В помощь арифметике
Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 9882 выполняется так:
988 • 988 = (988 + 12) • (988 - 12) + 122 = 1000 • 976 + 144 = 976 144.
Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:
а2 = а2 —
b2 + b2 = (а + b) (а — b) + b2.
На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.
Например:
272 = (27 + 3) (27 — 3) + З2 = 729,
632 = 66 • 60 + З2 = 3969,
182 = 20 • 16 + 22 = 324,
372 = 40 • 34 + З2 = 1369,
482 = 50 • 46 + 22 = 2304,
542 = 58 • 50 + 42 = 2916.
Далее, умножение 986 • 997 выполняется так:
986 • 997 = (986 — 3) • 1000 + 3 • 14 = 983 042.
На чем основан этот прием? Представим множители в виде
(1000 - 14) • (1000 - 3)
и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:
1000 • 1000 - 1000 • 14 - 1000 • 3 + 14 • 3.
Делаем преобразования:
1000(1000 - 14) - 1000 • 3 + 14 • 3 = 1000 • 986 - 1000 • 3 + 14 • 3 = 1000 (986 - 3) + 14 • 3.
Последняя строка и изображает прием вычислителя.
Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение
783 • 787
выполняется так:
78 • 79 = 6162; 3 • 7 = 21;
результат:
616221.
Обоснование способа ясно из следующих преобразований:
(780 + 3) (780 + 7) = 780 • 780 + 780 • 3 + 780 • 7 + 3 • 7 = 780 • 780 + 780 • 10 + 3 • 7 = 780 (780 + 10) + 3 • 7 = 780 • 790 + 21 = 616200 + 21.
Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще:
783 • 787 = (785 - 2) (785 + 2) = 7852 — 4 = 616225 - 4 = 616221.
В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.
Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:
352; 3 • 4 = 12. Отв. 1225.
652; 6 • 7 = 42. Отв. 4225.
752; 7 • 8 = 56. Отв. 5625.
Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.
Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так:
10а+ 5.
Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен
100а2 + 100а + 25 = 100а(а + 1) + 25.
Выражение а(а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 — все равно, что приписать к числу 25.
Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и 1/2. Например:
(31/2)2 = 3,52= 12,25 = 121/2,
(71/2)2 = 561/4, (81/2)2 = 721/4 и т. п.
Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.
Например, 462 = 2116 ; 463 = 97336.
Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.
Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:
10а+ 6, 10
b + 6 и т. д.,
где а и b — целые числа.
Произведение двух таких чисел равно
100ab
+ 60b + 60а + 36 = 10(10ab + 6b + 6а) + 30 + 6 = 10(10аb + 6b + 6а + 3) + 6.
Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.
Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.
Сказанное дает нам право утверждать, что, например,
3862567 оканчивается на 6,
815723
» » 5,4911732
» » 1 и т. п.
Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и — что, вероятно, для многих будет неожиданностью, — число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.
Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:
100а+ 76, 100
b + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
10000а
b + 7600b + 7600а + 5776 = 10000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 = 100(100аb + 76b + 76а + 57) + 76.
Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.
Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:
3762
= 141376, 5763 = 191102976 и т. п.
Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.
Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.
Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через
k. Тогда искомое трехзначное число изобразится:
100
k + 76.
Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:
1000а + 100
k + 76, 1000b + 100k + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
1000
000ab + 100000ak + 100000bk + 76000а + 76000b + 10000k2 + 15200k + 5776.
Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100
k + 76, если разность
15200
k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100(k + 7)
делится на 1000. Это, очевидно, будет только при
k = 3.Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:
3762
= 141376.
(10000а + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)
оканчивается на 1000l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены
752000l + 141376.
Произведение оканчивается на 1000l + 376, если разность
752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)
делится на 10000. Это, очевидно, будет только при l = 9.
Искомая четырехзначная группа цифр 9376.
Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109376 и т. д.
Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим «число», у которого бесконечно много цифр:
... 7109376.
Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение («столбиком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислить одну цифру за другой — сколько угодно цифр.
Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению
х2
= х.
В самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного «числа» оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» х2, где х = ...
