                                                          (6)

 

 

Во всем этом пока не было никакой физики. Мы можем при желании вычислять указанную сумму, возводить в квадрат какое-нибудь число. К природе это не имеет никакого отношения. Но следующее утверждение имеет отношение к природе.

Оказывается, что если мы вычислим поток вектора напряженности реального электрического поля через любую замкнутую поверхность, то полученная величина с точностью до множителя (зависящего от системы единиц) будет равна сумме зарядов, оказавшихся внутри этой поверхности:

Во всем этом пока не было никакой физики. Мы можем при желании вычислять указанную сумму, возводить в квадрат какое-нибудь число. К природе это не имеет никакого отношения. Но следующее утверждение имеет отношение к природе.

Это закон природы. Такие вещи из математики не выводятся. В рамках теории это утверждение постулируется.

Если внутри поверхности нет зарядов, то величина потока будет равна нулю. Это значит, что слагаемые в сумме, представляющей поток, имеют разные знаки, т. е. вектор напряженности в некоторых точках поверхности направлен наружу, а в других — внутрь поверхности. (Если в некоторой точке Êi x ῇi > 0, вектор Ê в этой точке направлен наружу, если Ê_i x ῇ_i, < 0, то вектор Ê направлен внутрь поверхности.)

 

2. Второе уравнение Максвелла.

Рассмотрим некоторую (произвольную) замкнутую кривую в пространстве. Зададим (произвольно) положительное направление вдоль этой кривой и разобьем всю кривую на большое количество малых элементов. Пусть ∆I_i, — длина i-го элемента. Будем рассматривать эти элементы как векторы ∆Î_i, направление которых определяется выбранным положительным направлением вдоль кривой. В пределах каждого элемента определим значение вектора напряженности электрического поля Ê_i, и вычислим величину Е_i х ∆Î_i. Эта величина имеет физический смысл: если частица с зарядом q претерпит смещение ∆Î, то электрическое поле совершит над ней работу ∆А = Ḟ x ∆Î = qÊ х ∆Î.

Проделаем подобные операции для всех элементов кривой и сложим полученные результаты, т. е. вычислим сумму

 

ΣÊ_i x ∆Î_i

ⁱ               

 

 

Если кривая разбита на достаточно большое число достаточно малых элементов, сумма не будет зависеть от конкретного способа разбиения. В этом случае в математике она обозначается знаком интеграла (кружок у знака интеграла означает, что суммирование ведется по замкнутому контуру):

 

 

и называется циркуляцией вектора Ê по контуру I. (Аналогичная конструкция для произвольного векторного поля А называется циркуляцией вектора А.)

Рассмотрим теперь некоторую (произвольную) поверхность S, опирающуюся на этот контур, и вычислим через нее поток Ф вектора индукции магнитного поля. Направление нормали к элементам поверхности согласовано с положительным направлением контура (правило правого винта: если винт вращается в положительном направлении контура, его ход дает направление нормали):

 

                                                                                                                                                (7)

 

Эта величина называется магнитным потоком. Оказывается, циркуляция напряженности электрического поля по контуру и магнитный поток через опирающуюся на этот контур поверхность связаны, а именно: если магнитный поток Ф изменяется во времени, то циркуляция напряженности электрического поля отлична от нуля:

 

                                                                                                                                                  (8)

 

где ∆Ф = Ф(t + ∆t) — Ф(t) — малое изменение магнитного потока за малое время ∆t.

Это второе уравнение Максвелла, которое также постулируется в рамках теории. Оно описывает явление электромагнитной индукции.

 

 

3. Третье уравнение Максвелла определяет поток вектора индукции магнитного поля через замкнутую поверхность:

 

                                                                                         (9)

 

Структура магнитного поля отличается от структуры электрического поля.

 

4. Четвертое уравнение Максвелла определяет циркуляцию индукции магнитного поля:

 

      

 

Интеграл в первом слагаемом в правой части уравнения представляет собой силу тока через поверхность контура. Проанализируем второе слагаемое в правой части. Величина N_E — это поток вектора Ê через поверхность S:

 

 

(аналогично магнитному потоку), ∆N_E — изменение потока N_E за малое время ∆t. Величина имеет размерность силы тока, хотя ей не соответствует никакое движение заряженных частиц. Однако в определенном смысле она эквивалентна току.

Уравнения Максвелла завершили долгую историю развития теории электричества. Существу, знакомому с механикой и способному мгновенно усматривать все следствия этих уравнений, было бы ясно, почему солнце светит и почему небо синее, как работает электромотор и радиоприемник (правда, ламповый: для понимания действия транзистора нужно было бы знать квантовую механику) и многое другое.
 

 

 

Постоянное (не изменяющееся во времени) электрическое поле создается распределением неподвижных зарядов. Силовые линии начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах.

Существование поля проявляется в том, что на заряженные частицы действует сила, которая может быть измерена. Работа, совершаемая этой силой при перемещении заряда из одной точки пространства в другую, зависит только от расположения этих точек и не зависит от пути перемещения.

 

 

ЕСЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ И ТОКА не меняется во времени, то создаваемое им электромагнитное поле также не будет меняться. Электрическое поле полностью описывается двумя первыми уравнениями Максвелла, которые приобретают вид:

 

                                                                                                                                     (1)

 

Силовые линии поля позволяют судить не только о направлении вектора напряженности в каждой точке пространства, но и о величине напряженности.

Рассмотрим тонкую трубку в пустоте, боковая поверхность которой образована силовыми линиями. Два сечения этой трубки и поверхность трубки между ними образуют замкнутую поверхность, к которой применимо первое уравнение. При условии, что внутри поверхности нет зарядов, получим из первого уравнения Максвелла:

 

                                                    (2)

 

Произведение модуля напряженности поля в некоторой точке внутри трубки, образованной силовыми линиями в пустоте, на площадь сечения трубки в этой точке не меняется вдоль трубки.

Если трубка расширяется, величина напряженности поля падает, и наоборот.

Работа, совершаемая электростатическим полем над зарядом при его перемещении по замкнутому контуру, равна нулю. Две любые точки на замкнутом контуре делят его на две ветви, и работа, совершаемая полем при перемещении заряда по этим ветвям, оказывается одинаковой по величине, но разной по знаку (чтобы в сумме дать ноль).

(Это следствие второго уравнения Максвелла.) Поэтому работа A₁₂, совершаемая полем при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути перемещения:

 

А₁₂ = ʃḞ х dÎ = ʃqÊ x dÎ = qʃÊ x dÎ = qV₁₂,                                                                           (3)

 

где величина V₁₂ определяется лишь начальной и конечной точками. Эта величина называется разностью потенциалов между точками 1 и 2. (Как вычислять эту величину — см. Электромагнитное поле.) В электротехнике употребляется также термин «напряжение», когда речь идет о разности потенциалов между двумя проводниками или точками электрической цепи.

 

 

Независимость работы от пути позволяет ввести величину, называемую потенциалом электростатического поля в данной точке. Потенциалом поля в точке ṝ называется скалярная величина j(ṝ), равная разности потенциалов между этой точкой и некоторой другой, потенциал которой по определению равен нулю. Выбор другой точки произволен — в физике обычно считают, что она находится на бесконечности, в электротехнике за ноль принимают потенциал Земли.

Для вычисления потенциала j(ṝ) в точке ṝ нужно соединить эту точку некоторой (любой) кривой I с точкой, потенциал которой принят за ноль, и вычислить вдоль этой кривой сумму (интеграл):

 

 

Разность потенциалов ∆j между двумя соседними точками, разделенными вектором iṝ, будет равна, по определению:

 

                                             (4)

 

Эта формула определяет связь между напряженностью поля и разностью потенциалов в двух соседних точках.

Зная потенциал поля во всех точках пространства, мы можем чисто математическими методами найти напряженность поля во всех точках. Структуру электростатического поля можно описать с помощью одной скалярной функции — потенциала.

Место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. (В пустоте это место точек действительно представляет собой поверхность, но во всех точках объемного проводника в отсутствие тока потенциал также постоянен.) При перемещении заряда по этой поверхности поле не совершает работу, а это значит, что такая поверхность ортогональна силовым линиям.

Семейство эквипотенциальных поверхностей дает такую же наглядную картину поля, как и силовые линии. Они дают возможность судить как о направлении напряженности (ортогонально поверхности в сторону убывания потенциала), так и о величине (там, где поверхности сближаются, напряженность поля возрастает).

Эквипотенциальные поверхности, отвечающие разным потенциалам, не могут пересекаться или касаться.

Если в некоторой области пространства сосредоточен заряд, то эквипотенциальными поверхностями будут замкнутые поверхности, охватывающие эту область, и потенциал будет падать по мере удаления от заряда. Если распределение заряда обладает некоторой симметрией, например, переходит в себя (не изменяется) при поворотах вокруг некоторой оси на некоторый угол, то и эквипотенциальные поверхности при тех же поворотах будут переходить в себя. Эти соображения позволяют получить представление о структуре поля, создаваемого распределением заряда с известной симметрией.

 

 

СВЯЗЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ЗАРЯДАМИ. Электростатическое поле само по себе в пустом пространстве существовать не может. Оно создается заряженными частицами и «привязано» к ним. Простейший мыслимый источник поля — точечный заряд. Поле точечного заряда, очевидно, обладает центральной симметрией, его силовые линии — радиальные лучи, эквипотенциальные поверхности — сферы с центром в месте нахождения заряда. На поверхности такой сферы любого радиуса модуль напряженности поля во всех точках одинаков, а сам вектор направлен вдоль нормали к сфере. Выбрав такую сферу в качестве замкнутой поверхности и применив к ней уравнение (1), получим:

 

                                                                                (5)

Таким образом, напряженность поля в некоторой точке сферы радиуса г равна

 

                                                                                             (6)

 

где ῇ — единичный вектор нормали к сфере в этой точке, направленный наружу.

Если в эту точку поместить другой точечный заряд qʹ, то на него будет действовать сила (закон Кулона):

 

 

Формула (6) справедлива для любого распределения заряда, обладающего центральной симметрией, если под q понимать q(r) — заряд, находящийся внутри сферы радиуса г. В частности, окажется, что поле внутри равномерно заряженной сферической оболочки равно нулю, а снаружи определяется формулой (6).

Потенциал поля точечного заряда на сфере будет равен:

 

                                                                                          (7)

 

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. Уравнения Максвелла для поля в пустоте обладают замечательной особенностью. Если мы нашли два векторных поля Ê₁(ṝ), Е₂(ṝ), удовлетворяющих этим уравнениям, то их сумма так же будет удовлетворять им. Физически это означает, что напряженность поля, создаваемого несколькими источниками, есть сумма напряженностей полей (т. е. сумма соответствующих функций), создаваемых каждым источником в отдельности. Это утверждение называется принципом суперпозиции.

Принцип суперпозиции дает возможность найти поле, создаваемое произвольным распределением зарядов, поскольку любое распределение можно представить как совокупность точечных зарядов.

 

 

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ. Поле, создаваемое двумя точечными, равными по величине зарядами g противоположных знаков, на большом расстоянии от этих зарядов имеет вид (заряды вблизи начала координат):

 

                                                                               (8)

 

Величина 5 = qã, где ã — вектор, проведенный из отрицательного заряда к положительному, называется дипольным моментом.

Вообще, дипольным моментом системы зарядов называется величина

 

                                                                                         (9)

 

(т. е. каждый точечный заряд умножается на свой радиус-вектор и полученные векторы складываются). Роль дипольного момента как характеристики распределения зарядов состоит в следующем. Если полный заряд распределения равен нулю, а дипольный момент не равен нулю, поле, создаваемое этим распределением на расстояниях, много больших размеров распределения, определяется формулой (8). Оно убывает с расстоянием как 1/r³ т. е. быстрее, чем поле точечного заряда. Многие молекулы, будучи нейтральными, обладают отличным от нуля дипольным моментом и создают соответствующее электрическое поле.

 

 

ВЕЩЕСТВО состоит из нейтральных атомов, атомов, потерявших или присоединивших один или несколько электронов (ионов), нейтральных молекул, обладающих дипольным моментом, и свободных электронов, оторвавшихся от атомов, т. е. в веществе всегда присутствуют частицы, создающие свои электрические поля. Эти поля сильно изменяются на расстояниях порядка межатомных или межмолекулярных и быстро меняются со временем за счет хаотичного теплового движения частиц.

Отслеживать эти поля на микроскопическом уровне практически невозможно, да и не нужно. Интерес могут представлять лишь характеристики поля, усредненные по достаточно большим (включающим много атомов) областям и достаточно большим промежуткам времени. При этом оказывается, что если мы возьмем кусок (объем) вещества, суммарный заряд которого равен нулю, то усредненное поле, создаваемое этим куском как вне его, так и внутри, будет чаще всего равно нулю, поскольку поля точечных зарядов компенсируются, дипольные моменты молекул ориентированы хаотично, и их поля также компенсируются.

Но имеется два важных исключения из этого. Одно связано с тем, что ускоренно движущиеся заряды излучают электромагнитные волны, а волны, излучаемые независимыми источниками, не могут гасить друг друга. Поэтому любой кусок вещества при температуре выше абсолютного нуля, частицы которого участвуют в хаотичном тепловом движении, должен излучать электромагнитные волны! Он и излучает, и мы часто даже ощущаем это излучение как свет и (или) тепло. Другое исключение мы получим, если в веществе создастся некоторое упорядоченное в среднем разделение зарядов или появится некоторая преимущественная в среднем ориентация дипольных моментов молекул. Вещество в конечном итоге должно реагировать на внешнее электрическое поле и создавать собственное поле, накладывающееся на внешнее.

 

 

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Проводниками называются тела, в которых есть свободные носители заряда. Проще говоря, это тела (твердые, жидкости или газы), в которых имеются заряженные частицы, способные двигаться внутри тела под действием приложенной силы (со стороны электрического поля). Далее под проводниками мы будем понимать в основном металлы, которые замечательны тем, что в них имеются свободные электроны.

Неплохим проводником является вода с растворенными в ней ионными молекулами, которые в воде легко диссоциируют на ионы. По этой причине наше тело — проводник, с чем связана опасность слишком тесного контакта с электричеством.

В статическом случае (при отсутствии тока) напряженность поля внутри проводника равна нулю. Свободные заряды перераспределяются в проводнике до тех пор (причем очень быстро), пока внутри его напряженность поля и сила, действующая на заряды внутри его, не станут равны нулю.

Вследствие этого потенциал во всех точках проводника одинаков, а его поверхность эквипотенциальна.

Последнее означает, что силовые линии поля вне проводника подходят к нему по нормали к поверхности.

То обстоятельство, что поверхность проводника в статическом случае является эквипотенциальной, позволяет судить о конфигурации поля в окрестности проводника. На рисунке изображено поле между двумя — плоскими проводниками, один из которых имеет острый выступ. Здесь представлены эквипотенциальные поверхности, которые плавно переходят одна в другую, и ортогональные им силовые линии. Сгущение силовых линий у острия свидетельствует об увеличении там напряженности поля.

Тела, в которых отсутствуют свободные носители зарядов, называются диэлектриками. Диэлектрики состоят из нейтральных молекул.
 

 

Стационарное (не меняющееся во времени) магнитное поле создается стационарными токами. Его силовые линии замкнуты. Если поле создается тонким длинным проводником, то силовые линии охватывают его и вблизи проводника являются окружностями в оротогональных ему плоскостях.

 

 

СТАЦИОНАРНОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ определяется третьим и четвертым уравнениями Максвелла, которые в предположении стационарности принимают вид

 

                                                                       (1)

 

в правой части второго из этих уравнений стоит сила тока через поверхность контура, по которому вычисляется циркуляция вектора индукции.

В отличие от электростатического поля, силовые линии которого начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных либо уходят на бесконечность, линии индукции магнитного поля замкнуты. Тонкая силовая трубка замыкается на себя, и в любом сечении этой трубки произведение модуля вектора Ḃ на площадь сечения S есть величина постоянная:

 

B x S = const

 

Если выбрать замкнутый контур, совпадающий с линией индукции поля, то левая часть второго из равенств (1) будет заведомо отлична от нуля (все слагаемые в сумме, представляющей эту величину, имеют одинаковые знаки). Это значит, что площадь контура, образованного силовой линией, пересекают движущиеся заряды. Если, как обычно бывает, заряды движутся в проводнике, то это, в свою очередь, означает, что линии индукции магнитного поля охватывают проводник с током.

Из соображений симметрии следует, что силовые линии поля, создаваемого длинным цилиндрическим проводником с током силой I, представляют собой окружности в плоскостях, ортогональных проводнику, с центрами на оси проводника. На окружности радиуса г вектор Ḃ касателен к окружности, и его модуль равен

 

                                                                                                   (2)

 

(Выбрав в качестве контура окружность радиуса г, найдем, что , и четвертое уравнение Максвелла немедленно даст приведенную формулу.)

Эта формула справедлива с достаточной точностью и вблизи изогнутого проводника, и на расстояниях, много меньших его радиуса кривизны.

 

 

 

МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. Магнитным моментом ограниченного распределения движущихся зарядов (токов) называется величина, равная

 

                                                                                         (3)

 

(заряд частицы умножается на ее радиус-вектор, полученный вектор умножается векторно на скорость частицы, и эти величины для всех частиц складываются). Это важная характеристика ограниченного (занимающего конечный объем) распределения движущихся зарядов (токов). На большом расстоянии от этого распределения структура магнитного поля (вид силовых линий) будет такой же, как электрического поля диполя. Если заряды и массы частиц одинаковы (m — масса частиц одного сорта), то магнитный момент пропорционален моменту импульса рассматриваемой системы частиц:

 

 

Отсюда следует, что равномерно заряженный и однородный по массе вращающийся шар обладает магнитным моментом и создает магнитное поле. По этой же причине атом будет обладать магнитным моментом, если момент импульса входящих в него электронов отличен от нуля. Простейшим примером такого распределения является плоский виток с током. Если ñ — единичный вектор нормали к плоскости витка, ориентированный так, что образует с направлением тока правый винт, то магнитный момент витка будет равен

 

                                                                                                                 (4)

 

где S — площадь витка.

Магнитный момент соленоида — совокупности N последовательных витков — будет равен, очевидно:

 

 

 

где ñ — единичный вектор вдоль оси соленоида. Ограниченное распределение тока в начале координат с магнитным моментом , ориентированным вдоль оси X, создает в точках на осях х, у магнитное поле, определяемое формулами:

 

                                                                      (5)

 

(Формула верна для расстояний, много больших размеров распределения.)

 

 

ПОВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ зависит от того, обладают его атомы магнитным моментом или приобретают его, будучи внесены в магнитное поле. Первые вещества называются парамагнетиками, вторые — диамагнетиками. Магнитный момент атома связан с моментом импульса входящих в него электронов. На систему, обладающую магнитным моментом, во внешнем магнитном поле действует момент сил, стремящийся развернуть систему так, чтобы ее магнитный момент стал параллелен вектору индукции поля (именно поэтому стрелка компаса указывает на север).

Атомы парамагнетиков обладают магнитным моментом (их можно уподобить элементарным магнитикам), однако в отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов ориентированы хаотично, так что суммарный магнитный момент любого элемента объема тела в среднем равен нулю. В таком состоянии тело заметного магнитного поля не создает.

При внесении во внешнее магнитное поле парамагнетик намагничивается (приобретает магнитный момент) за счет того, что магнитные моменты атомов под действием магнитного поля ориентируются преимущественно в направлении магнитного поля. Степень намагничивания тем больше, чем сильнее внешнее поле. Парамагнетик втягивается в магнитное поле (его магнитный момент всегда параллелен вектору индукции внешнего поля) и усиливает внешнее поле своим собственным полем.

Атомы диамагнетика не имеют сами по себе магнитного момента, но приобретают его при внесении в магнитное поле, причем этот приобретенный магнитный момент направлен всегда против поля. Это довольно тонкий эффект, связанный с тем, что магнитные моменты отдельных электронов в атоме, связанные с их орбитальным движением, прецессируют под действием магнитного поля (описывают коническую поверхность вокруг направления магнитного поля, подобно тому как ось волчка вычерчивает коническую поверхность вокруг вертикали). За счет прецессии электрон приобретает дополнительный магнитный момент, направленный против поля. Диамагнетик намагничивается «против шерсти» и поэтому всегда выталкивается из поля (и ослабляет внешнее поле своим собственным полем).

Из твердых тел к парамагнетикам относятся, например, эбонит, алюминий, платина, к диамагнетикам — медь, каменная соль, висмут.

 

 

ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ. Диа- и парамагнетики намагничиваются во внешнем поле, но, как только поле исчезает, пропадает и их намагниченность. Однако существуют постоянные магниты — твердые тела, создающие магнитное поле и способные притягивать железные предметы. Постоянные магниты — это так называемые ферромагнетики. К ним относятся в чистом виде железо, кобальт и никель. Природа ферромагнетизма была выяснена лишь после создания квантовой механики. Ферромагнетики (например, железо) при внесении в магнитное поле намагничиваются (приобретают магнитный момент), как и парамагнетики, по полю (магнитный момент — вдоль вектора индукции), но приобретаемый ими магнитный момент много больше, чем у парамагнетиков. Соответственно много больше и сила, действующая на ферромагнетик. Но главная особенность ферромагнетиков — это наличие остаточной намагниченности. Ферромагнетик остается намагниченным и после исчезновения внешнего поля. Так получаются постоянные магниты.

Наличие остаточной намагниченности означает, что элементарные атомные магниты остаются параллельными и удерживаются силами, противодействующими хаотизирующему тепловому движению атомов. При высокой температуре, однако, упорядоченность магнитных моментов атомов разрушается и намагниченность ферромагнетика пропадает.
 

 

 

Электромагнитное поле обладает энергией, которая распределяется в пространстве, занятом полем. При изменении характеристик поля меняется и распределение энергии. Она перетекает из одной области пространства в другую, переходя, возможно, в другие формы. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля является следствием полевых уравнений.

 

 

ВНУТРИ НЕКОТОРОЙ ЗАМКНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ S, ограничивающей объем пространства V, занятого полем, содержится энергия W — энергия электромагнитного поля:

 

                                                                                  (1)

 

Если в этом объеме имеются токи, то электрическое поле производит над движущимися зарядами работу, за единицу времени равную

 

                                                                                      (2)

 

Это величина энергии поля, которая переходит в другие формы. Из уравнений Максвелла следует, что

 

                                                                          (3)

 

где ∆W — изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме за время ∆t, а вектор называется вектором Пойнтинга. Это закон сохранения энергии в электродинамике.

Через малую площадку величиной ∆А с единичным вектором нормали ñ за единицу времени в направлении вектора ñ протекает энергия Š х ñ∆А, где Š — значение вектора Пойнтинга в пределах площадки. Сумма этих величин по всем элементам замкнутой поверхности (обозначена знаком интеграла), стоящая в правой части равенства (3), представляет собой энергию, вытекающую из объема, ограниченного поверхностью, за единицу времени (если эта величина отрицательна, то энергия втекает в объем).

Вектор Пойнтинга определяет поток энергии электромагнитного поля через площадку, он отличен от нуля всюду, где векторное произведение векторов напряженности электрического и магнитного полей отлично от нуля. Смысл закона проще уяснить на частных случаях.

 

1. Поле в пустоте. Пусть замкнутая поверхность охватывает некоторый объем пустого пространства. Тогда внутри поверхности токов нет, N = 0, и

 

Если интеграл положителен, то энергия вытекает из объема, и убыль энергии поля внутри поверхности за время At равна вытекшей за это время энергии.

 

 

2. Электромотор. Охватим электромотор замкнутой поверхностью и обратимся к уравнению (3). Энергия поля в объеме, ограниченном поверхностью, в среднем постоянна, поэтому первое слагаемое в левой части равно нулю. Второе слагаемое равно потоку энергии из окружающего пространства внутрь замкнутой поверхности. Внутри поверхности находится электромотор, в котором текут токи. Плотность тока определяется законом Ома: Êʹ— сторонние силы. В электромоторе, как бы он ни был устроен, имеются движущиеся в магнитном поле проводники, и на свободные заряды (электроны) действует сила Лоренца. Сила Лоренца и есть сторонняя сила. Имеем:

 

 

Это равенство справедливо для любого элемента объема. Таким образом,

 

 

Первое слагаемое в правой части — количество теплоты ∆Q, выделяющейся в рассматриваемом объеме, второе — работа ∆А сторонних сил. Эта величина отрицательна, так как токи текут против сторонних сил, и представляет собой работу, совершаемую в рассматриваемом объеме против сил трения, и полезную работу электромотора. Равенство (3) принимает вид:

 

Энергия, втекаемая внутрь замкнутой поверхности за единицу времени, равна количеству теплоты, выделяемой внутри поверхности за единицу времени и совершаемой там же за единицу времени работе.
 

 

Переменный ток — это в широком смысле электрический ток, изменяющийся во времени. Чаще всего это изменение происходит по синусоидальному закону I = I₀ sin(ωt + ω). Именно такой ток генерируют промышленные источники тока.

 

 

В РАЗНЫХ СЕЧЕНИЯХ линейного проводника сила тока одинакова, но во времени она меняется по периодическому закону. Каждое значение силы тока повторяется через промежуток времени Т = 2π/ω, который называется периодом, а величина ω — угловая частота. Стабильность частоты является важным качеством переменного тока. Аргумент у синуса — величина ωt + j — называется фазой (полезно абстрагироваться от геометрического смысла синуса и не воспринимать аргумент у синуса как некоторый угол).

При постоянном токе электроны движутся в тонком проводнике подобно воде в трубе, но при переменном токе каждый из них совершает колебательное движение вдоль проводника как гармонический осциллятор. Амплитуда этих колебаний весьма мала, и в пределах отдельного проводника все электроны колеблются в фазе, т. е. синхронно. Если к источнику с напряжением U присоединена цепь, включающая конденсатор, то (следствие закона Ома)

 

                                                                                       (1)

 

Здесь первое слагаемое в правой части — падение напряжения на сопротивлении, второе — на конденсаторе (q — заряд конденсатора), третье — ЭДС сторонних сил, действующих на рассматриваемом участке. Мощность, выделяемая в этой цепи, определяется равенством

 

                          N = UI                                                                                               (2)

 

(Это работа, которую совершает источник за единицу времени.)

Если U — переменное напряжение, U = U₀sinωt, а ɛ — ЭДС самоиндукции, ɛ = - L(∆I/∆t), по цепи течет переменный ток: I = I₀Sin(ωt + j), причем

 

                                                                         (3)

 

При отсутствии конденсатора следует положить 1/С = 0. Из формулы (2) с учетом формулы (3) найдем:

 

N = UI = U₀sinωt x I₀sin(ωt + j) = U₀I₀(sin²ωt x cosj + sinωt cosωt sinj)

 

Это значение мощности в момент времени t. Среднее за период значение мощности равно:

 

                                                           (4)

 

(Среднее за период значение квадрата синуса равно ¹/₂, а произведение синуса на косинус — нулю.) Величины

 

 

называются эффективными значениями напряжения и силы переменного тока. Именно эти величины имеются в виду, когда говорят о силе и напряжении переменного тока.

 

 

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО В БЫТУ. Гнезда розетки в вашей квартире — это два проводника, между которыми внешним источником поддерживается переменное напряжение определенной величины (скорее всего, 220 В). По отношению к обычным нагрузкам, которые потребитель энергии может подключить к сетевой розетке, она ведет себя как источник неограниченной мощности, и напряжение в розетке не зависит от нагрузки. Однако при большой нагрузке падение напряжения на проводах, ведущих от распределительного щита к розетке, может стать значительным, и напряжение в розетке понизится. Это признак того, что нагрузка слишком велика для данной сети.

В быту используются и маломощные устройства, работающие при низких напряжениях. Понижение напряжения (равно как и повышение) осуществляется с помощью трансформатора. Если подключаемая нагрузка обладает лишь омическим сопротивлением (нагреватели), текущий через нее ток находится в фазе с напряжением, и потребляемая мощность равна U²/R. В холодном состоянии сопротивление любого нагревателя минимально, и потребляемая в момент включения мощность может значительно превосходить номинальную.
 

 

Меняющееся во времени электрическое поле становится источником магнитного поля — т. е. возникает явление, аналогичное электромагнитной индукции. Электромагнитные волны — наиболее яркое выражение этого эффекта.

 

 

НЕЗАМКНУТЫЕ ТОКИ. Пусть имеется плоский конденсатор, образованный двумя проводящими дисками, к которым вдоль оси симметрии подключены два длинных прямых проводника. По этим проводникам на конденсатор натекает заряд. Система обладает осевой симметрией, и силовые линии магнитного поля, создаваемого током в проводниках, — окружности в плоскостях, ортогональных оси симметрии. Силовые линии магнитного поля охватывают проводник с током. Но будет ли магнитное поле, и если да, то какое, в пространстве между пластинами? Уравнение

 

 

которое позволяло найти магнитное поле, создаваемое замкнутыми квазистационарными токами, и в котором содержится все, что было известно о связи между магнитным полем и током до Максвелла, здесь не срабатывает. Хуже того, оно дает внутренне противоречивый ответ на вопрос, правильный ответ на который известен.

Согласно этому уравнению, циркуляция индукции магнитного поля по замкнутому контуру (о вычислении этой величины см. Второе уравнение Максвелла) равна силе тока через поверхность, опирающуюся на этот контур. Выберем контур в виде окружности радиуса г, охватывающий проводник. Он совпадает с силовой линией поля, и для этого контура

 

 

Поверхность, опирающуюся на этот контур, «протыкает» проводник с током, и сила тока через поверхность равна силе тока в проводнике. Таким образом, найдем, что В(г) = μ₀I/2πr. Это правильный результат (поле прямого проводника с током). То, что в разрыв проводника включен конденсатор, способный оказать влияние на поле, роли не играет, если контур, на котором было найдено магнитное поле, взять достаточно далеко от конденсатора. Ясно, что этот результат не должен зависеть от выбора поверхности, опирающейся на контур. Он и не зависит, но есть одно исключение. Мы можем провести поверхность через разрыв в проводнике, между пластинами конденсатора! Сила тока через эту поверхность равна нулю, и правильный результат не получается, но мы его хотя бы знаем. Ситуация будет еще хуже, если мы зададимся вопросом о поле между пластинами конденсатора.

Из соображений симметрии следует, что силовая линия поля между пластинами, если оно там есть, должна быть окружностью. Взяв контур в виде окружности и снова применив наше уравнение, найдем, что величина B(г)2πг должна равняться току через площадь контура. Но ток равен нулю, и магнитное поле между пластинами равно нулю. С другой стороны, если поверхность, опирающаяся на контур, охватывает пластину и пересекает проводник, ток через нее равен I, и магнитное поле будет таким же, что и вне конденсатора. В рассматриваемой ситуации уравнение не работает.

 

 

ТОК СМЕЩЕНИЯ. Если внутри конденсатора провести плоскость, параллельную пластинам, то поток вектора индукции электрического поля через эту плоскость будет равен

 

 

Этот результат следует и из первого уравнения Максвелла. (Поток вектора D вычисляется так же, как и магнитный поток Ф.)

При изменении заряда на конденсаторе будет меняться и поток, и скорость его изменения определится как

 

 

Если конденсатор включен в разрыв проводника, по которому на него натекает заряд, то за время ∆t на пластину натечет заряд ∆q = l∆t, а скорость изменения потока вектора Ď будет равна силе тока в проводнике:

 

 

Эту величину Максвелл назвал силой тока смещения, а скорость изменения вектора индукции D во времени, которую мы обозначим точкой над буквой: Ď = ∆D/∆t — плотностью тока смещения.

Таким образом решается проблема с незамкнутыми токами: ток смещения замыкает ток движущихся зарядов в разомкнутом проводнике, так как в месте разрыва всегда появляется меняющееся со временем электрическое поле, и, как мы видели, сила тока смещения равна силе тока в проводнике.
 

 

Согласно представлениям классической физики, свет — это электромагнитные волны в определенном диапазоне частот. Однако взаимодействие света с веществом происходит так, как если бы свет был потоком частиц.

 

 

ВО ВРЕМЕНА НЬЮТОНА имели место две гипотезы о природе света — корпускулярная, которой придерживался Ньютон, и волновая. Дальнейшее развитие экспериментальной техники и теории сделало выбор в пользу волновой теории.

Но в начале XX в. возникли новые проблемы: взаимодействие света с веществом не находило объяснения в рамках волновой теории.

При освещении куска металла светом из него вылетают электроны (фотоэффект). Следовало ожидать, что скорость вылетающих электронов (их кинетическая энергия) будет тем больше, чем больше энергия падающей волны (интенсивность света), но оказалось, что скорость электронов вообще не зависит от интенсивности света, а определяется его частотой (цветом).

Особенности взаимодействия света с веществом вынудили физиков вернуться к корпускулярной теории. Взаимодействие света с веществом происходит так, как если бы свет был потоком частиц, энергия и импульс которых связаны с частотой света соотношениями

 

Е = hv; р = Е/с = hv/c,

 

где h — постоянная Планка. Эти частицы получили название фотоны.

Фотоэффект мог быть понят, если стать на точку зрения корпускулярной теории и считать свет потоком частиц. Но тогда возникает проблема, как быть с другими свойствами света, которыми занимался обширный раздел физики — оптика, исходящая из того, что свет есть электромагнитные волны.

Ситуация, при которой отдельные явления объясняются с помощью специальных предположений, не стыкующихся друг с другом или даже противоречащих одно другому, считается неприемлемой, поскольку физика претендует на создание единой картины мира. И подтверждением обоснованности этой претензии служило как раз то, что незадолго до трудностей, возникших в связи с фотоэффектом, оптика была сведена к электродинамике. Явления интерференции и дифракции определенно не согласовывались с представлениями о частицах, но некоторые свойства света одинаково хорошо объясняются и с той и с другой точек зрения. Электромагнитная волна обладает энергией и импульсом, причем импульс пропорционален энергии. При поглощении света он передает свой импульс, т. е. на преграду действует сила давления, пропорциональная интенсивности света. Поток частиц также оказывает давление на преграду, и при подходящей связи между энергией и импульсом частицы давление будет пропорционально интенсивности потока. Важным достижением теории было объяснение рассеяния света в воздухе, в результате чего стало понятно, в частности, почему небо синее. Из теории следовало, что при рассеянии частота света не изменяется.

 

 

Однако если стать на точку зрения корпускулярной теории и считать, что та характеристика света, которая в волновой теории связывается с частотой (цвет), в корпускулярной связана с энергией частицы, то окажется, что при рассеянии (столкновении фотона с рассеивающей частицей) энергия рассеянного фотона должна уменьшиться. Специально проведенные эксперименты по рассеянию рентгеновских лучей, которым соответствуют частицы с энергией на три порядка больше, чем для видимого света, показали, что корпускулярная теория верна. Свет следует считать потоком частиц, а явления интерференции и дифракции получили объяснение в рамках квантовой теории. Но при этом изменилось и само понятие частицы как объекта исчезающе малого размера, движущегося по определенной траектории и имеющего в каждой точке определенную скорость.

Новая теория не отменяет правильных результатов старой, но может изменить их интерпретацию. Так, если в волновой теории цвет связывался с длиной волны, в корпускулярной он связан с энергией соответствующей частицы: фотоны, вызывающие у нас в глазу ощущение красного цвета, имеют меньшую энергию, чем синего.

Опыт с электронами, описанный в статье Волновые свойства частиц, был в свое время проведен для света (опыт Юнга) . Освещенность экрана за щелями имела такой же вид, как для электронов, и эта картина интерференции света, попадающего на экран от двух щелей, служила доказательством волновой природы света.

 

 

В некоторых ситуациях частицы проявляют волновые свойства, а волны — свойства частиц. Взаимоисключающие в классической физике понятия «волна» и «частица» в квантовой теории оказались не столь простыми.

Если событие, произошедшее в точке А в некоторый момент времени, является причиной события в точке В в последующий момент времени, то это значит, что из точки А в точку В прибыла либо некоторая частица, либо волна.

 

 

Волна и частица — понятия классической физики, имеющие вполне определенный смысл. Частица — это локализованный в пространстве объект, перемещающийся с определенной скоростью вдоль некоторой кривой (траектории). Волна — распространение возмущения состояния некоторой сплошной среды или поля. Волна не обладает определенной локализацией и траекторией (она «размазана» в пространстве).

В микромире деление на волны и частицы оказывается не таким однозначным. Объекты, которые по всем прочим признакам следует считать частицами, проявляют волновые свойства, а возмущения поля, которые в классической физике считались бы волнами, обладают свойствами частиц. Когда говорят, что частицы проявляют волновые свойства, то под этим понимают следующее.

Пусть поток частиц (для определенности — электронов), исходящий из удаленного источника, падает на непрозрачный экран с достаточно узкой щелью. За экраном находится другой экран, и на нем регистрируются места попаданий частиц, прошедших через щель (для электронов это может быть экран типа экрана телевизора — при попадании на него электрона происходит точечная световая вспышка).