7109376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х2 = х.Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на
76. Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:
5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890625 и т. д.
В результате мы сможем написать еще одно бесконечное «число»
... 2890625,
также удовлетворяющее уравнению х2 = х. Можно было бы показать, что это бесконечное «число» «равно»
|
( |
( | (52)2 | ) | ) | ||
| 2 | 2 | |||||
Полученный интересный результат на языке бесконечных «чисел» формулируется так: уравнение х2 = х имеет (кроме обычных х = 0 и х = 1) два «бесконечных» решения:
х = ... 7109376 и х = ... 2890625,
а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет.
СТАРИННАЯ НАРОДНАЯ ЗАДАЧА
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежавший им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
РЕШЕНИЕ
Задача не поддается прямому переводу «на алгебраический язык», для нее нельзя составить уравнения. Приходится решать ее особым путем, так сказать, по свободному математическому соображению. Но и здесь алгебра оказывает арифметике существенную помощь.
Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи
n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц?Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из а десятков и
b единиц, т. е. (10а + b)2, равен
100а2
+ 20ab + b2 = (10а2 + 2аb) • 10 + b2.
Десятков в этом числе
10а2 + 2аb, да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10а2 + 2ab делится на 2 — это число четное. Поэтому число десятков, заключающихся в (10а + b)2, будет нечетным, лишь если в числе b2 окажется нечетное число десятков. Вспомним, что такое b2. Это — квадрат цифры единиц, т. е. одно из следующих 10 чисел:
0,
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Среди них нечетное число десятков имеют только 16 и 36 — оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат
100а2 + 20а
b + b2
может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Теперь легко найти ответ на вопрос задачи. Ясно, что ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил, следовательно, на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен дополучить от своего компаньона 2 рубля.
Доплата равна 2 рублям.
Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот иди иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны. Выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен.
Пусть многозначное число
N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.
N = a+10b +
100с + 1000d + ... = а + 10(b + 10с + 100d + ...),
где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из
N число 11(Ь + 10с + 100d + ...), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,
а
- b - 10(с + 10d + ...),
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число
N. Прибавив к этой разности число 11(с + 10d + ...), кратное одиннадцати, мы получим число
а —
b + с + 10(d + ...),
также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число
N. Вычтем из него число 11(d + ...) кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число
а —
b + с — d + ... = (а + с + ...) — (b + d + ...),
имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число
N.Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно
11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.Испытаем, например, число 87635064:
8 + 6 + 5 + 6 = 25,
7 + 3 + 0 + 4
= 14,25 — 14
= 11.
Значит, данное число делится на 11.
Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно
11, в противном случае — нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани:
5 + 28 = 33.
Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:
528 : 11 =
48.
Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число
N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные) числа, которые обозначим (справа налево) через а, b, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде
N = a +
100b + 10000с + ... = а + 100(b + 100с + ...).
Вычтем из
N число 99(b + 100с + ...), кратное одиннадцати. Полученное число
а + (
b + 100с + ...) = а + b + 100(с + ...)
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число
N. Из этого числа вычтем число 99(с + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число
а +
b + с + ...
З
А Д А Ч А
Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?
Р
Е Ш Е Н И Е
Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) —
через 6. Тогда все число будет равно:
1000а + 100а + 10
b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число это делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на
112. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что
а +
b = 11,
так как каждая из цифр а,
b меньше десяти.Последняя цифра
b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения:
0, 1, 4, 5, 6,
9.
Поэтому для цифры а, которая равна 11 —
b, находим такие возможные значения:
11,
10, 7, 6, 5, 2.
Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:
b = 4, а = 7;
b = 5, а = 6;
b = 6, а = 5;
b = 9,
а = 2.
Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырех чисел:
7744,
6655, 5566, 2299.
Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами:
число 6655 делится на 5, но не делится на 25;
число 5566 делится на 2, но не делится на 4;
число 2299 = 121
• 19 также не является квадратом.Остается только одно число 7744 = 882; оно и дает решение задачи.
Обосновать следующий признак делимости на 19. Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.