Проходя через щель, частицы могут рассеиваться, взаимодействуя с краями щели, в результате чего распределение частиц на экране за щелью (яркость свечения в случае электронов) должно иметь вид, представленный на рисунке (на графике изображена величина, пропорциональная числу частиц, попавших на единицу площади экрана в данном месте экрана). Так и получается на самом деле.

Усложним эксперимент. Сделаем две щели.

Классическая физика и здравый смысл предсказывают, что распределения от обеих щелей сложатся, и результирующее распределение будет иметь вид, представленный на рисунке.

 

 

На самом деле распределение будет иметь вид, показанный на следующем рисунке. Это распределение замечательно тем, что на экране имеются точки (например, точка А), в которые попадают частицы, пройдя любую щель (при закрытой другой), но при открытых двух щелях не попадают. Можно предположить, что такое распределение есть результат какого-то взаимодействия между частицами, прошедшими через обе щели. Это предположение может быть проверено экспериментально. Взаимодействие будет исключено, если поток частиц от источника сделать настолько слабым, что в каждый момент времени в пространстве между щелями и экраном будет находиться не более одной частицы. При этом частицы на экране будут регистрироваться в разных точках (случайных, на первый взгляд), но если отследить достаточно большое число частиц, то получим то же самое распределение! Распределения от двух щелей не складываются.

Частица, проходя через любую из щелей, попадает в точку А. Но при двух открытых щелях она туда не попадает.

У каждой щели можно поставить устройство (например, микроскоп), позволяющее фиксировать прохождение частицы через щель. Теперь, кроме экрана со щелями имеются устройства, взаимодействующие с частицами в области щели.

И в этом случае если частица обнаруживается в одной щели, то в другой ее нет. Частица не раздваивается. Картина на рисунке похожа на интерференцию волн от двух когерентных источников. Именно это имеют в виду, когда говорят, что частицы проявляют волновые свойства.
 

 

В квантовой теории состояние объекта задается волновой функцией — функцией, определенной в каждой точке пространства для каждого момента времени. Знание волновой функции позволяет предсказать результаты измерения динамических переменных, зависящих от состояния объекта.

 

 

Проблемы, связанные с поведением вещества на атомном и субатомном уровнях, были решены в рамках квантовой механики.

Исходным понятием теории становится так называемая волновая функция ѱ = ѱ(х, у, z, t) (пси-функция). Это функция координат и времени, т. е. величина ѱ задается в каждой точке пространства для каждого момента времени. Существенно, что значения этой функции представляются комплексными числами.

Комплексное число z — это величина вида z = х + iy, где х, у — действительные (обычные числа), а величина i такова, что i x i = i² = -1. (Ясно, что никакое действительное число не обладает таким свойством, отсюда название этой величины — «мнимая единица».) Для комплексных чисел справедливы все правила обычной алгебры. Комплексному числу z ставится в соответствие сопряженное число ž = х - iy. При этом произведение ž х z есть действительное число:

ž x z = х² - ixy + ixy = i²y² - x² + у².
 

Величина называется модулем комплексного числа z.

Волновая функция полностью определяет состояние частицы. Это значит, что если волновая функция частицы известна, то можно получить ответы на все разумные вопросы относительно измеримых характеристик частицы. Однако не все вопросы, являющиеся разумными в рамках классической механики, будут таковыми в рамках квантовой механики.

Естественный в классической механике вопрос: «Каковы координаты частицы в данный момент времени?» — не получает однозначного ответа. Можно лишь определить вероятность того, что частица будет обнаружена в том или другом месте.

Точнее говоря, квадрат модуля волновой функции в данной точке пространства умноженный на малый элемент объема ∆V в окрестности этой точки, дает вероятность того, что частица может быть обнаружена в этом элементе объема.

И дело не в том, что частица где-то находится, а мы не знаем где и поэтому вынуждены говорить о вероятности того, что она там-то или там-то. Само представление о том, что она находится в определенной точке, оказывается неверным.

Пот частица фактически не обнаружена в некотором месте, она присутствует потенциально с определенной вероятностью всюду, где ее волновая функция отлична от нуля. Сама функция ѱ представляет собой так называемую амплитуду вероятности. Это комплексная величина. Но квадрат модуля волновой функции — величина действительная и наблюдаемая. Ее физический смысл — плотность вероятности. Это вероятность обнаружения частиц в некотором малом объеме, деленная на величину этого объема.

 

 

При заданной волновой функции частицы теория дает ответ и относительно других динамических переменных — импульса, момента импульса, энергии. Но и в этом случае ответы носят вероятностный характер.

Правильный вопрос относительно, например, импульса выглядит так: «Какое значение и с какой вероятностью будет получено при измерении импульса частицы, находящейся в таком-то состоянии?», но не: «Каков импульс частицы в данном состоянии?»

Первый вопрос сформулирован в терминах наблюдаемых величин: при измерении какое-то значение будет получено, и теория должна предсказать результат. Но второй вопрос не таков. В нем предполагается, что частица сама по себе обладает определенным значением импульса, безотносительно к тому, измеряем мы его или нет. Квантовая теория отвергает такую точку зрения (кроме случаев, когда некоторое значение получается с вероятностью, равной единице).

Возможны состояния, при которых могут быть сделаны однозначные предсказания относительно результатов измерения некоторых переменных, т. е. могут быть предсказаны их значения с вероятностью, равной единице. Но это частный случай общего вероятностного характера предсказаний квантовой теории.

Волновая функция частицы, находящейся в заданных условиях, и ее изменение во времени определяются из специального уравнения — уравнения Шредингера, которое в рамках теории постулируется и играет ту же роль, что и второй закон Ньютона в классической механике.

 

 

ДЛИНА ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. Для свободной частицы возможно состояние, в котором ее импульс точно определен, т. е. при измерении импульса мы с вероятностью, равной единице, получим заранее известное значение р. Волновая функция этого состояния соответствует плоской волне, фронт которой — плоскость, ортогональная вектору импульса ṗ. Длина волны определяется импульсом частицы:
 

λ = h/p.
 

Эта величина называется длиной волны де Бройля (по имени физика, первым выдвинувшего гипотезу о том, что частицам присущи волновые свойства).

Волновая функция свободной частицы с импульсом р,  направленным вдоль оси x,  имеет вид  ѱ = C(cos(kx — ωt) + isin(kx - ωt)).  Здесь С — константа. Между частотой и волновым числом имеется связь ω = hk²/2m, где m — масса частицы, h = h/2π, к = p/h, h — постоянная Планка. Это уравнение плоской волны, бегущей вдоль оси х.

Теперь можно понять результат эксперимента с частицами, проходящими через экран со щелями (см. Волновые свойства частиц).

Состояние частиц, падающих на экран со щелями от удаленного источника, задается волновой функцией в виде плоской волны, длина которой определяется импульсом частицы.

Вторичные волны ѱ₁, ѱ₂ исходящие из обеих щелей, складываются в плоскости экрана, на котором регистрируются попадания частиц. Значения этих функций в разных точках экрана дают амплитуду вероятности попадания в эти точки частиц, прошедших через первую и вторую щели соответственно.

Если в принципе нельзя определить, через какую щель проходит частица, результирующая амплитуда равна сумме амплитуд: ѱ = ѱ₁ + ѱ₂. В некоторые точки экрана эти волны приходят в противофазе, и в них значения функции минимальны, в другие — в фазе, и в них значения функции максимальны.

Квадрат модуля волновой функции |ѱ|² в точках экрана определяет вероятность попадания в эти точки частиц и, следовательно, их число.

Если же есть возможность определить, через какую щель проходит частица (имеются специальные устройства для этого), вторичные волны становятся некогерентными, и складываются не амплитуды, а вероятности, и результирующая вероятность определяется суммой |ѱ₁|² + |ѱ₁|².

Длина волны де Бройля дает масштаб, позволяющий определить область применимости классической механики. Если величина h/p для частицы много меньше характерных размеров области, в которой движется частица, применима классическая механика. Например, длина волны для электрона, движущегося в телевизионной трубке от катода к экрану, много меньше размеров трубки, и расчет траектории электронов может проводиться в рамках классической механики. (Квантовая механика переходит в классическую в области применимости последней.)

 

 

СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИЙ. Вероятностный характер предсказаний квантовой механики заставил по-новому взглянуть на проблему детерминизма. Классическая физика исходила из представления о том, что состояние мира в настоящий момент определяет его состояние в следующий, так что будущее полностью детерминировано (предопределено). С таким детерминизмом связаны трудности философского порядка, он, в частности, противоречит представлениям о свободе воли человека. Это сложная проблема, и квантовая теория осветила ее с неожиданной стороны.

Волновые свойства присущи не только каким-то специальным частицам микромира. Это свойство всех частиц. Летящая пуля также обладает волновыми свойствами. Но соответствующая пуле длина волны настолько мала, что ее волновые свойства практически не проявляются (длины волн света также сравнительно малы, и волновые свойства света долго не обнаруживались).
Структура уравнения Шредингера, из которого находится волновая функция, такова, что, если две функции ѱ₁, ѱ₂ удовлетворяют уравнению, их линейная суперпозиция, т. е. функция вида a₁ѱ₁ + a₂ѱ₂ где а₁, a₂ - константы, также удовлетворяет уравнению и представляет, таким образом, возможное состояние частицы. Это математический факт. Но его физическим следствием является одно из самых поразительных свойств квантовомеханических систем: состояние системы может быть суперпозицией двух или вообще любого числа других состояний.

Что это означает физически?

Одно из решений уравнения Шредингера для свободной частицы — волновая функция в виде плоской волны с определенной частотой (см. Длина волны де Бройля). В этом состоянии измерение импульса частицы с вероятностью, равной единице, даст величину р = h/λ.
 

 

Состояние частицы, в наибольшей степени соответствующее представлениям классической механики, задается волновым пакетом — волновым образованием, локализованным в ограниченной области пространства.

 

 

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ можно представить как результат наложения большого числа плоских волн с различными длинами. Это состояние характеризуется средним значением импульса частицы, причем скорость, с которой движется пакет, связана с этим значением так же, как связаны скорость и импульс частицы в классической механике. Суперпозиция состояний с различными импульсами может дать состояние, в котором волновая функция частицы будет отлична от нуля в ограниченной области пространства. Размеры этой области будут соответствовать неопределенностям координат частицы, а при измерении импульса с соответствующими вероятностями будут получаться различные значения импульса. Отсюда чисто математически можно вывести соотношения неопределенностей.

Волновой пакет в наибольшей степени соответствует классическому представлению о частице. Это более или менее локализованное в пространстве образование, для которого функция |ѱ|² (плотность вероятности) отлична от нуля в ограниченной области пространства, перемещающейся в пространстве с некоторой скоростью. Если определить среднее значение импульса частицы (ṗ) в рассматриваемом состоянии, то окажется, что волновой пакет движется в пространстве со скоростью

 

ѷ = <ṗ>/m

 

Так перебрасывается мостик от квантовой механики к классической. Макроскопической частице соответствует хорошо локализованный волновой пакет, движущийся по законам классической механики. Размеры этого пакета много меньше характерных размеров рассматриваемых механических систем, и волновые свойства частиц не проявляются.

Если мы измерим координату центра масс пули массой 10 г с точностью ∆х ~ 10^-6 м (для пули это очень высокая точность!), то для неопределенности в ее скорости будем иметь:

 

 

Это ограничение на точность измерения скорости пули, даваемое квантовой механикой. Ясно, что ни в каких мыслимых реальных условиях это ограничение не проявится.

 

 

РАСПЛЫВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА. Состояние свободной частицы, задаваемое волновым пакетом, более или менее соответствует представлению о частице в классической механике. Есть, однако, обстоятельство, которое несколько портит картину: волновой пакет расплывается. Фазовая скорость волны, определяющей состояние с импульсом р, равна

 

 

и, как видим, зависит от к (т. е. от длины волны). Синусоидальные волны со специально подобранными амплитудами и фазами в начальный момент формируют волновой пакет определенного профиля. Но далее, с течением времени, за счет того что волны с разными длинами движутся с разными скоростями, волновой пакет начинает деформироваться. Он расплывается, подобно тому как группа бегунов на длинную дистанцию, стартуя компактной массой, растягивается постепенно в длинную цепочку.

Расплывание пакета приводит к увеличению неопределенности координат, что не означает, однако, уменьшения неопределенности импульса. Соотношения неопределенностей задают минимальные значения неопределенностей, которые реализуются при специальной организации пакета. Скорость расплывания пакета можно оценить следующим образом. Разность скоростей самой быстрой и самой медленной волны порядка где ∆x₀ — начальная ширина пакета. К моменту времени t ширина пакета будет порядка

Для макроскопических частиц это расплывание пакета не приводит к наблюдаемым последствиям, но в атомных масштабах оно может быть существенным. (Легко сосчитать, что если в начальный момент пуля массой 10 г описывается пакетом шириной 10^-6 м, то он расплывется до ширины 1 мм за время 10²³ с, что на несколько порядков превосходит возраст Вселенной.)
 

 

Спин — собственный момент импульса частицы — это вектор в обычном трехмерном пространстве. В рамках теории спиновое состояние частицы представляется вектором в абстрактном двумерном пространстве, а компонентам вектора спина соответствуют линейные операторы (матрицы) в этом пространстве.

 

 

СПИНОВОЕ СОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА представляется вектором в абстрактном пространстве, а проекции спина на ось z должен соответствовать оператор в этом пространстве. Нам нужно задать вектор состояния и найти оператор. Чтобы избавиться от лишнего множителя, введем новую переменную.

 

Положим,   š = ħ/2ỡ.

 

Тогда значениям s_z = ±ħ/2 будут соответствовать значения ỡ_z = ±1.  Новую переменную по-прежнему будем называть спином.

Итак, переменная  ỡ_z квантуется и принимает всего два значения. Этим значениям соответствуют два собственных вектора ее оператора ỡ_z, которые мы обозначим |↑〉, |↓〉. Таким образом:

 

                                                           (1)

 

То, что собственных вектора только два, означает, что пространство, в котором «живет» вектор состояния спина, двумерно, и мы знаем, как работать в этом пространстве (см. Векторы и операторы в двумерном пространстве]. Припишем нашим векторам компоненты следующим образом:

 

 

Это соответствует тому, что мы выбрали указанные векторы в качестве базисных в рассматриваемом пространстве. Необходимые условия, как легко проверить, выполняются:

 

 

т. е. модуль этих векторов равен единице и они ортогональны.

Теперь нам надо найти матрицу оператора ỡ_z. Положим,

 

Запишем равенства (1) в матричной форме:

 

 

Раскрыв эти равенства, получим:

 

 

Таким образом, а = 1, Ь = с = 0, d = -1.

Мы нашли матрицу оператора ỡ_z. И знаем два вектора состояния, отвечающие в реальном пространстве спину, ориентированному вдоль оси z и против оси z.

 

 

Произвольному спиновому состоянию |s〉 будет соответствовать суперпозиция этих состояний:

 

 

при этом должно быть:

 

                                                                               (2)

 

Если электрон находится в этом состоянии, то при измерении проекции спина на ось z (с помощью установки Штерна — Герлаха) с вероятностью |а₁|² получим значение +1 (электрон отклонится вверх) и с вероятностью |а₂|² получим значение -1 (электрон отклонится вниз). При этом среднее значение проекции на ось z, вычисляемое по формуле (ỡ_z) = (s|ỡ_z|s), окажется равным

                                                                             (3)

 

Если состояние |s〉 соответствует спину, ориентированному под углом θ к оси z в реальном пространстве, то следует ожидать, что среднее значение проекции спина на ось z будет равно

 

                                                                                       (4)

 

Из равенств (2) — (4) находим:

 

                                                                          (5)

 

Это решение проблемы.

Если один пучок электронов, вышедший из установки Штерна — Герлаха со спинами, ориентированными вдоль оси z, пропустить через вторую установку, с магнитным полем под углом θ к оси z, то он снова расщепится на два пучка, интенсивность которых будет пропорциональна cos²θ/2 и sin²θ/2. Если θ = π/2, т. е. спин ориентирован поперек поля (и в этом случае поток классических частиц вообще бы не отклонялся), пучок электронов снова расщепится на два c одинаковой интенсивностью!
 

 

Повторяющиеся процессы определяют нашу жизнь. Зима сменяет лето, день сменяет ночь, вдох сменяет выдох. Бежит время, и его мы тоже отмеряем повторяющимися процессами. Повторяющиеся процессы и есть колебания.

 

 

КОЛЕБАНИЯМИ НАЗЫВАЮТСЯ повторяющиеся во времени изменения физической величины. Если эти изменения повторяются через определенный интервал времени, то колебания называются «периодическими». Наименьший интервал времени Т, через который повторяются значения физической величины A(t), называется периодом ее колебаний A(t + Т) = A(t). Число колебаний в единицу времени v называется частотой колебаний. Частота колебаний и период связаны соотношением v = 1/Т.

Колебания системы, которые совершаются в отсутствие внешнего воздействия, называются свободными. Для возбуждения колебаний необходимо внешнее воздействие. Системе извне сообщается запас энергии, за счет которой и происходят колебания. Это внешнее воздействие выводит систему из положения равновесия, и в дальнейшем она совершает движение около положения равновесия, уходя и возвращаясь к нему, по инерции проскакивая его. И так повторяется раз за разом. Движение в данном контексте означает изменение состояния. В механических системах это может быть перемещение в пространстве или изменение давления, в электрических — изменение величины заряда или напряженности поля. Существует бесконечное множество различных движений и соответствующих им колебательных процессов.

Если амплитуда колебаний не меняется во времени, гармонические колебания называются незатухающими. Дифференциальное уравнение, описывающее гармонические незатухающие колебания, имеет вид:

 

 

Производную по времени в физике принято обозначать точкой над дифференцируемой функцией. Тогда уравнение записывается:

 

 

Если амплитуда уменьшается с течением времени, колебания называются затухающими. Часто встречающийся пример затухающих колебаний — колебания, в которых амплитуда уменьшается по закону A₀(t) = a₀e^-βt. Коэффициент затухания β > 0.

 

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. Тело совершает гармонические колебания, если действующая на него результирующая сила Ḟ_возвр пропорциональна смещению из положения равновесия г и все время стремится вернуть его в это положение: Ḟ_возвр = -kř.

При этом потенциальная энергия тела равна U = кг²/2. Тогда второй закон Ньютона для тела массой m будет иметь вид: mř = -kř, или ř + ω₀²ř = 0, откуда следует, что тело совершает гармонические колебания с частотой

 

 

Закон движения тела запишется так: ř (t) = ř₀sinω₀ + φ₀). Амплитуда ř и начальная фаза определяются начальными условиями, т. е. тем, как возбуждались колебания. Скорость и ускорение тела также меняются по гармоническому закону

 

 

Амплитуда скорости:

 

 

 

а амплитуда ускорения:

ā₀ = ω₀²ř₀.
 

Коэффициент k возвращающей силы различен для разных систем, например: для подвешенного на пружине шарика k — жесткость пружины, а для плавающего «торчком» в водоеме бревна k = pgS, где р — плотность воды, g — ускорение свободного падения, S — площадь сечения бревна. Для тонкого поршня, разделяющего в горизонтальном сосуде на две равные части газ массой М и молярной массой m, k = 4MRT/μI2, где R — универсальная газовая постоянная, I — длина сосуда, а Т — температура газа, которая остается постоянной в процессе колебаний поршня. Приведенные примеры имеют существенные различия. Бревно при любых отклонениях от положения равновесия будет совершать гармонические колебания. Колебания шарика на пружине будут гармоническими до тех пор, пока выполняется закон Гука. А колебания поршня в сосуде близки к гармоническим только при малых колебаниях поршня, когда его смещение от положения равновесия много меньше длины сосуда. Вообще, ни при какой амплитуде колебания поршня не описываются синусоидой. Точно так же, только приближенно, гармоническими можно считать малые колебания маятника. Математический маятник — это маленький грузик, подвешенный на нерастяжимой невесомой нити, длина I которой много больше размеров грузика. Маятник совершает колебания в поле тяжести. Точное уравнение движения для угла φ отклонения нити маятника от вертикали имеет вид:

 

 

и только при φ << 1 (φ измеряется в радианах) оно переходит в уравнение гармонических колебаний

В рассмотренных примерах считалось, что колеблющееся тело не испытывает сопротивления со стороны среды, в которой происходят колебания.

 

 

 

Если на колеблющееся тело действует сила трения, пропорциональная скорости Ḟ_тр = -аř (вязкое трение), тело будет совершать затухающие гармонические колебания с коэффициентом затухания β = а/2m. При этом амплитуда колебаний будет уменьшаться бесконечно долго по экспоненциальному закону. Если же действует постоянная сила трения Ḟ_тр, то амплитуда колебаний будет убывать, уменьшаясь на Δr₀ = 4Ḟтр/k за каждый период. Колебания в этом случае прекратятся через конечное время, как только отклонение в крайней точке окажется меньше, чем Ḟ_тр/k.

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. Простейший контур, в котором происходят электромагнитные колебания, состоит из конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L (рис. а). По гармоническому закону с частотой изменяются все характеристики процессов, протекающих в контуре, — заряд на обкладках конденсатора q, сила тока в цепи I, разность потенциалов на зажимах конденсатора (катушки) Δφ, напряженность электрического поля в конденсаторе Ӗ, индукция магнитного поля в катушке Ḃ и т. д. Однако колебания в контуре будут гармоническими только при условии, что характеристики контура С и L не зависят от величины протекающего в нем тока. Это условие выполняется при малых колебаниях. Если в контур включить постоянное сопротивление R, то колебания будут затухающими. Коэффициент затухания β = R/2L (рис. b). Любые колебания сопровождаются переходом энергии из одного вида в другой, при этом колебания энергии происходят с частотой, вдвое превышающей собственную частоту колебательной системы.

В незатухающих механических колебаниях положение равновесия тело проходит с наибольшей скоростью, кинетическая энергия W в эти моменты максимальна, а потенциальная и — минимальна. В крайних положениях, при наибольшем смещении от положения равновесия, скорость тела и соответственно кинетическая энергия равны нулю, а потенциальная энергия достигает максимального значения. В электромагнитных колебаниях энергия системы попеременно переходит из электрической Е_эл в магнитную Е_магн, Так, в простейшем колебательном контуре в моменты, когда ток обращается в нуль, вся энергия запасена в электрическом поле в конденсаторе, а тогда, когда ток максимален, энергия системы сосредоточена в магнитном поле в катушке. При этом полная энергия Е системы, совершающей незатухающие колебания, остается неизменной. Поэтому реальные колебания всегда с течением времени затухают.
 

 

Вынужденные колебания происходят в системе, которую «раз за разом подталкивают», не позволяя ей остановиться в положении равновесия. При этом система колеблется с частотой «вынуждающих» толчков, но постоянно от них «отстает». Энергия, поступающая в систему «при толчках», затрачивается на преодоление сопротивления. Однако, если сопротивление мало, а частота «толчков» подходящая, система может подвергнуться разрушению. Такая катастрофа называется резонансом.

 

 

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ - это колебания, вызываемые периодическим внешним воздействием на систему, при которых собственные параметры ω₀ и β колебательной системы не меняются (см. Свободные колебания). В чистом виде вынужденные колебания возможны только в линейных системах, параметры которых не зависят от величины внешнего воздействия. Это идеализированный случай, в природе таких систем нет. Но системы, совершающие малые колебания в окрестности положения равновесия, часто можно рассматривать как линейные. Все примеры, приведенные в статье «Свободные колебания», относятся к таким системам. Вынужденные колебания физической величины А описываются уравнением Ā + 2βА + ω₀²А = f(t), здесь функция f(t) как раз и описывает внешнее воздействие. Поскольку в линейных системах справедлив принцип суперпозиции, вынужденные колебания A(t) можно представить как суперпозицию собственных свободных затухающих колебаний A₁(t) = a₀e — βisin(ωt + φ₀) и установившихся вынужденных колебаний A₂(t): A(t) = A₁(t) + A₂(t). Установившимися колебания называют потому, что с течением времени вклад затухающих колебаний A1(t) станет пренебрежимо мал и останутся только колебания A₂(t). Наибольший интерес представляет гармоническое внешнее воздействие f(t) = f₀SinΩt. При этом установившиеся колебания тоже являются гармоническими, их частота равна частоте вынуждающего воздействия Ω, и они сдвинуты относительно него по фазе на ψ: А₂(t) = A₀Sin(Ωt + ψ), где tgψ = 2βΩ / (Ω² - ψ₀²) (cм. рис. b). Амплитуда вынужденных колебаний:

 

 

Из этого выражения следует, что при частоте вынуждающего воздействия амплитуда вынужденных колебаний максимальна и равна

 

 

При приближении частоты вынуждающего воздействия к резонансной частоте Ω_рез «отклик» системы на внешнее воздействие резко возрастает. Это явление получило название резонанса.

В системах с маленьким затуханием (β << ω₀) резонансная частота практически совпадает с собственной частотой колебательной системы ω₀, а амплитуда колебаний имеет особенно острый пик. В идеализированных системах, в которых не происходит потерь энергии (β = 0), резонансная частота равна собственной частоте системы: Ω_рез = ω₀, а амплитуда при приближении к резонансу стремится к бесконечности.

 

 

ДОБРОТНОСТЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Q = Ω_рез/ΔΩ, где ΔΩ — ширина резонансной кривой на уровне Добротность характеризует резонансные свойства системы — при большой добротности резонансная кривая имеет острый пик, при малой добротности резонансный максимум достаточно пологий. Поэтому добротность определяет избирательную и разрешающую способности колебательной системы — они тем выше, чем больше добротность.

Если система испытывает одновременно два воздействия со сравнимыми по величине амплитудами и с частотами ω₁ и ω₂, близкими к резонансной частоте Ω_рез, то разрешить их, т. е. среагировать на одно гораздо сильнее, чем на другое, система сможет, если |ω₁ - ω₂| х ΔΩ = Ω_рез/Q. Отсюда видно, что чем больше Q, тем более близкие частоты может разрешить колебательная система.
 

 

Если спросить: «Что такое параметрический резонанс?» — подавляющее большинство ответит: «Не знаю». Но если спросить: «Умеете ли вы раскачиваться на качелях?» — каждый уверенно скажет: «Конечно, умею». И лишь немногие, сказав «умею», смогут добавить: «Это очень просто, нужно лишь с правильной частотой изменять положение центра масс системы «я и качели». Те, кто так скажет, знают, что такое параметрический резонанс.

 

 

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ — это колебания, вызываемые изменением в результате внешнего воздействия параметров ω₀ и β колебательной системы. При изменении этих параметров внешняя сила совершает работу, а значит, меняется энергия колебательной системы. Меняется также и частота колебаний. Различают резонансные и нерезонансные параметрические колебания. При резонансных параметрических колебаниях параметры системы меняются периодически. Если вкладываемая энергия превосходит потери энергии, колебания в системе будут нарастать. Вложение энергии (накачка) может происходить один или несколько раз за период колебаний. Если частота вложений Ω связана с собственной частотой колебаний системы ω соотношением Ω = 2ω/n = Ωn_рез, где n = 1, 2, 3... , может произойти резкое увеличение амплитуды колебаний, система начнет «раскачиваться». Это явление называется параметрическим резонансом.

Наиболее быстро раскачка системы происходит, когда частота накачки энергии равна частоте колебаний энергии в системе: Ω = 2ω (п = 1). Быстрое увеличение амплитуды колебаний происходит не только при частоте накачки Ω, точно равной одной из резонансных частот Ωn_рез, но и при частотах Ω, лежащих в некоторой окрестности рез, называемой зоной неустойчивости. Ширина зоны неустойчивости тем больше, чем больше изменение параметров колебаний. Периодическое изменение любого параметра колебаний р (это может быть длина маятника, емкость конденсатора, упругость пружины, индуктивность и т. д.) характеризуют глубиной модуляции параметра m = (P_max - Р_min)/(Р_max + P_min), где P_max и P_min — максимальное и минимальное значения параметра р. Параметрический резонанс возможен при определенном соотношении частот Ω и ω, и только в том случае, если m превышает некоторое пороговое значение. Эти условия и определяют границы зон неустойчивости.

 

 

В зонах неустойчивости происходит нарастание малых начальных возмущений, например флуктуаций, которые всегда присутствуют в любых системах. Увеличение амплитуды при параметрическом резонансе не может продолжаться до бесконечности. При некоторой амплитуде колебания в системе становятся нелинейными, и нелинейные эффекты приводят к нарушению резонансных условий. Система выходит из зоны неустойчивости. Наступает равновесие, при котором параметрическая накачка энергии компенсирует ее потери. Но параметрическое возбуждение колебаний возможно только при изменении так называемых энергоемких (или реактивных) параметров, характеризующих те элементы колебательной системы, в которых сосредоточивается энергия колебаний. Параметрические колебания физической величины А описываются уравнением Ā + 2β(t)Ā + ω²₀(t)A = 0. Общий анализ решения таких уравнений достаточно сложен, поэтому приведем основные особенности решений для частного случая, описываемого уравнением Ā + 2βĀ + ω²₀(1 + mcosΩt)A = 0, где β и ω₀ - постоянные параметры. В консервативных системах параметрический резонанс может возникнуть при любых, даже ничтожно малых, изменениях параметров, вершины зон неустойчивости лежат на прямой m = 0. В неконсервативных системах вершины зон неустойчивости лежат на прямой m = 4βω/Ω, поэтому при достаточно малых изменениях параметров системы параметрический резонанс не возникает ни при какой частоте изменения параметров.

Это связано с тем, что потери энергии в системе превышают ее энергетическую подпитку.

 

 

Если колебательную систему вывести из положения равновесия и отпустить, в ней возникнут собственные колебания, которые с течением времени прекратятся. Но если эту же систему вывести из положения равновесия и помешать ей в него вернуться, то в системе могут возникнуть автоколебания (но нужно знать, как это сделать). Так звучит струна, когда по ней ведут смычком.

 

 

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ удивительны тем, что периодические движения в них возникают при непериодическом внешнем воздействии. Автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Они постоянно теряют энергию, но у них есть канал обратной связи с источником энергии, который постоянно же и восполняет потерянную энергию. Поэтому автоколебания могут продолжаться очень долго.

При автоколебаниях раскачка колебательной системы происходит без внешнего периодического воздействия. Когда смычком ведут по струне, на нее действует постоянная сила трения. Но струна при этом не просто оттягивается, как, казалось бы, должно было происходить под действием направленной в одну сторону силы. Струна звучит потому, что она начинает колебаться, в ней возникают автоколебания. Автоколебания происходят в неконсервативных нелинейных системах, т. е. в системах, в которых имеются потери энергии и параметры которых меняются при изменении амплитуды колебаний. Эти особенности колебательной системы обеспечивают возможность протекания в ней стационарных автоколебаний. При автоколебаниях за счет работы внешней силы в систему подводится энергия. Если подвод энергии превышает ее потери, колебательная система начинает раскачиваться. Но за счет нелинейности системы ее параметры изменяются, а значит, изменяется и теряемая за период энергия. Раскачка происходит до тех пор, пока подводимая и теряемая системой энергии не окажутся равными. Если достигнутый баланс энергии сохраняется, в системе наблюдаются стационарные автоколебания. И это будет протекать до тех пор, пока сохраняется равенство потоков энергии. Чтобы определить, является ли режим автоколебаний устойчивым, нужно сравнить рост оттока и притока энергии в систему при увеличении амплитуды колебаний. Если в окрестности стационарного режима количество энергии  ΔE_потерь, теряемое системой за период, повышается с ростом амплитуды колебаний быстрее, чем количество энергии АE_{накачки}, получаемой системой за период, то автоколебания будут устойчивыми. Это необходимое, но не достаточное условие устойчивости автоколебаний. Если при раскачке системы потери растут медленнее, чем приток энергии, автоколебания будут неустойчивыми. В колебательных системах, в которых теряемая (и соответственно восполняемая) за период энергия составляет малую часть всей энергии, автоколебания будут близки к гармоническим, а их частота — к собственной частоте колебательной системы. При больших потерях и притоках энергии форма автоколебаний может сильно отличаться от гармонической, а частота отдаляться от собственной частоты колебательной системы.

 

 

Простым примером автоколебательной системы является маятник, насаженный на быстро вращающийся вал.

Самая распространенная автоколебательная система — часы. В самых простых часах источником энергии, поддерживающей автоколебания, является поднятая гиря или заведенная пружина.

 

 

Волны окружают нас повсюду. Они передают различные возмущения, распространяются в различных средах, генерируются разными источниками. Однако все они обладают целым рядом одинаковых свойств — бегущие волны переносят энергию и импульс, гармонические волны любой природы описываются одинаковыми уравнениями и т. д. Но самое главное, волны, если они «неправильные», передают информацию.

 

 

ВОЛНА (ИЛИ БЕГУЩАЯ ВОЛНА) — это распространение возмущений в пространстве. В разных волнах «возмущение» представляет собой совершенно разные процессы. В звуковых волнах это изменения давления и плотности, вызванные колебаниями молекул среды, в электромагнитных — взаимосвязанные изменения напряженностей электрического и магнитного полей, в гравитационных — изменение геометрических свойств пространства-времени. В волнах на воде возмущение сводится к движению водной поверхности, обусловленному колебаниями частиц воды. Волны могут распространяться в вакууме и в различных средах. Сами среды также довольно разнообразны. Звуковые волны могут распространяться и в жидкостях, и в твердых телах, и в газах. Элементами этих сред являются атомы и молекулы. Если рассматриваются волны на воде или песчаные волны, то в качестве элементов среды выступают частицы воды или песка. Транспортные волны возникают в сплошных потоках машин, соответственно элементы среды — машины. Волны гриппа распространяются в человеческом сообществе, и элементами среды в этом случае являются люди. Обязательное условие распространения волны — наличие связей между возмущениями в соседних областях пространства. Если оттянуть участок струны, то благодаря силам упругости колебания возникнут не только в отведенных от положения равновесия участках струны, но и в соседних, и дальше в колебание последовательно будут вовлекаться все новые участки струны, т. е. по струне побежит упругая волна. При распространении электромагнитных волн изменение напряженности электрического поля в некоторой области пространства вызывает появление в ее окрестности магнитного поля, и наоборот. Во время эпидемии гриппа больной, чихнувший в трамвае, заражает вокруг себя несколько пассажиров, которые потом так же заражают своих близких, а те — сослуживцев, и волна гриппа начинает лавинообразно нарастать.

Геометрическое место точек, до которых дошли возмущения к рассматриваемому моменту времени, называется фронтом волны. Волны часто имеют название соответственно форме фронтальной поверхности. Если она плоская, то и волну называют плоской, если сферическая, то и волну называют сферической. В неоднородных средах возможны волны с очень разной геометрической формой фронта. Различные волновые движения могут описываться одинаковыми математическими уравнениями. Это отражает сходный характер протекания волновых процессов, хотя их физическая природа может быть совершенно различной. Одни и те же телеграфные уравнения (это их историческое название) описывают распространение и звуковых, и электромагнитных волн. Но в первом случае они определяют, например, давление и скорость течения жидкой или газообразной среды, а во втором — напряженности электрического и магнитного полей. В зависимости от характера распространения возмущений изменяется вид описывающих волну уравнений. Для сложных движений они могут быть очень сложными. Проще всего написать уравнение плоской волны.

 

 

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ. Предположим, что одномерная плоская волна распространяется от источника без затухания и без рассеяния. «Одномерная» — означает, что если волна распространяется вдоль оси х, то возмущение в любой точке пространства, охваченного волной, зависит только от одной пространственной координаты х, при этом фронтальная плоскость перпендикулярна оси х «Без затухания и без рассеяния» — означает, что в любой момент времени возмущение на фронтальной плоскости в точности повторяет начальное или возмущение на фронте в любой предшествующий момент, т. е. оно не искажается. Если возмущение в источнике описывается функцией f(t), то возмущение в точке, отстоящей от источника на расстоянии х в момент времени t, такое же, как было в источнике, но на время τ раньше, τ = x/v — время распространения волны от источника до точки наблюдения, v — скорость распространения волны: f(x, t) = f(x = 0, t - τ) = f (t - x/v). Если источник поместить на плоскости х = 0, то в полученном уравнении волны х — координата точки пространства, в которой в момент времени t возмущение, вызванное волной, распространяющейся в положительном направлении оси х, равно f (х, t). Тогда уравнение волны, бегущей в противоположном направлении, имеет вид: f (х, t) = f (t + x/v).

 

 

СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника в однородной среде со скоростью v, описывается уравнением f(t - τ/v)/r. Здесь f(r, t) — возмущение в момент времени t в точке, отстоящей на расстояние г от источника, а f(t) — функция, описывающая возмущение в источнике.