Р Е Ш Е Н И Е
Всякое число
N можно представить в видеN = 10x + y,
где х — число десятков (не цифра в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе), у — цифра единиц. Нам нужно показать, что
N кратно 19 тогда и только тогда, когда
N'
= x + 2y
кратно 19. Для этого умножим
N' на 10 и из этого произведения вычтем N; получим:
10N'
- N = 10(x + 2у) - (10x + у) = 19y.
Отсюда видно, что если N' кратно 19, то и
N = 10N' - 19y
делится без остатка на 19; и обратно, если
N делится без остатка на 19, то
10N' = N + 19y
кратно 19, а тогда, очевидно, и
N' делится без остатка на 19.Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47045881.
Применяем последовательно наш признак делимости:
4704588 | 1
+ 2
47045 | 90
+ 18
4706 | 3
+ 6
471 | 2
+ 4
47 | 5
+ 10
5 | 7
+ 14
19
.
Так как 19 делится на 19 без остатка, то кратны 19 и числа 57,
475, 4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881,Итак, наше число делится на 19.
Вот задача, предложенная известным французским математиком Софией Жермен:
Доказать, что каждое число вида а4 + 4 есть составное (если а не равно 1).
Р Е Ш Е Н И Е
Доказательство вытекает из следующих преобразований:
а4 + 4 = а4 + 4а2 + 4 - 4а2= (а2 + 2)2 — 4а2 = (а2 + 2)2 - (2а)2 = (а2 + 2 — 2а) (а2 + 2 + 2а).
Число а4 + 4 может быть, как мы убеждаемся, представлено в виде произведения двух множителей, не равных ему самому и единице, иными словами, оно — составное.
Число так называемых простых чисел, т. е. целых чисел, больших единицы, не делящихся без остатка ни на какие другие целые числа, кроме единицы и самих себя, бесконечно велико.
Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ..., ряд их простирается без конца. Вклиниваясь между числами составными, они разбивают натуральный ряд чисел на более или менее длинные участки составных чисел. Какой длины бывают эти участки? Следует ли где-нибудь подряд, например, тысяча составных чисел, не прерываясь ни одним простым числом?
Можно доказать, — хотя это и может показаться неправдоподобным, — что участки составных чисел между простыми бывают любой длины. Нет границы для длины таких участков: они могут состоять из тысячи, из миллиона, из триллиона и т. д. составных чисел.
Для удобства будем пользоваться условным символом
n!, который обозначает произведение всех чисел от 1 до n включительно. Например 5! = 1•2•3•4•5. Мы сейчас докажем, что ряд
[(n + 1)! + 2], [(n + 1)! + 3], [(n + 1)! + 4], ...
до [(n + 1)! + n + 1]
включительно состоит из га последовательных составных чисел.
Числа эти идут непосредственно друг за другом в натуральном ряду, так как каждое следующее на 1 больше предыдущего. Остается доказать, что все они — составные.
Первое число
(n + 1)! + 2 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • ... • (n + 1) + 2
— четное, так как оба его слагаемых содержат множитель 2.. А всякое четное число, большее 2, — составное.
Второе число
(n + 1)! + 3 = 1 • 2 - 3 - 4 • 5 • ... • (n + 1) + 3
состоит из двух слагаемых, каждое из которых кратно 3. Значит, и это число составное.
Третье число
(n + 1)! + 4 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • ... • (n + 1) + 4
делится без остатка на 4, так как состоит из слагаемых, кратных 4.
Подобным же образом устанавливаем, что следующее число
(n + 1)! + 5
кратно 5 и т. д. Иначе говоря, каждое число нашего ряда содержит множитель, отличный от единицы и его самого; оно является, следовательно, составным.
Если вы желаете написать, например, пять последовательных составных чисел, вам достаточно в приведенный выше ряд подставить вместо n число 5. Вы получите ряд
722, 723, 724, 725, 726.
Но это — не единственный ряд из пяти последовательных составных чисел. Имеются и другие, например,
62, 63, 64, 65, 66.
Или еще меньшие числа:
24, 25, 26, 27, 28.
Попробуем теперь решить задачу:
Написать
десять последовательных
составных чисел.
Р
На основании ранее сказанного устанавливаем, что в качестве первого из искомых десяти чисел можно взять
1 • 2
• 3 • 4 • ... • 10 • 11 + 2 = 39816802.
Искомой серией чисел, следовательно, может служить такая:
39816802,
39816803, 39816804 и т. д.
Однако существуют серии из десяти гораздо меньших последовательных составных чисел. Так, можно указать на серию даже не из десяти, а из тринадцати составных последовательных чисел уже во второй сотне:
114,
115, 116, 117 и т. д. до 126 включительно.
Существование сколь угодно длинных серий последовательных составных чисел способно возбудить сомнение в том, действительно ли ряд простых чисел не имеет конца. Не лишним будет поэтому привести здесь доказательство бесконечности ряда простых чисел.
Доказательство это принадлежит древнегреческому математику Евклиду и входит в его знаменитые «Начала». Оно относится к разряду доказательств «от противного». Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквой
N. Составим произведение
1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • ...
• N = N!
и прибавим к нему 1. Получим:
N!
+ 1.
Это число, будучи целым, должно содержать хотя бы один простой множитель, т. е. должно делиться хотя
бы на одно простое число. Но все простые числа, по предположению, не превосходят N, число же N! + 1 не делится без остатка ни на одно из чисел, меньших или равных N, — всякий раз получится остаток 1.Итак, нельзя было принять, что ряд простых чисел конечен: предположение это приводит к противоречию. Таким образом, какую бы длинную серию последовательных составных чисел мы ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется еще бесконечное множество простых чисел.
Одно дело быть уверенным в том, что существуют как угодно большие простые числа, а другое дело — знать, какие числа являются простыми. Чем больше натуральное число, тем больше вычислений надо провести, чтобы узнать, является оно простым или нет. Вот наибольшее число, о котором в настоящее время известно, что оно просто:
22281 - 1.
Это число имеет около семисот десятичных знаков. Вычисления, с помощью которых было установлено, что это число является простым, проводились на современных вычислительных машинах (см. гл.
I, II).
В вычислительной практике встречаются такие чисто арифметические выкладки, выполнение которых без помощи облегчающих методов алгебры чрезвычайно затруднительно. Пусть требуется, например, найти результат таких действий:
2 : (1 + 1 : 90000000000).
(Вычисление это необходимо для того, чтобы установить, вправе ли техника, имеющая дело со скоростями движения тел, малыми по сравнению со скоростью распространения электромагнитных волн, пользоваться прежним законом сложения скоростей, не считаясь с теми изменениями, которые внесены в механику теорией относительности.
Согласно старой механике тело, участвующее в двух одинаково направленных движениях со скоростями v1 и v2 километров в секунду, имеет скорость (v1 + v2) километров в секунду. Новое же учение дает для скорости тела выражение
(v1 + v2) : (1 + v1 • v2 : c2) километров в секунду,
где с — скорость распространения света в пустоте, равная приблизительно 300000 километров в секунду. В частности, скорость тела, участвующего в двух одинаково направленных движениях, каждое со скоростью 1 километр в секунду, по старой механике равно 2 километрам в секунду, а по новой как раз
2
: (1 + 1 : 90000000000) километров в секунду.
Насколько же разнятся эти результаты? Уловима ли разница для тончайших измерительных приборов? Для выяснения этого важного вопроса и приходится выполнить указанное выше вычисление.)
Сделаем это вычисление двояко: сначала обычным арифметическим путем, а затем покажем, как получить результат приемами алгебры. Достаточно одного взгляда на приведенные далее длинные ряды цифр, чтобы убедиться в неоспоримых преимуществах алгебраического способа.
Прежде всего преобразуем нашу «многоэтажную» дробь:
2 : (1 + 1 : 90000000000) = 180000000000 : 90000000001.
Произведем теперь деление числителя на знаменатель:
180 000 000 000
| 90 000 000 00190 000 000 001 1,999 999 999 977...