 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. Если возмущение в источнике описывается гармонической функцией f(t) = f₀ sin(ωt + φ), то уравнение плоской синусоидальной волны, бегущей в положительном направлении оси х, имеет вид: f(х, t) = f₀sin(ωt - kx +φ).

Величина k = ω/v называется волновым числом. ω — циклическая частота, f₀ — амплитуда волны. Если возмущение описывается векторной функцией ḟ, то и амплитуда волны ḟ₀ тоже вектор. В общем случае в плоской волне, распространяющейся в направлении, задаваемом вектором ƙ, возмущение в точке пространства, задаваемой радиус-вектором ř, в момент времени t дается выражением: f(ř, t) = f₀sin(ωt - ƙ х ř + φ).

Вектор ƙ называют волновым вектором, его модуль равен волновому числу: |ƙ| = k. Наименьший интервал времени Т, через который повторяется значение величины f в точке наблюдения, называется периодом волны: Т = 2π/ω. Наименьшее расстояние λ между двумя точками на прямой, параллельной вектору ƙ , в которых значение величины а одинаково в любой момент времени, называется длиной волны, λ = 2π/k. Очевидно, что λ — это то расстояние, которое проходит волна за период, т. е. λ = vT.

Сферическая гармоническая волна описывается уравнением: f(ř, t) = f0 x sin(ωt - k х г + φ)/τ.

Названия и формулы для величин ω, k, T, λ такие же, как и в случае плоских волн.

Выражение, стоящее под знаком синуса в уравнении плоской или сферической волны, называется фазой волны. Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний величины f одинакова, называется фазовой или волновой поверхностью. Если волна распространяется в однородной среде, то формы фазовой и фронтальной поверхностей совпадают. Скорость движения поверхности равной фазы называется фазовой скоростью волны. В плоской волне любая поверхность равной фазы, задаваемая уравнением φ(ř, t₁) = φt - ƙ x ř + φ = const, есть плоскость, перпендикулярная вектору ƙ. Она движется со скоростью v_ф = ω/k в направлении распространения волны, т. е. фазовая скорость — это та величина, которую раньше мы назвали просто скоростью распространения волны. Уравнение фазовой поверхности для сферической волны имеет вид: φ(г, t₁) = ωt - kr + φ = const. Это уравнение расширяющейся сферы, причем скорость расширения ř = v_ф = ω/k.

 

 

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН. Любая волна может быть зафиксирована с помощью соответствующего регистрирующего прибора. Такой прибор должен определять различные характеристики колебательных процессов, происходящих в волне. Для электромагнитной волны это векторы напряженностей электрического и магнитного полей (Ӗ и Ȟ), для упругой волны — смещения и скорости колеблющихся точек и т. д. Если показания регистрирующего прибора не изменяются при его повороте вокруг направления распространения волны, задаваемого вектором ƙ , то говорят, что волна неполяризована, в противном случае волна называется поляризованной. В волнах с продольной поляризацией колебания физических величин происходят вдоль направления распространения волны, в волнах с поперечной поляризацией — в направлениях, перпендикулярных вектору ƙ. Электромагнитные волны в вакууме всегда поперечные, в них Ӗ ⏊ ƙ и Ȟ ⏊ ƙ . Звуковые волны могут быть как продольно-, так и поперечно-поляризованными, частицы среды, в которой распространяется звук, могут колебаться и вдоль, и поперек направления движения волны.

Среди поперечных выделяются линейно-, циркулярно- и эллиптически-поляризованные волны (хотя возможны и другие виды поляризаций). В волнах с линейной поляризацией изменяющаяся величина во всех точках колеблется все время вдоль одного направления (такие волны также называют плоскополяризованными). Например, в плоскополяризованной электромагнитной волне в каждый момент времени векторы Ӗ(Ȟ) везде параллельны или антипараллельны. А вот в любой фиксированной точке волны с циркулярной (круговой) или эллиптической поляризацией вектор Ӗ(Ȟ) равномерно вращается вокруг направления распространения, причем его «конец» описывает окружность или эллипс соответственно. Волны с круговой и эллиптической поляризацией можно представить как суперпозицию двух волн, линейно-поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и сдвинутых по фазе на π/2. При этом амплитуды складывающихся волн в случае круговой поляризации одинаковы по величине, а в случае эллиптической — нет.

 

 

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ образуются при наложении двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Все, наверное, видели стоячие волны в гитарных струнах. Когда в каком-либо месте оттягивают и отпускают струну, в разные стороны начинают разбегаться упругие поперечные волны, которые затем отражаются от концов струны и, накладываясь друг на друга, образуют стоячие волны (если при распространении и отражении нет затухания). Как это происходит? При сложении двух синусоидальных волн с одинаковыми частотой и амплитудой, но распространяющихся в разных направлениях оси x, получаем возмущение, которое описывается функцией

 

F(x, t) = f₀ sin(ωt - kx + φ₁) + f₀ sin (ωt + kx + φ₂) = 2f₀cos(kx + (φ₂ - φ₁)/2) + (φ₁ + φ₂)/2).
 

Это и есть уравнение стоячей волны. В каждой точке стоячей волны колебания осуществляются по гармоническому закону:

 

F(x, t) = F₀ sin (ωt + (φ₁ + φ₂)/2.

 

Амплитуда колебаний |F₀| = 2f₀ |cos |kx + (φ₂ - φ₁)/2)| зависит от координаты x. В точках, где kх + Δφ/2 = (n + 1/2) ∏ (n — целое число, Δφ = φ₁ - φ₂): амплитуда F₀ = 0. Такие точки называют узлами стоячей волны, колебания в них отсутствуют. Точки, для которых амплитуда колебаний |F₀| = 2f₀ максимальна, называют пучностями стоячей волны. Расстояние Δх между соседними узлами (или соседними пучностями) равно половине длины бегущих волн, из которых образовалась стоячая волна: Δх = ∏/k = λ/2.

В точках между двумя соседними узлами колебания происходят в одинаковой фазе, а амплитуда изменяется от нуля до максимума (в пучности, которая расположена посередине между узлами) и опять до нуля.

При переходе через узел фаза колебаний изменяется на ∏, так как меняется знак F₀. В стоячей волне возмущение среды обращается в нуль одновременно во всех точках, и одновременно во всех точках возмущение достигает максимального по величине значения. Так, звучащая струна через каждый полупериод выпрямляется, а через четверть периода после выпрямления принимает «наиболее изогнутую» форму.

 

 

ДИСПЕРСИЯ. Строго говоря, гармонические волны могут распространяться только в линейных средах, параметры которых не зависят от амплитуды происходящих в них колебаний. Свойства такой среды полностью определяются дисперсионным уравнением ω = ω(k).

В изотропных средах, свойства которых одинаковы вдоль всех направлений, ω = ω(k). Если зависимость частоты от волнового числа нелинейная: ω ≠ uk, то фазовая скорость волны зависит от частоты (и соответственно от длины волны), — это явление и называют дисперсией, а среду, в которой наблюдается дисперсия, называют диспергирующей.

В результате дисперсии любое негармоническое возмущение меняет свою форму в процессе распространения. Скорости распространения гармонических волн с различной частотой в диспергирующих средах разные, а значит, отличаются и показатели преломления этих волн. Это явление используется, например, при разложении белого цвета с помощью преломляющих призм.

 

 

Акустика — учение о звуках, а звук — это волна, распространяющаяся в упругой среде. Звуки различаются по высоте и громкости, тембру и длительности. Звуки бывают мелодичными и визгливыми. Есть «слышимые» и «неслышные» звуки. Все эти особенности звука и являются предметом изучения акустики.

 

 

АКУСТИКА — раздел физики, изучающий процессы возбуждения и распространения упругих волн в различных средах. Но для большинства людей привычно более узкое толкование термина «акустика» — как учения о звуках. Да и само название «акустика» произошло от греч. akustikos — «слуховой». В обыденном понимании звук — это то, что воспринимает человеческое ухо. В научном понимании звук — это распространяющиеся в упругой среде колебания частиц, образующих эту среду. Органы слуха человека воспринимают колебания с частотой от 16 до 16 000 - 20 000 Гц. Но звуки слышат не только люди, но и животные, и даже растения в той или иной степени реагируют на звуки. Диапазон частот, которые слышат животные, гораздо шире того, что воспринимают люди. Звуки с частотой, превышающей верхнюю границу слышимого человеком диапазона, называются ультразвуком, звуки с частотой, меньшей слышимого диапазона, — инфразвуком. Инфразвук хорошо воспринимают рыбы и киты, а ультразвук — летучие мыши, дельфины и собаки. Звуки с частотой v - 10⁹ - 10¹³ Гц носят название «гиперзвук». Гиперзвук соответствует максимально возможной частоте упругих волн в различных средах, а максимальная частота определяется минимальной длиной волны λ_min и скоростью звука: v_зв: v_max = v_зв / v_min. В твердых телах и жидкостях могут распространяться упругие волны, длина которых не меньше удвоенного среднего расстояния между молекулами (атомами, ионами — см. Строение твердого тела и жидкости). В газах могут распространяться упругие волны с длиной, превышающей среднюю длину свободного пробега молекул (атомов, ионов). Используя характерные значения скорости распространения звуковых волн в различных средах, можно получить приведенные выше оценки границ гиперзвука — для газов при нормальных условиях v_max 10⁹ Гц, а для жидких и твердых тел P_max - 10¹² - 10¹³ Гц. Физических ограничений для нижней границы частоты инфразвука не существует, можно говорить об упругих волнах со сколь угодно малой частотой.

 

 

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН. При распространении звуковой волны в воздухе колебания отдельных молекул приводят к последовательному разрежению и сжатию воздуха. Эти процессы происходят достаточно быстро, так что их можно считать адиабатическими, т. е. пренебречь теплообменом. В этом приближении для скорости распространения звуковой волны в воздухе (и в других газах, конечно, тоже) справедливо выражение где у — показатель адиабаты, Ƿ — давление, p — плотность газа, в котором распространяется звуковая волна. Скорость звука в воздухе при нормативных условиях равна 334 м/с. Поэтому в этих условиях звуковым колебаниям, которые воспринимает человеческое ухо, соответствуют звуковые волны, длина которых лежит в интервале от -2 см до -20 м.

 

 

ВОСПРИЯТИЕ ЗВУКА — СЛУХ. Воспринимаемые нами звуки определяются целым рядом характеристик — высотой звука, тембром, громкостью и т. д. Звуки со сплошным спектром частот (являющиеся суперпозицией упругих волн, частоты которых лежат в некотором диапазоне, причем представлен весь непрерывный набор частот из этого диапазона) мы воспринимаем как шум. Напротив, музыкальным звукам соответствуют суперпозиции упругих волн с дискретным спектром, в котором представлены только частоты, кратные некоторой основной частоте. Именно основная частота и определяет высоту слышимого нами звука, а остальной набор частот (обертонов) звукового спектра определяет тембр звука, его окраску. Звуки, в которых мало обертонов, кажутся пустыми, мертвыми. Звуки, в которых представлены обертоны с низкой частотой, воспринимаются как звучные, сочные, «богатый звук». Если в звуке преобладают высшие обертоны (с большой частотой), он кажется металлическим, резким, визгливым. Объективной характеристикой является звуковой спектр.

Ухо человека воспринимает колебания не только в определенной области частот, но и лишь в определенной области интенсивности (см. Бегущие волны). Существует порог слышимости — минимальная интенсивность звуковой волны, которую мы можем «услышать». Порог слышимости различен для разных частот и изменяется в широком диапазоне. Самый низкий порог слышимости 10^-12 Вт/м² при частоте звука -3000 Гц. Но мы не воспринимаем звуки не только малой, но и слишком большой интенсивности. Правда, для большинства людей более привычна такая характеристика звука, как громкость. И все знают, что нельзя услышать очень тихий звук. А если звук слишком громкий (как на некоторых рок-концертах), то мы испытываем боль в ушах. Интенсивность звука, при которой начинают болеть уши, называется порогом болевого ощущения. Он примерно одинаков для всех частот и равен 1 Вт/м². Таким образом, область слухового восприятия лежит в очень широких границах интенсивности звука — от -10^-12 до -1 Вт/м². И в физике, и в технике предпочли работать в более узком числовом диапазоне, используя вместо понятия «интенсивность» понятие «уровень интенсивности», измеряемый в децибелах (дБ) и характеризующий изменение интенсивности звука по сравнению с некоторой эталонной интенсивностью I₀. Определение таково: интенсивности I соответствует изменение уровня интенсивности на 101 g (I/I₀) дБ (гораздо реже используется единица бел (Б), 1Б = 10 дБ). Обычно в качестве эталонной выбирают интенсивность звука на пороге слышимости при частоте v = 1 кГц, а именно I₀ = 10^-12 Bт/м² тогда этой интенсивности соответствует нулевой уровень. Это субъективное понятие. Единицу громкости звука 1 сон определяют как громкость тона с частотой 1 кГц и уровнем звукового давления 40 дБ (относительно 2 x 10^-5 Па). На практике громкость звука принято характеризовать уровнем громкости звука, измеряемым в фонах. Уровень громкости звука с частотой 1 кГц в фонах численно равен уровню звукового давления в децибелах. Вот несколько примеров уровня громкости различных звуков: шум в вагоне метро при большой скорости — 90 - 95 фон, громкий разговор на расстоянии полуметра — 30 - 40 фон, шепот — около 10 фон.

 

 

БИНАУРАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (от лат. bini — «пара, два» и auris — «ухо») — эффект пеленгования, т. е. способность человека (животных) определять направление, откуда пришел звук. Мы можем определять направление на источник звука именно потому, что у нас не одно, а два уха. Человек фиксирует разность времен прихода сигналов к левому и правому уху или разность интенсивностей этих сигналов. При частоте звука менее 1,5 кГц (λ > 20 см) осуществляется «временное распознавание», так как на таких частотах голова человека — «плохой экран», звуковые волны «легко» огибают ее, и разность интенсивностей регистрируемых ушами сигналов мала. При частотах выше 1,5 кГц, когда длина звуковой волны меньше «размера головы слушателя», последняя затеняет сигнал, и разность интенсивностей волн, воспринимаемых левым и правым ухом, становится заметной. В этом случае пеленгование в основном обусловлено интерауральной (междуушной) разностью интенсивностей (временная разность фаз на низких частотах, наоборот, мала) . Направление на источник звука фиксируется по углам в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Последние определяются с гораздо меньшей точностью, чем первые. Короткие звуки пеленгуются точнее длительных. Лучше фиксируются звуковые сигналы с «резким» началом и сигналы, имеющие характерные повторяющиеся моменты. Бинауральный эффект важен для «объемного», стереофонического восприятия звука, например, благодаря этому мы различаем, «где» в оркестре звучит кларнет, а «где» — скрипка.
 

 

Электромагнитное излучение имеет двойственную природу — это и волна, и поток частиц одновременно. Происхождение его также двояко: оно рождается либо при ускоренном движении электрических зарядов, либо в различных переходах квантовых систем. И в нашей жизни электромагнитное излучение выполняет две основные функции — оно переносит информацию и энергию.

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА — это распространяющиеся в пространстве переменные электрические и магнитные поля. Как известно из электродинамики, переменное электрическое поле вызывает появление в окружающем пространстве магнитного, причем линии индукции магнитного поля охватывают линии напряженности электрического поля. В свою очередь, изменение индукции магнитного поля вызывает появление в окружающем пространстве вихревого электрического поля («вихревое поле» означает, что линии напряженности такого поля замкнуты) — «колечко цепляется за колечко и выстраивается волна».

 

 

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА классических электромагнитных волн рассмотрим на примере плоской гармонической волны. Описывающие ее уравнения имеют вид:

 

 

Здесь Ӗ (г, t) и Ḃ (г, t) — соответственно напряженность электрического и индукция магнитного поля в точке пространства, задаваемой радиус-вектором г в момент времени t, к — волновой вектор, определяющий направление распространения электромагнитной волны. Из уравнений Максвелла следует, что векторы Ӗ, Ḃ и ƙ взаимно перпендикулярны и всегда образуют так называемую «правую тройку». Кроме того, величины векторов Ӗ и Ḃ связаны между собой соотношением Ӗ = vḂ.

Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность энергии в плоской гармонической волне:

 

 

а ее среднее значение:

 

 

Плотность потока энергии, переносимой электромагнитной волной, задается вектором Умова — Пойнтинга Ṧ = [Ӗ х Ḧ] [Ḧ — напряженность магнитного поля). В изотропной среде направление переноса энергии совпадает с направлением распространения волны, Ṧ↑↑ƙ. В анизотропной — S может не совпадать по направлению с вектором ƙ. В отсутствие дисперсии энергия переносится волной с фазовой скоростью v, при этом Ṧ = wv. В диспергирующих средах скорость переноса энергии равна групповой скорости и может не совпадать с фазовой скоростью v. Электромагнитные волны поперечны. Для классических волн это следует из взаимной ортогональности векторов Ӗ, Ḃ и ƙ.

 

 

При квантовом описании электромагнитного излучения этот факт проявляется в том, что спин фотона s = 1 может иметь не три проекции на направление своего импульса (как, казалось бы, следует из теории квантования момента импульса), а только две: m_s = ±1. Проекция спина на направление импульса называется спиральностью. Так вот, поперечность электромагнитных волн на квантовом языке выражается фактом отсутствия фотонов с нулевой спиральностью. Последнее утверждение тесно связано с отсутствием у фотона массы покоя. В квантовой электродинамике показывается, что безмассовые частицы обязаны всегда двигаться со скоростью света и не могут иметь нулевую спиральность.

 

Оптика — наука о свете. История ее развития охватывает много веков, на протяжении которых представления о природе света не раз кардинально менялись. Но интерес к изучению световых явлений привел к тому, что оптические исследования положили начало развитию многих современных разделов физики, от электромагнетизма и СТО до квантовой механики и квантовой электродинамики.

 

ОПТИКА ИЗУЧАЕТ СВЕТ и все связанные с ним явления. Свет — это та часть электромагнитного излучения, которая воспринимается глазом человека. Кстати, слово «оптика» (греч. optike) и означает «вижу». «Видим» же мы волны с длиной от -4 х 10^-7 до -7 х 10^-7 м. Таким образом, в спектре электромагнитного излучения оптический диапазон лежит между радиоволнами и рентгеновскими лучами. От радиодиапазона его отделяют инфракрасные лучи, а от рентгеновского — ультрафиолетовые. Такое название они получили из-за своего соседства с красной (длинноволновой) и фиолетовой (коротковолновой) границами видимого спектра.

 

 

ИСТОРИЧЕСКИ ОПТИКА разделяется на геометрическую, физическую и физиологическую. Геометрическая оптика рассматривает распространение света, не интересуясь его природой. Физическая оптика изучает свет как физическое явление. Предметом ее рассмотрения помимо природы света являются процессы его излучения, распространения и взаимодействия с веществом. Физиологическая оптика изучает работу аппарата зрения.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА изучает распространение света в прозрачных средах на основе представлений о световых лучах. Световой луч определяет направление переноса светом энергии. Согласно представлениям геометрической оптики свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Поведение луча на границе раздела двух сред подчиняется законам отражения и преломления.

Закон отражения света от границы раздела двух сред формулируется следующим образом: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к отражающей поверхности, восстановленным в точке падения луча на поверхность, и образуют с ним равные углы. Угол между падающим лучом и перпендикуляром к поверхности называется углом падения ά₁, между отраженным лучом и перпендикуляром — углом отражения ά₁, a₁ = ά₁.

Закон преломления света, описывающий поведение светового луча при переходе из одной среды в другую, формулируется так: падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восстановленным в точку падения, при этом углы ά₁ и ά₂, образованные этими лучами с перпендикуляром, связаны соотношением:

 

 

где n₁ и n₂ — показатели преломления 1-й и 2-й среды соответственно. (Напомним, что показатель преломления показывает, во сколько раз скорость света в среде v отличается от скорости света в вакууме с: v = с/n.)

 

 

 

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ВРЕМЕНИ ФЕРМА. Законы отражения и преломления света были получены опытным путем. Они объясняли, как движется свет, но не объясняли, почему он движется именно так. Первым попытался объяснить это французский математик и физик Пьер де Ферма (в историю науки он вошел как автор самой знаменитой задачи математики, над решением которой более 300 лет бились самые выдающиеся математики мира, — Великой теоремы Ферма). В 1650 г. Ферма высказал предположение о том, что из всех возможных путей, соединяющих две точки, свет выбирает тот, прохождение которого занимает наименьшее время. То, что из принципа Ферма следует закон отражения, очевидно. Пусть луч проходит из точки А в точку С, отражаясь от зеркала в точке В. Построим точку D, симметричную С относительно поверхности зеркала. Тогда при любом положении точки В длины отрезков ВС и BD равны, а значит, и равны длины линий ABC и ABD. Но длина ABD минимальна, если все три точки — А, В и D — лежат на одной прямой, в этом случае и путь луча из точки А в С будет минимален, если он отразится от точке В. Если свет движется с постоянной скоростью, а именно так и происходит в однородной среде, то самый короткий путь требует наименьшего времени для его прохождения. Если же свет переходит через границу раздела двух сред, его скорость меняется, и в этом случае сам короткий путь может оказаться не самым быстрым. Оказывается выгоднее удлинить путь, но дольше двигаться в среде, где скорость больше.

 

 

РЕФРАКЦИЯ. Если свет проходит в среде с плавно меняющимся показателем преломления n (иногда говорят «с изменяющейся оптической плотностью»), то возникает явление, называемое рефракцией. В результате рефракции световой луч плавно изгибается в сторону большего показателя преломления. С физической точки зрения это обычное преломление света, описываемое тем же законом, что и преломление света на четкой границе раздела двух сред. Но если на границе двух сред с разной оптической плотностью световой луч ломается, то в рефрактивной среде он движется вдоль гладкой кривой. В результате рефракции можно увидеть корабль, парящий в облаках, или солнце, которое уже зашло за горизонт. В результате рефракции света в атмосфере происходит смещение видимого положения звезд на небе. Рефракция объясняет возникновение миражей.

 

 

ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. Законы геометрической оптики используются при создании большинства оптических приборов, в конструкцию которых входят зеркала и линзы. Это и простые лупы, и сложные астрономические телескопы, различные очки, театральные и морские бинокли, подзорные трубы и перископы, микроскопы и множество других инструментов.

Линза (от лат. lens — «чечевица») — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими световые лучи поверхностями. Свет от точечного источника S линза опять собирает в одной точке S' (ее называют изображением источника). Из принципа Ферма следует, что это возможно, если время движения луча между этими точками по всем допустимым траекториям будет одинаково. В общем случае такую линзу построить практически невозможно, так как форма ее поверхности должна быть очень сложной. Но если мы хотим собирать только узкие пучки лучей, то оказывается, что можно ограничить линзу двумя сферическими поверхностями. При этом расстояния от светящейся точки до тонкой линзы s и от линзы до изображения s' связаны формулой линзы:

 

 

где фокусное расстояние определяется выражением

 

 

R₁ и R₂ — радиусы ограничивающих линзу поверхностей, n = n₂/n₁ — отношение показателей преломления линзы и среды, в которую она помещена. Для работы с формулой линзы нужно запомнить правило знаков: пусть источник S расположен слева от линзы и s > 0, тогда:

1) s' > 0, если изображение находится справа от линзы (такое изображение называют действительным, в нем действительно собираются световые лучи, прошедшие через линзу), и s' < 0, если изображение находится слева от линзы (такое изображение называют мнимым, в нем собираются продолжения рассеянных линзой лучей);

2) радиус кривизны левой поверхности R₁ > 0, если ее центр расположен справа от нее, т. е. выпуклость обращена в сторону источника, а радиус кривизны правой поверхности R₂ > 0, если в сторону источника она обращена своей вогнутостью. В противных случаях соответствующие радиусы кривизны отрицательны. Если f > 0, то линза собирающая, если f < 0 — рассеивающая. В рассеивающей линзе изображение всегда мнимое. В собирающей линзе при s > f изображение действительное, а при s < f мнимое.

 

 

Лучи от точечного источника можно собрать в одной точке и с помощью зеркала. Для этого оно должно иметь форму эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг его оси. Эллипс обладает тем свойством, что сумма расстояний от любой его точки до двух фокусов есть величина постоянная. Поэтому лучи, выйдя из одного фокуса, по любому пути дойдут до другого за одно и то же время. Значит, если поместить точечный источник в одном фокусе эллипсоида, то в другом получится его изображение. Начертить эллипс очень просто. Нужно кусок веревочки закрепить в двух точках — они будут фокусами эллипса, а затем, оттягивая ее карандашом, прочертить замкнутую кривую. Получим эллипс.

Зеркала телескопов обычно имеют форму параболоида (его прочерчивает вращающаяся вокруг своей оси парабола). Свет от далекой звезды приходит на Землю параллельным пучком. А параболоид обладает свойством собирать параллельные лучи в одной точке, фокусе. Практически идеальное зеркало получается, если вращать вокруг оси цилиндрический сосуд с ртутью. Дело в том, что при вращении поверхность жидкости в сосуде принимает форму как раз параболоида. Первым идею такого зеркала предложил Ньютон, но сделать его он не сумел. Сейчас разрабатывается проект телескопа, состоящего из 18 «жидких» 12-метровых тарелок, который будет обладать такими же возможностями, как зеркало диаметром 50 м (гиперболоид инженера Гарина).

 

 

ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА. Представления о природе световых явлений на протяжении истории развития физики менялись не один раз. Давно было отмечено, что свет в каких-то случаях ведет себя как волна, а в каких-то — как поток частиц (корпускул). В пользу волновой картины свидетельствуют интерференция и дифракция, в пользу корпускулярной — фотоэффект и эффект Комптона. После создания квантовой механики свет перестал быть единственным странным объектом в физике — не то волна, не то частица. Оказалось, что корпускулярно-волновой дуализм (двойственность поведения в разных «житейских» ситуациях) присущ всем объектам, просто эта двойственность не всегда заметна. Сейчас мы знаем, что все световые явления, а точнее, все электромагнитные явления можно описать в рамках квантовой электродинамики. В ней утверждается, что свет — это поток частиц вещества — фотонов — с очень интересными свойствами: они не могут покоиться ни в одной системе отсчета и их спин всегда направлен либо вдоль, либо против их импульса. Первое свойство на языке релятивистской механики означает, что масса фотона равна нулю. Именно этот факт определяет постоянство скорости света. Второе свойство правильнее было бы сформулировать так: спиральность фотона может принимать только два значения — +1 и -1. На языке квантовой механики это говорит о том, что фотон, как частица со спином равным единице, почему-то потерял одну из возможных его проекций, а именно нулевую. На языке классической электродинамики это свойство фотонов определяет поперечность электромагнитных волн. На самом деле второе свойство фотонов тесно связано с первым. Именно потому, что масса фотона равна нулю, его спиральность не может быть нулевой.

Когда же проявляются волновые, а когда корпускулярные свойства света? Если мы изучаем свет с помощью очень чувствительного прибора, способного зафиксировать энергию отдельного кванта, то мы обязательно увидим корпускулярную картинку. Если же наш прибор не может «отделить» отдельный квант, то мы будем воспринимать свет как волну.

Но чтобы зарегистрировать волну, необходимо, чтобы ее длина была сравнима с размерами регистрирующего прибора. Теперь нам должно быть понятно, почему многие световые явления хорошо описываются в рамках геометрической оптики. Это те случаи, когда длина волны фотонов много меньше размеров регистрирующего их прибора, а энергия фотонов слишком мала, чтобы эти приборы могли ее зафиксировать. Волновые свойства электромагнитного излучения проще всего изучать в радиодиапазоне. Изготовление антенны для приема самых коротких — миллиметровых — радиоволн не слишком сложная задача. (Гораздо сложнее изготовить антенну для дальней космической связи, осуществляемой с помощью длинных многометровых радиоволн. Чаши таких антенн достигают размеров футбольного поля. Правда, есть современные компактные аналоги таких антенн — фазированные антенные решетки.) А вот создание прибора для регистрации световых волн, длина которых составляет десятые доли микрона, уже требует особых ухищрений (хотя наш глаз прекрасно справляется с этой задачей). То, что электромагнитное излучение — это поток фотонов (их еще называют у-квантами), четче всего проявляется в рентгеновской и у-лучевой области спектра, где длина волны меньше сотой доли микрона. Оптические фотоны, энергия которых -2 - 3 эВ, проявляют свою корпускулярную сущность в таком хорошо изученном явлении, как фотоэффект.

В связи с двойственной природой света физическая оптика разделяется на волновую и квантовую.

 

 

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА основана на классической теории электромагнитного излучения. В ней строго получаются законы отражения и преломления света, используемые в геометрической оптике. Но в рамках теории Максвелла мы получаем гораздо больше информации при рассмотрении прохождения света через границу двух сред. Как правило, на границе часть световой волны отражается, а часть — проходит во вторую среду. В прозрачных средах, где отсутствует поглощение, полная энергия падающего потока делится между отраженной и преломленной волнами, причем доли, в которых происходит разделение энергии, зависят от поляризации падающей волны, угла падения и коэффициентов преломления обеих сред. Выражения для коэффициентов отражения и пропускания (их называют формулы Френеля) получаются из граничных условий для напряженностей электрического и магнитного полей в световой волне. Из них следует, что при отражении и преломлении волны частично поляризуются даже в том случае, когда на границу раздела падает естественный неполяризованный свет. (Естественным в оптике называют свет, в котором представлены волны со всеми возможными направлениями напряженностей электрического и магнитного нолей, быстро и беспорядочно сменяющими друг друга.) Наибольшая поляризация получается при падении под углом Брюстера A_Б = arctg(n₂/n₁). В этом случае отраженная волна полностью поляризована (вектор в ней колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения), а поляризация преломленной волны достигает максимального значения (вектор Ӗ в ней преимущественно колеблется в плоскости падения).

 

 

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ — взаимное усиление или ослабление двух или большего числа волн при их наложении друг на друга. В результате интерференции происходит перераспределение энергии светового излучения в пространстве. Устойчивая (стационарная, постоянная во времени) интерференционная картина наблюдается при сложении когерентных волн. Требование когерентности волн — ключевое при рассмотрении интерференции. Разберем его на примере сложения двух волн одинаковой частоты. Пусть в некоторой точке пространства они возбуждают одинаково направленные (Ӗ₁ ↑↑ Ӗ₂) колебания: Ӗ₁sin(ωt + φ₁) и E₂sin(ωt + φ₂). Тогда величина амплитуды результирующего колебания Ӗsin(mt + φ) равна     где ơ = φ1 - φ2. Если разность фаз ơ постоянна во времени, то волны называются когерентными. Для некогерентных волн ơ случайным образом изменяется во времени, поэтому среднее значение cosơ равно нулю. Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то в случае сложения некогерентных волн интенсивность результирующей волны I просто равна сумме интенсивностей каждой из волн: I = I₁ + I₂. При сложении же когерентных волн интенсивность результирующего колебания в зависимости от значения cosơ, может принимать значения и большие, и меньшие, чем I₁ + I₂.Так как значение ơ в общем случае зависит от точки наблюдения, то и интенсивность результирующей волны будет различной в разных точках. Именно это имелось в виду, когда выше говорилось о перераспределении энергии в пространстве при интерференции волн.

Излучение с высокой степенью когерентности получают с помощью лазеров. Но если нет лазера, когерентные волны можно получить, разделив одну волну на несколько. Обычно используют два способа «деления» — деление волнового фронта и деление амплитуды. При делении волнового фронта интерферируют волновые пучки, первоначально распространявшиеся от одного источника в разных направлениях, которые затем с помощью оптических приборов сводят в одной области пространства (ее называют полем интерференции). Для этого используют бизеркала и бипризмы Френеля, билинзы Бийе и др. При амплитудном делении волна разделяется на полупрозрачной границе двух сред. Затем, в результате последующих отражений и преломлений, разделенные части волны встречаются и интерферируют. Именно так окрашиваются в разные цвета мыльные пузыри и тонкие масляные пленки на воде, крылья стрекозы и оксидные пленки на металлах и оконных стеклах. Важно, что интерферировать должны цуги волн, испущенные в одном акте излучения атома или молекулы, т. е. части волны должны «недолго» двигаться раздельно, иначе в точку встречи уже придут волны, испущенные разными атомами. А так как атомы излучают спонтанно (если не созданы специальные условия, как в лазерах), то эти волны будут заведомо некогерентны. (В лазерах работает вынужденное излучение и этим достигается высокая степень когерентности.)

 

 

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА - ФРЕНЕЛЯ. Как в волновой теории можно объяснить прямолинейное распространение света? Почему границы освещенных тел в одних случаях мы видим четко, а в других они размыты? Качественный ответ на эти вопросы дает принцип Гюйгенса, сформулированный им в 1678 г. Он гласит; каждая точка волнового фронта в данный момент является центром вторичных волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент. Френель в 1815 г. дополнил этот принцип утверждением о когерентности вторичных волн и их интерференции. На основании этого принципа удалось показать, что в световой волне с длиной λ, прошедшей через маленькое отверстие диаметром d, примерно 90% переносимой ею энергии распространяется внутри узкого конуса с углом раствора -λ/d. Для красного света с длиной волны λ = 0,65 мкм, прошедшего через дырочку диаметром 1 мм, этот угол меньше 0,04°. Этот узкий световой конус мы и воспринимаем как прямой луч. Исходя из этого принципа объясняется и дифракция света.

 

 

ДИФРАКЦИЯ — это огибание волнами препятствий. В случае света определение дифракции может звучать так: дифракция — это любые отклонения в распространении световых волн от законов геометрической оптики, в частности это проникновение света в область геометрической тени.

Иногда используют более широкое определение: дифракцией называется совокупность явлений, которые наблюдаются при распространении волн в среде с резкими неоднородностями.

Классический пример дифракции — прохождение сферической световой волны через маленькое круглое отверстие, когда на экране вместо освещенного круга с четкими границами наблюдается светлый круг с размытыми границами, испещренный чередующимися темными и светлыми кольцами.

Изменяя диаметр отверстия, мы увидим, что картинка на экране будет меняться, в частности, в центре освещенного круга будет появляться и исчезать темное пятно. Объяснение этому явлению дал Френель. Он разбил волновой фронт на зоны так, что расстояния от соседних зон до точки наблюдения отличаются на полдлины волны. Тогда вторичные волны, приходящие от соседних зон, гасят друг друга. Поэтому если в отверстии помещается четное число зон, то в центре освещенного круга будет темное пятно, если нечетное — светлое.

Дифракционная решетка — это оптический прибор, представляющий собой пластину, на которую нанесено большое количество регулярно расположенных штрихов. Вместо штрихов на пластине могут быть регулярно расположенные щели, или канавки, или выступы.

Дифракционная картинка, получающаяся на таких периодических структурах, имеет вид чередующихся максимумов и минимумов различной интенсивности.

Дифракционные решетки используются в спектральных приборах. Их назначение — изучение спектрального состава электромагнитного излучения. Для работы в ультрафиолетовой области применяются решетки, у которых на 1 мм приходится 3600 - 1200 штрихов, в видимой — 1200 - 600 штрихов/мм, в инфракрасной — 300 и меньше штрихов/мм. Для ультракоротких рентгеновских волн дифракционную решетку создала природа — это кристаллическая решетка твердых тел.

 

 

КВАНТОВАЯ ОПТИКА. Понятие «квант» электромагнитного излучения ввел в физику Макс Планк в 1900 г. для объяснения спектра теплового излучения абсолютно черного тела. Он предположил, что излучение электромагнитных волн происходит порциями — квантами, энергия которых связана с циклической частотой волны со соотношением ε = ħω (ħ - 1 х 10^-34 Дж х с — постоянная Планка). Позже А. Эйнштейн высказал предположение, что электромагнитное излучение не просто излучается порциями, а состоит из квантов — частиц с энергией ε. На основании этого предположения Эйнштейн объяснил явления фотоэффекта и люминесценции.

В 1922 - 1923 гг. в опытах А. Комптона по рассеянию рентгеновских лучей на свободных электронах выяснилось, что эти частицы обладают импульсом р = ε/с и подчиняются тем же законам сохранения энергии и импульса, что и другие известные к тому времени частицы. Так в физике утвердилась частица, которую Г. Льюис в 1929 г. назвал «фотон» (от греч. photys — «свет»).

 

ФИЗИОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИКА. Почти 90% информации человек получает через зрение. Зрительные ощущения определяют форму предметов, их цвет и яркость. Нам остается только восхититься совершенством созданного природой удивительного оптического прибора — глаза.
 

 

Если термодинамическая система, находясь поочередно в тепловом контакте с термодинамическими системами А и В, не меняет своего состояния, то тепловой контакт систем А и В между собой также не нарушит их равновесных состояний. Это свойство позволяет ввести общую для всех таких систем характеристику — температуру.