899 999 999 990
810 000 000 009
899 999 999 810
810 000 000 009
899 999 998 010
810 000 000 009
899 999 980 010
810 000 000 009
899 999 800 010
810 000 000 009
899 998 000 010
810 000 000 009
899 980 000 010
810 000 000 009
899 800 000 010
810 000 000 009
898 000 000 010
810 000 000 009
880 000 000 010
810 000 000 009
700 000 000 010
630 000 000 007
70 000 000 003
Вычисление, как видите, утомительное, кропотливое; в нем легко запутаться и ошибиться. Между тем, для решения задачи важно в точности знать, на котором именно месте обрывается ряд девяток и начинается серия других цифр.
Сравните теперь, как коротко справляется с тем же расчетом алгебра. Она пользуется следующим приближенным равенством: если а — весьма малая дробь, то
1 : (1 + a) ≈ 1 - a,
где знак
≈ означает «приближенно равно».Убедиться в справедливости этого утверждения очень просто: сравним делимое 1 с произведением делителя на частное:
1 = (1 + а) (1 — а),
т. е.
1 = 1 - а2.
Так как
а — весьма малая дробь (например, 0,001), то а2 —
еще меньшая дробь (0,000001), и ею можно пренебречь.
Применим
сказанное к нашему
расчету:
2 : (1 + 1 : 90000000000) = 2 : (1 + 1 : 9 • 1010) ≈ 2(1 -
0,111... • 10-10) = 2 - 0,0000000000222... =
1,9999999999777...
Мы пришли
к тому же результату, что и раньше, но гораздо более коротким путем.
(Читателю,
вероятно, интересно знать, каково значение полученного результата в
поставленной нами задаче из области механики. Этот результат показывает,
что ввиду малости рассмотренных скоростей по сравнению со скоростью
света уклонение от старого закона сложения скоростей практически не
обнаруживается: даже при таких огромных скоростях, как 1 км/сек,
оно сказывается на одиннадцатой цифре определяемого числа, а в обычной
технике ограничиваются 4—6 цифрами. Мы вправе поэтому утверждать, что
новая, эйнштейнова, механика практически ничего не меняет в технических
расчетах, относящихся к «медленно» (по сравнению с распространением
света) движущимся телам. Есть, однако, одна область современной жизни,
где этот безоговорочный вывод следует принимать с осторожностью. Речь
идет о космонавтике. Ведь уже сегодня мы достигли скоростей порядка 10 км/сек (при движении спутников и ракет). В этом случае
расхождение классической и эйнштейновой механики скажется уже на девятом
знаке. А ведь не за горами еще большие скорости...).
Наряду со случаями, когда алгебра оказывает арифметике существенные услуги, бывают и такие, когда вмешательство алгебры вносит лишь ненужное усложнение. Истинное знание математики состоит в умении так распоряжаться математическими средствами, чтобы избирать всегда самый прямой и надежный путь, не считаясь с тем, относится ли метод решения задачи к арифметике, алгебре, геометрии и т. п. Полезно будет поэтому рассмотреть случай, когда привлечение алгебры способно лишь запутать решающего. Поучительным примером может служить следующая задача.
Найти наименьшее из всех тех чисел, которые при делении
на 2 дают в остатке 1,
» 3 » » » 2,
» 4 » » » 3,
» 5 » » » 4,
» 6 » » » 5,
» 7 » » » 6,
» 8 » » » 7,
» 9 » » » 8.
Р Е Ш Е Н И Е
Задачу эту предложили мне со словами: «Как вы решили бы такую задачу? Здесь слишком много уравнений; не выпутаться из них».
Ларчик просто открывается; никаких уравнений, никакой алгебры для решения задачи не требуется — она решается несложным арифметическим рассуждением.
Прибавим к искомому числу единицу. Какой остаток даст оно тогда при делении на 2? Остаток 1 + 1 = 2; другими словами, число разделится на 2 без остатка.
Точно так же разделится оно без остатка и на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8 и на 9. Наименьшее из таких чисел есть 9 • 8 • 7 • 5 = 2520, а искомое число равно 2519, что нетрудно проверить испытанием.
|
|
|
|
|
|