 

 

НУЛЕВОЕ НАЧАЛО — это утверждение о том, что система, к которой мы собираемся применить термодинамический подход, допускает это, т. е. является термодинамической. Из нулевого начала следует, что термодинамическая система не может быть очень большой или слишком маленькой — количество частиц, образующих ее, должно быть порядка числа Авогадро. Действительно, параметры маленьких систем подвержены значительным колебаниям либо вообще не существуют (что такое давление пяти молекул?). Очень большие системы типа «половины Вселенной» или просто не имеют равновесного состояния, или переходят в него за астрономически большие отрезки времени.

Из факта существования термодинамических систем можно вывести понятие, являющееся базовым для всего дальнейшего изложения. Речь идет о возможности введения для термодинамических систем понятия температуры. Рассмотрим две термодинамические системы, разделенные теплопроводящей стенкой. Они находятся в тепловом контакте. В силу существования состояния термодинамического равновесия, наступит момент, когда обе системы придут в это состояние и будут оставаться в нем сколь угодно долго. Если теперь разорвать тепловой контакт (изолировать системы), то их состояние не изменится. Любая третья термодинамическая система, не изменяющая своего состояния при тепловом контакте с первой из систем, не изменит своего состояния при контакте со второй системой.

Это означает, что существует общая для всех трех систем характеристика, которая может быть сопоставлена не какой-то отдельной системе, а самому состоянию термодинамического равновесия. Эту характеристику и называют температурой. Ее количественную величину можно определить по значению какого-либо механического параметра, например объема одной из систем. Эта система в таком случае может быть названа термометром.

Более широко нулевое начало можно понимать как утверждение о существовании в окружающем нас мире объектов, к которым применима наука термодинамика.

 

 

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ — это закон сохранения энергии для термодинамической системы.

Теперь, зная, что такое работа, теплота и энергия в термодинамике, мы сможем дать точную формулировку первого начала. Фактически, исходя из него, мы пришли к определению теплоты (но само определение не зависело от закона сохранения энергии!).

Изменение внутренней энергии закрытой системы ΔU происходит за счет того, что система поглощает теплоту Q и совершает работу А:
 

AU = Q - А.
 

А как быть, если система открыта, т. е. по крайней мере часть стенок воображаемая? Это означает, что количество частиц N в системе непостоянно — допустимы потоки вещества сквозь стенки. В этом случае внутренняя энергия может изменяться и без совершения работы или получения теплоты, а только за счет изменения числа частиц N. Введем новую термодинамическую величину μ — химический потенциал, равный, по определению:

 

 

Смысл этой величины понятен: это изменение внутренней энергии системы U при удалении из нее одной частицы. Удалять (или добавлять) частицу надо так, чтобы система не совершала работы (dА = 0) и не получала теплоты (dQ = 0). С использованием химического потенциала можно сформулировать первое начало для открытых систем: изменение внутренней энергии открытой системы ΔU происходит за счет того, что система поглощает теплоту Q, совершает работу А и теряет N частиц: ΔU = Q - А - μN.
 

 

Термодинамическими системами называют физические системы, находящиеся в особом, так называемом равновесном, состоянии. Оно характеризуется тем, что при отсутствии внешних воздействий система самопроизвольно приходит в это состояние и находится в нем неопределенно долго. Для описания такой системы достаточно небольшого числа макропараметров (давление, температура, объем, концентрация и т. п.).

 

 

РАЗДЕЛИМ ВСЮ ВСЕЛЕННУЮ на две части. Одну из них, которую мы изучаем, назовем системой, а оставшуюся часть — средой. Поверхность, отделяющую систему от среды, назовем стенкой. Обычно рассматривают три типа стенок.

 

1. Воображаемая стенка, через которую могут проходить потоки как энергии, так и частиц, при этом система находится в тепловом и материальном контакте со средой. Такие системы называются открытыми.

 

2. Адиабатическая стенка, сквозь которую не допускается проход потоков энергии и материальных частиц. Система называется закрытой, что, однако, не означает ее полную изолированность от среды. Адиабатическая стенка или ее часть может быть подвижной. (Типичный пример такой стенки — поршень, запирающий газ в сосуде.)

 

3. Теплопроводящая стенка, являющаяся промежуточным случаем между первыми двумя. Система закрытая, но стенка исключает только перенос материальных частиц — механический и тепловой контакты возможны.

 

Исходя из общей идеологии термодинамики — не заниматься деталями внутреннего строения системы, перейдем к ее описанию. Система всегда обладает некоторыми физическими свойствами, т. е. находится в некотором физическом состоянии. А состояние в термодинамике, как мы уже отмечали, задается с помощью макроскопических величин — так называемых параметров состояния. В этом качестве могут выступать объем, давление, температура, концентрация химических компонентов, а также специфические термодинамические характеристики, не имеющие простых механических аналогий. Термодинамической называется система, предоставленная самой себе при фиксированных внешних условиях, стремящаяся с течением времени перейти в особое состояние — состояние термодинамического равновесия.

 

 

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. Конкретный вид рассматриваемой термодинамической системы задают уравнения состояния, которые связывают между собой параметры системы. Различные физические системы, имеющие одинаковые уравнения состояния, с точки зрения термодинамики неразличимы. Уравнения состояния не могут быть найдены в рамках термодинамики, они должны быть привнесены извне. Существует два способа их поиска — экспериментальный и теоретический. Экспериментальный способ заключается в выполнении обширных и точных измерений параметров конкретной системы (например, водяного пара) в различных равновесных состояниях. Полученные в результате этого таблицы после обработки данных дают эмпирические формулы, содержащие большое число констант. Другой путь — проведение теоретического исследования некоторых математических моделей, которые, как предполагается, описывают нашу систему. Эти расчеты обычно выполняются в рамках статистической физики.

Если некоторую систему называют, например, идеальным газом, то для термодинамики это означает только, что ее уравнение состояния имеет вид: PV = RT (где R — некоторая константа).

Пылевидное уравнение состояния: Р = 0, W = MC² — широко используется для описания таких больших термодинамических систем, как пылевые облака и скопления звезд или галактик. В космологии это уравнение применяется для описания состояния вещества, заполняющего Вселенную в современную эпоху.

Энергия системы, зависящая от ее внутреннего состояния, т. е. являющаяся некоторой функцией параметров состояния: U = U (Т, V, р, Е), называется внутренней энергией термодинамической системы.
 

 

Термодинамика не интересуется конкретным устройством тепловых машин, она анализирует общие закономерности взаимопревращений теплоты и механической работы. Среди устройств, которые термодинамика считает тепловыми машинами, оказываются не только привычные двигатели внутреннего сгорания и холодильники, но и величественный Гольфстрим, и разрушительные смерчи.

 

 

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СОСТОЯНИЯ удобно интерпретировать точкой в некотором абстрактном пространстве. Возьмем декартову прямоугольную систему координат и отложим по осям значения параметров. В общем случае, когда число параметров К произвольно, нам придется использовать К-мерное пространство. Ограничимся трехмерным пространством, для простого, но важного случая идеального газа. Идеальным газом называется система с параметрами Р, V и Т и уравнением состояния: PV = ʋRT, где R = 8,31 Дж/(моль х К) — газовая постоянная, ʋ — число молей газа.

в трехмерном пространстве состояний PVT уравнение PV = ʋRT задает некоторую поверхность, точки которой отвечают допустимым состояниям идеального газа. Кривые, лежащие на этой поверхности, изображают равновесные процессы в идеальном газе, т. е. ряд равновесных состояний системы, через которые она проходит в последовательные моменты времени. Скорость изменения параметров предполагается бесконечно малой. Если кривая, описывающая процесс, замкнута, то такой процесс называется циклом. Процесс, при котором один из параметров системы остается постоянным, называется изопроцессом. Мы уже встречались с одним таким процессом — изотермическим (T = const). Для идеального газа интересно рассмотреть два изопроцесса: изобарический (р = const) и изохорический (V = const).

На рисунке изображено трехмерное пространство состояний идеального газа.

 

 

Поверхность, задаваемая уравнением состояния, в этом случае является частью гиперболического параболоида («седла»). Изопроцессы — это линии пересечения «седла» с плоскостями постоянных параметров (изобара, изохора, изотерма). Несмотря на всю наглядность трехмерных схем, пользоваться ими не очень удобно, да и в общем случае К-мерного пространства состояний наше пространственное воображение оказывается бессильным. Поэтому чаще используют двумерные диаграммы состояния, которые представляют собой набор плоскостей постоянных параметров. Использование того или иного набора координат — параметров — диктуется целями расчетов. Для подсчета работы очень удобны координаты pV, так как в них работа, определяемая как интеграл, имеет геометрический смысл площади под кривой процесса.

Это позволяет элементарными методами вычислить работу для изохорического (А = 0), изобарического (А = р х (V₂ - V₁)) и ряда других процессов.

Работа в цикле, очевидно, равна площади внутри замкнутой кривой, изображающей цикл в координатах pV, причем если кривую обходить по часовой стрелке (прямой цикл), то она положительна (А > 0), и отрицательна (А < 0), если обход совершается против часовой стрелки (обратный цикл).

 

 

ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ - это периодически действующие устройства, переводящие теплоту и механическую работу друг в друга.

Если тепловая машина работает по прямому циклу (переводит теплоту в работу), то она называется тепловым двигателем. Тепловая машина, работающая по обратному циклу (за счет потребления механической работы, отбирающая теплоту у нагретых тел), называется холодильной машиной. Примером теплового двигателя может служить двигатель автомобиля, а холодильная машина стоит у вас на кухне — это холодильник. Тепловые машины с точки зрения термодинамики всегда содержат три элемента: два теплообменника — нагреватель и холодильник — и изолирующую среду — рабочее тело. Рабочее тело предотвращает непосредственный контакт между теплообменниками, который неминуемо привел бы к уравниванию их температур и остановке машины. Последние два утверждения далеко не очевидные и по своей сути представляют следствия второго начала термодинамики.

Тепловой двигатель предназначен для производства работы, его эффективность определяется коэффициентом полезного действия (КПД), который можно выразить как отношение работы А, произведенной за цикл («польза»), к количеству подведенной за цикл теплоты Q₁, («затраты»).

 

 

Эффективность холодильной машины определяется холодильным коэффициентом, который задается как отношение отбираемого количества теплоты Q2 («польза») к затраченной на это работе А («затраты»).

ЦИКЛ КАРНО. Тепловой двигатель большую часть подведенной теплоты (87,5% в разобранном примере) бесполезно расходует на обогрев окружающей среды.

Почему бы не превратить в работу всю подведенную теплоту? Для этого достаточно убрать холодильник (Q₂ = 0), и КПД станет равным 1:

 

 

Как мы уже знаем, есть такой процесс, при котором вся теплота превращается в работу. Это изотермический процесс (T = 0), для которого первое начало дает следующую формулу:

A = Q - ΔU = Q - С_v ΔТ = Q.

 

Попытаемся «сконструировать» более выгодный тепловой двигатель, чем рассмотренный в примере. Рабочим телом пусть по-прежнему является идеальный газ, а вот цикл двигателя попробуем сделать более экономичным. Изотермический процесс хорош (А = Q), но это не цикл, а следовательно, сам по себе он не подходит для теплового двигателя как периодического устройства. Неплох и адиабатический процесс, не допускающий какого-либо теплообмена, а следовательно, и потерь тепла.
 

 

Из двух адиабатических и двух изотермических процессов можно составить некий цикл, который называется циклом Карно и который, как мы увидим позже, не только не плох, но и просто самый замечательный цикл по части КПД!

Используя первое начало, можно найти уравнение адиабатического процесса для идеального газа. В координатах PV оно имеет вид; PV^ƴ = const, где у = С_p/С_v показатель адиабаты. Теперь мы можем перейти к изучению свойств цикла Карно, и в частности к вычислению его КПД.

Построим в координатах pV цикл Карно (линии 1 - 2 и 3 - 4 на рисунке — это адиабаты, а 4 - 1 и 2 - 3 — изотермы). Нагрев рабочего тела производится при постоянной температуре T₁ = T₄ (температуре нагревателя), а охлаждение — при постоянной температуре T₂ = T₃(температуре холодильника). Между объемами концевых точек цикла Карно существует простое соотношение.

В его справедливости можно убедиться прямым вычислением. Действительно, запишем условия того, что точки 4 и 3 принадлежат адиабате 4 - 3, а точки 1 и 2 — адиабате 1 - 2:

 

                                                                                         (1)

 

                                                                                         (2)

 

Аналогичные условия принадлежности точек 4 и 1 изотерме 4 - 1, а точек 2 и 3 изотерме 2 - 3 имеют вид:

 

P₄V₄ = P₁V₁ = RT₁; Р₃У₃ = P₂V₂ = RT₂.                                                                    (3)

 

Последние соотношения могут быть переписаны в форме:

 

                                                                                             (4)

 

Поделив (1) на (2) и подставив в результат (3) и (4), получим

 

 

Перейдем теперь к расчету КПД цикла Карно. Подвод теплоты осуществляется в изотермическом процессе 4 - 1, т. е. Q₁ = Q₄₁, а отвод теплоты — в изотермическом процессе 2 - 3, т. е. Q₂ = Q₂₃. Первое начало для изотермических процессов позволяет вычислить теплоту как работу:

 

 

Подставив значения теплоты в формулу для КПД с учетом соотношения для объемов, получим КПД машины Карно:

 

 

 

 

ТЕОРЕМА КАРНО. Все равновесные процессы являются обратимыми. Это означает, что они могут протекать как в прямом, так и в обратном направлениях, причем система при этом проходит через одни и те же состояния и ни в самой системе, ни в окружающей среде не возникает никаких остаточных изменений. Такое полное отсутствие «памяти» встречается очень редко, и большинство реальных процессов в природе не удовлетворяет этим условиям, т. е. являются необратимыми. Тепловые машины, работающие по равновесным (обратимым) циклам, называются обратимыми машинами.

 

 

Вернемся к проблеме конструирования «наилучшего двигателя всех времен и народов». Машина Карно (конкретное ее устройство нас, как последовательных термодинамиков, не интересует!) — кандидат на это звание. Она является обратимой машиной, содержит термодинамически очень выгодные, адиабатические и изотермические процессы. Остается, правда, открытым вопрос о числе и последовательности этих процессов, обеспечивающих максимальный КПД (может быть, надо использовать более сложные циклы, чем Карно?). Оказывается, что конкретное устройство обратимой машины и тип рабочего тела не важны. Имеет место следующее утверждение, известное как теорема Карно:

 

«КПД двух обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников, равны друг другу и не зависят от конструкции машин».

 

Реальные циклы тепловых двигателей необратимы и в действительности даже незамкнуты, так как в них рабочее тело (сгоревшая смесь газов) по окончании цикла выбрасывается наружу! Тем не менее идеальные обратимые машины чрезвычайно важны для теоретических построений. Предположим, что одна из двух машин, рассмотренных выше, является необратимой. Тогда «КПД необратимой машины не может превышать КПД обратимой машины».
 

 

Один из важнейших параметров состояния системы, играющий не меньшую роль, чем температура или энергия, энтропия в термодинамике вводится очень формально — как математическое следствие второго начала в формулировке Карно.

 

 

СМЫСЛ ПОНЯТИЯ «ЭНТРОПИЯ», ее связь с такими фундаментальными понятиями, как «хаос» и «направление времени», полностью раскрываются в статистической физике.

Начнем опять с цикла Карно. Для цикла Карно запишем КПД:

 

 

Переведем последнее выражение в эквивалентную форму:

 

 

Отношение теплоты Q к температуре Т называется приведенной теплотой. Так как мы договорились считать теплоту, поступающую в систему, положительной (Q₁ > 0), а теплоту, отдаваемую системой, отрицательной (Q₂ < 0), то последнее соотношение можно написать в виде алгебраической суммы приведенных теплот:

 

 

Перейдем теперь к произвольному равновесному циклу. «Нарежем» его мелкими ступенчатыми «дольками», представляющими собой циклы Карно. Чем мельче разбиение, тем точнее мы опишем произвольный цикл совокупностью сложенных друг с другом циклов Карно (участки внутренних адиабат, проходимые в противоположных направлениях, компенсируют друг друга; и фактически мы «движемся» по границе ступенчатой области). Для каждого цикла Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю, следовательно, для i-тoro цикла имеем:

 

 

Суммируя по i и переходя к пределу бесконечного числа циклов, получим:

 

 

Фактически мы определили интеграл по замкнутому контуру как суммирование бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых (приведенных теплот).

 

 

Полученное выражение называется равенством Клаузиуса. Интеграл от приведенной теплоты по произвольному замкнутому контуру равен нулю:

 

 

Следовательно, подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции S, называемой энтропией:

 

 

Сама энтропия системы в некоторой произвольной точке2 определяется интегралом

 

 

где S₁ — известное значение энтропии в точке 1, которая изображает начальное состояние системы, связанное с конечным состоянием (точка 2) равновесного процесса. Энтропия конечного состояния системы не зависит от процесса, с помощью которого система была переведена в это состояние из начального состояния (интегралы по процессам 1а2, 1Ь2, 1с2 одинаковы!). Таким образом, энтропия — это свойство состояния системы, т. е. энтропия — новый параметр состояния, такой же, как объем или внутренняя энергия. Это означает, что энтропию можно выразить через другие параметры состояния, например через температуру и объем или давление и температуру.
 

 

Второе начало термодинамики не столь логически прозрачно, как закон сохранения энергии (первое начало). Хотя второе начало иногда называют «принципом энтропии», оно не является утверждением о сохранении энтропии, скорее это некоторый принцип, определяющий направление протекания «естественных» процессов. Второе начало тесно связано с таким привычным, но загадочным понятием, как направление времени.

 

 

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ имеет несколько эквивалентных формулировок. Наиболее простая из них носит характер категорического запрета на возможность создания вечного двигателя второго рода — тепловой машины, полностью превращающей теплоту в механическую работу.

Почему такой тепловой двигатель называется вечным, да еще и второго рода? Он не нарушает закон сохранения энергии (на это претендует вечный двигатель первого рода). Однако такого рода устройство, будучи помещенным в достаточно обширный тепловой резервуар, например в океан, работало бы неограниченно долго, понижая его температуру и производя полезную механическую работу. Его КПД был бы равен 100%!

Однако существование вечных двигателей второго рода запрещается вторым началом, и это ставит вопрос о максимально возможном КПД теплового двигателя.

 

 

Мы сейчас попробуем получить более удобную формулировку второго начала. Попытаемся «сконструировать» самый выгодный тепловой двигатель. Это оказывается двигатель, работающий по циклу Карно! Действительно, машина Карно является обратимой и работает при постоянных температурах нагревателя и холодильника. Следовательно, она может быть примером обратимой машины из теоремы Карно, и все остальные машины, удовлетворяющие условиям теоремы, имеют КПА такой же, как у нее:

 

 

Обобщая это на случай необратимых машин, получим утверждение, являющееся одной из эквивалентных формулировок второго начала: из всех тепловых двигателей, имеющих одинаковые температуры нагревателей и холодильников, наибольшим КПД обладает машина Карно:

 

 

Реальные двигатели обычно подводят тепло при изохорических (цикл Отто) или изобарических условиях (цикл Дизеля). Они имеют большую производительность, но их КПД меньше КПД цикла Карно, и в этом смысле машина Карно — самый лучший, т. е. идеальный тепловой двигатель! Приведем еще одну, очень наглядную формулировку второго начала, которую можно получить с помощью машины Карно. Пусть теплота переходит от одного тела к другому сама собой, без совершения какой-либо работы, например, в процессе теплообмена. Тогда Q₁ = Q₂, и из предыдущей формулировки получим:

 

 

Передача теплоты при теплообмене — это необратимый процесс, и знак равенства в последнем выражении следует исключить:

 

 

Полагая, что абсолютная температура T₁> 0, получим: — T1 - T2 > 0, т. е. T1 > T2. Значит, температура тела, отдающего теплоту Q₁, должна быть выше, чем температура тела, принимающего теплоту «Тепло само собой переходит только от более нагретого тела к менее нагретому телу, но не наоборот». (Р. Клаузиус, 1850.)

Температура — это параметр состояния. Ее измеряют термометром. Действие большинства термометров основано на зависимости объема рабочего тела (спирта или ртути) от температуры, т. е. на эффекте объемного расширения:

V(T) = V(T₀)[1 + а(Т - T₀)].

 

Проблема измерения состоит в том, что а — коэффициент объемного расширения реальных рабочих тел — сам зависит от температуры. Это означает, что полученная опытным путем шкала термометра (эмпирическая шкала температур) оказывается неравномерной, и разные термометры показывают разные значения температуры. Избежать неравномерности можно, используя рабочее тело с постоянным коэффициентом объемного расширения, каким является идеальный газ (для него а = 1/273,16 °С).
 

 

Третье начало термодинамики — это утверждение о принципиальной недостижимости абсолютного нуля температуры. Самое «молодое» из термодинамических начал, оно было сформулировано только в начале XX в. Третье начало завершает аксиоматическое построение термодинамики.

 

 

ТРЕТЬЕ НАЧАЛО УТВЕРЖДАЕТ, что при абсолютном нуле температуры энтропия обращается в нуль. Отсюда следует категорический запрет на существование физических объектов с температурой, равной абсолютному нулю:

 

Т ≠ 0 К = -273,16°С.

 

Обсудим сначала характер недостижимости нуля, который существует уже в рамках второго начала. Рассмотрим холодильную машину, отбирающую теплоту Q₂ у тела с температурой Т₂. Из второго начала в форме Карно следует, что холодильный коэффициент любой тепловой машины не превышает холодильного коэффициента обратимой машины:

 

 

если Т₂ → 0 К, то и ℵ ∞ 0, а следовательно, необходимая для отбора теплоты работа стремится к бесконечности: А = Q₁ - Q₂ → ∞. Это означает, что мы не можем изготовить тепловой резервуар (термостат) с Т = 0 К путем охлаждения реального физического тела. Остается, правда, открытым вопрос о существовании в природе уже готовых термостатов с нулевой температурой. Вот их отсутствие и постулируется в третьем начале термодинамики, которое формулируется в двух вариантах: в узком смысле («Тепловая теорема Нернста») и в широком смысле («Тепловая теорема Планка»).

Согласно тепловой теореме Нернста (1906), при абсолютном нуле все изменения энтропии ΔS обращаются в нуль:

 

 

Формулировка Планка (1910) более радикальна: при абсолютном нуле S обращается в нуль:

 

 

Для чисто термодинамического подхода достаточно теоремы Нернста. В статистической физике более естествен подход Планка, а теорема Нернста уже не является аксиомой, а получается автоматически, как следствие статистического подхода.

Из третьего начала в формулировке Нернста следует, что все термодинамические процессы, протекающие при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, не сопровождаются изменением энтропии. Другими словами, изотерма Т = 0 К совпадает с предельной адиабатой

 

S = S₀ (dQ = TdS = 0),

 

т. е. верно утверждение о недостижимости абсолютного нуля с помощью адиабатических процессов. Действительно, любая адиабата с S ≠ S₀ не пересекается с адиабатой S = S₀, которая, в силу теоремы Нернста, совпадает с изотермой Т= 0 К. Так как любой термодинамический процесс может быть представлен как совокупность адиабатических и изотермических процессов, то абсолютный нуль никогда не может быть достигнут! Третье начало в формулировке Планка устраняет неопределенность в задании энтропии, связанную с произволом в выборе начальной константы. Действительно, выбирая в качестве начальной точки процесса состояние с Т = 0 К, получим:

 

 

Третье начало термодинамики накладывает определенные ограничения на уравнения состояния. В частности, калорическое уравнение идеального газа оказывается непригодным вблизи абсолютного нуля. Запишем изохорную теплоемкость как функцию от энтропии:

 

 

В силу третьего начала, при Т → 0 изменение энтропии ΔS → 0 и, следовательно, изохорная теплоемкость также должна стремиться к нулю:

В термодинамической системе, именуемой одноатомным идеальным газом, PV = RT; С_v = 3R/2, это условие явно нарушается!

 

 

Простейшее и наиболее изученное агрегатное состояние вещества — газообразное. Оно является самым хаотичным и характеризуется отсутствием как дальнего порядка (типичного для твердой фазы), так и ближнего порядка (обычного для жидкой фазы). Газы не имеют формы — они занимают весь предоставленный им объем.

 

 

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Молекулы, из которых состоит газ, обычно так далеко находятся друг от друга, что большую часть времени движутся независимо. Сближаясь, они взаимодействуют друг с другом посредством электромагнитного поля. Интенсивность межмолекулярного взаимодействия можно охарактеризовать с помощью потенциальной энергии взаимодействия, которая имеет минимум при некотором расстоянии r₀ между молекулами. На расстояниях, меньших r₀, взаимодействие носит характер отталкивания, при г > r₀ наблюдается взаимное притяжение. Минимальное расстояние d, на которое огут подойти друг к другу две молекулы, называется эффективным диаметром молекулы. Как видно из рисунка, с увеличением E(d) — начальной кинетической энергии молекул — d уменьшается. Это означает, что эффективный диаметр молекулы не является «настоящим диаметром», а представляет собой просто удобную геометрическую характеристику межмолекулярного взаимодействия. Соответственно условная величина

 

о = πd²

 

получила название эффективного сечения молекулы. Ее размерность [м²], но более часто употребляется единица барн (1 барн = 10^-28 м²). Диаметр молекулы газа порядка 0,2 нм = 2 х 10^-10 м, а сечение около 1,3 х 10^-19 м² = 1,3 Гбарн.

В первом приближении можно считать, что взаимодействие молекул носит характер соударения твердых упругих шаров.

Среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями, называется средней длиной свободного пробега λ. Если обозначить через n концентрацию молекул газа (число молекул в единице объема), то свободный пробег будет тем больше, чем реже расположены молекулы в пространстве (т. е. чем меньше п):

 

 

Определим среднее число столкновений v, которое испытывает молекула за одну секунду; для этого достаточно поделить среднюю скорость движения молекулы на средний пробег:

 

V = 〈V〉/λ.

 

В результате межмолекулярных столкновений скорости молекул газа равномерно распределяются по всем направлениям в пространстве. Возникает равновесное состояние газа, в котором отдельные молекулы могут иметь произвольное значение модуля скорости — от нуля до предельно высоких значений.

 

 

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. Газ, молекулы которого взаимодействуют друг с другом только в процессе столкновений, а все остальное время движутся как свободные, называется идеальным газом. Описание газа с помощью такой модели можно рассматривать как первое (и достаточно удачное) приближение к действительности.

 

ТЕМПЕРАТУРА И ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. С учетом однозначной зависимости характеристической скорости от температуры температура идеального газа может быть представлена как параметр максвелловского распределения молекул по скоростям. Чем выше температура газа, тем больше характеристическая скорость и дисперсия распределения (разброс молекул по скоростям). Внутренняя энергия идеального газа U_газ также полностью определяется его температурой. Среднее значение энергии одной одноатомной молекулы равнo

 

 

Соответственно полная внутренняя энергия газа, состоящего из N отдельных (одноатомных!) молекул, в М раз больше:

 

 

Другой способ получить выражение для энергии одной молекулы — продифференцировать выражение для статинтеграла Z, приведенное выше. Так как логарифм Z равен

 

 

где С — выражение, не зависящее от температуры, то энергия одной молекулы равна

 

 

 

 

Если на молекулы газа действует постоянная сила, то как они будут распределены в пространстве? Ответ на этот вопрос имеет большое теоретическое значение, так как моделирует общую ситуацию, описываемую распределением Больцмана.

 

ГАЗОВЫЙ «КОКТЕЙЛЬ», которым мы дышим, называется воздухом. Молекулы воздуха находятся в гравитационном поле Земли. Если бы гравитационное поле отсутствовало, то вся атмосфера Земли быстро бы улетучилась в космос. Если молекулы воздуха были бы неподвижны относительно Земли, то все они располагались бы на ее поверхности. Тепловое движение, «жонглируя» молекулами, приводит их к некоторому неравномерному распределению по высоте. Уменьшение числа молекул по мере удаления от Земли является причиной понижения давления воздуха с высотой.

Попробуем объяснить это явление в рамках простой модели идеального газа. Предположим для простоты, что гравитационное поле Земли однородное (т. е. Земля — плоская). Запишем условие равновесия маленького столбика воздуха, имеющего высоту dz, площадь сечения S и содержащего внутри себя dN молекул средней массы m при температуре Т. Пусть давление газа на «дне» столбика равно р, а на его «крышке» составляет р + dp. Тогда вес столбика газа и сила давления со стороны вышележащих слоев газа должны быть уравновешены силой давления со стороны нижележащих слоев:

 

pS - (р + dp)S - mgdN = 0.

 

Количество молекул воздуха dN внутри рассматриваемого столбика газа можно подсчитать, исходя из концентрации молекул n и объема столбика Sdz: dN = nSdz. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа, полученным ранее (см.), и выразим концентрацию через давление и температуру:

 

n = р/кТ.

 

Подставив соотношения в уравнение равновесия, получим:

 

 

Предположим, что температура воздуха не меняется при изменении высоты (это сильно упрощает решение!). Тогда, интегрируя последнее уравнение и учитывая, что на поверхности Земли (z = 0) давление воздуха равно р₀, окончательно запишем барометрическую формулу:

 

 

Отсюда сразу же (р = пkТ) следует, что концентрация молекул меняется по такому же экспоненциальному закону Л. Больцмана (1868):

 

где n₀ — концентрация молекул около поверхности Земли. Так как вероятность обнаружения молекулы на высоте z пропорциональна концентрации молекул n(z), то полученное распределение является фактически вероятностной функцией распределения молекул по высоте. Это распределение называется распределением Больцмана.

На любой высоте имеет место максвелловское распределение молекул по скоростям. Однако число молекул с высотой убывает в соответствии с больцмановским распределением.

Распределение Больцмана, которое мы рассматриваем применительно к распределению молекул воздуха в однородном гравитационном поле, имеет гораздо большее значение, чем может показаться исходя из нашего примера. На самом деле такое распределение будет характерно для любых классических частиц, помегценных в силовое поле с потенциальной энергией W(r):

 

 

Это могут быть заряженные частицы с зарядом q в электрическом поле с потенциалом φ(г) : Wr) = gφ_гр(r) или звезды шарового скопления массой m в собственном гравитационном поле с потенциалом φ_гр(г) : W(r) = mφ(г).
 

 

 

Жидкое состояние является промежуточным между твердым и газообразным. Так же как и твердое тело, жидкость практически несжимаема и сопротивляется не только сжатию, но и растяжению. Как и газ, жидкость не имеет формы — она принимает форму содержащего ее сосуда. Основное характерное свойство жидкости — текучесть — тесно связано с такой важной характеристикой, как вязкость.

 

 

Тепловое движение молекул жидкости менее интенсивно, чем молекул газа, и его нельзя считать полностью хаотичным. Причина этого — сравнительно небольшие расстояния между молекулами жидкости и, как следствие, значительные силы притяжения. Эти силы не настолько велики, чтобы зафиксировать положение молекул друг относительно друга (как в твердом теле), но достаточны для обеспечения согласованности движения соседних молекул. Такая упорядоченность называется ближним порядком в жидкости.

Движение молекул в жидкости представляет собой нерегулярные колебания около некоторых положений равновесия. Время от времени эти колебания прерываются скачкообразным переходом в новые положения равновесия, отстоящие от старых на расстояния порядка размеров молекулы. Характер и частота колебаний определяются химическим строением молекул и интенсивностью сил взаимодействия между ними. Различают несколько групп жидкостей с различными свойствами: простые жидкости, жидкие металлы, органические жидкости с большими молекулами, жидкие кристаллы, ассоциированные жидкости и т. п. Лучше всего изучены простые жидкости, состоящие из атомов или сферических молекул (аргон, метан). Жидкости из двухатомных молекул, содержащих одинаковые атомы (водород, азот), изучены хуже. Структура и свойства многоатомных жидкостей со сложными взаимодействиями между молекулами исследованы пока недостаточно. Из непростых жидкостей наиболее полно изучена вода, которая относится к ассоциированным жидкостям с водородными связями.

С физической точки зрения все группы жидкостей могут быть разбиты на три класса; нормальные (ньютоновские) жидкости, жидкие кристаллы и квантовые жидкости.

 

 

НЬЮТОНОВСКИЕ И НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ. Одно из наиболее характерных свойств жидкости — текучесть. Первопричиной текучести являются скачки молекул из одного положения равновесия в другое, которые совершаются непрерывно и в большом количестве по всему объему жидкости. Под действием постоянной внешней силы скачки совершаются преимущественно в направлении действия силы, т. е. в этом направлении возникает поток молекул — жидкость течет.

Жидкости, поведение которых подчиняется ньютоновскому закону трения, называются нормальными, или ньютоновскими, жидкостями, а все остальные, для которых этот закон не выполняется, — аномальными, или неньютоновскими, жидкостями. В аномальных жидкостях коэффициент вязкости непостоянен, более того, он обычно является нелинейной функцией от приложенной силы. Это приводит к весьма запутанной картине движения таких жидкостей. Поведение аномальных жидкостей резко отличается от поведения привычной воды даже при небольших скоростях движения. Некоторые аномальные жидкости вообще не воспринимаются нами в быту как жидкости. Таковы, например, обычные оконные стекла, представляющие собой не что иное, как переохлажденную неньютоновскую жидкость.
 

 

В отличие от газа, жидкость имеет поверхность, отделяющую ее от окружающей среды. Это порождает множество явлений, называемых поверхностными: смачиваемость, поверхностные натяжения, капиллярные явления.

 

 

ЖИДКОСТЬ, в отличие от газа, может иметь резкую границу, отделяющую ее от окружающей среды, так называемую свободную поверхность. Эта поверхность ведет себя как упругая растянутая пленка. И такое поведение (ведь реально никакой пленки нет!) легко объяснить. Как известно, между молекулами жидкости действуют слабые силы притяжения, упорядочивающие рядом расположенные молекулы в пределах 3 - 4 эффективных диаметров. «Сфера влияния» отдельной молекулы называется сферой молекулярного действия.

Рассмотрим две молекулы жидкости: одну в глубине жидкого объема, а другую — около поверхности. Сфера молекулярного действия поверхностной молекулы является неполной. Со стороны внутренней части жидкости притяжение молекулы сильнее, чем со стороны поверхности, и поэтому возникает сила F, направленная внутрь жидкости. Для того чтобы отдельная молекула смогла «выбраться из общей массы» на поверхность, ей необходимо преодолеть эту силу, т. е. совершить определенную работу. Это означает, что молекулы в поверхностном слое обладают дополнительной потенциальной энергией — поверхностной. Она входит как составная часть во внутреннюю энергию жидкости. Положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. Если внешние силы отсутствуют, то, значит, положению равновесия отвечает минимум площади поверхности жидкости. Стремление жидкости к положению с минимумом потенциальной энергии означает стремление ее к сокращению своей поверхности (и жидкость способна это сделать, поскольку обладает текучестью).

Если жидкость примыкает к поверхности твердого тела, то форма поверхности жидкости определяется не только взаимным притяжением молекул жидкости, но и притяжением со стороны атомов, образующих твердое тело. Это приводит к образованию мениска — искривленной поверхности жидкости вблизи стенок содержащего ее сосуда. Угол в между смоченной поверхностью стенки и мениском называется краевым углом. Если θ < 90°, то говорят, что жидкость смачивает стенку, если θ > 90°, то — не смачивает. Для смачивающей жидкости мениск имеет вогнутую форму, для несмачивающей — выпуклую. Молекула поверхностного слоя будет находиться в равновесии только в том случае, если результирующая сила притяжения F, действующая на нее со стороны других атомов и молекул, будет перпендикулярна поверхности жидкости. Следовательно, смачивание жидкостью стенки означает, что сила притяжения молекулы со стороны атомов стенки F_cm больше, чем сила притяжения со стороны других молекул воды F_ж. Несмачиванию, соответственно, отвечает случай, когда притяжение стенки слабее, чем притяжение жидкости.

 

 

В узких сосудах вся поверхность жидкости оказывается искривленной. Такие узкие трубки называются капиллярами (от латинского capillaris — «волос»). Они интересны тем, что при погружении их одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, мы обнаружим нарушение закона сообщающихся сосудов! Уровень жидкости в капилляре при смачивании будет выше, чем в сосуде, а при несмачивании — ниже. Причиной этого является изменение давления в жидкости за счет искривления поверхности. Под выпуклой поверхностью давление больше, а под вогнутой — меньше, чем под плоской поверхностью. Дополнительное давление, называемое капиллярным, уравновешивает гидростатическое давление, обусловленное разностью уровней внутри и снаружи от капилляра. Для смачивающей жидкости это означает подъем ее вверх, против силы тяжести. Именно такой подъем жидкости лежит в основе «закона промокашки» — впитывания жидкости пористыми телами. За счет капиллярного давления происходит подъем грунтовых вод в почве, чернил в авторучке и растительных соков в стволах деревьев. Капиллярное давление в круглом капилляре можно найти по формуле Лапласа:

 

 

где R — радиус кривизны мениска, который можно вычислить, зная краевой угол θ и радиус капилляра г.