Седьмое математическое действие
Мы упоминали уже, что пятое действие — возвышение в степень — имеет два обратных. Если
ab = c,
то разыскание а есть одно обратное действие — извлечение корня; нахождение же
b — другое, логарифмирование. Полагаю, что читатель этой книги знаком с основами учения о логарифмах в объеме школьного курса. Для него, вероятно, не составит труда сообразить, чему, например, равно такое выражение:|
|
ab |
|
alg |
Нетрудно
понять, что если основание логарифмов а возвысить в степень логарифма
числа
Для чего были придуманы логарифмы? Конечно, для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорит о своих побуждениях:
«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».
В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).
Не без основания писал Лаплас, что «изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Великий математик говорит об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.
Нам, привыкшим к употреблению логарифмов и к доставляемым ими облегчениям выкладок, трудно представить себе то изумление и восхищение, которое вызвали они при своем появлении. Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера: «Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление». Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:
«Я предпринял это долгое путешествие с единственной целью видеть вас и узнать, помощью какого орудия остроумия и искусства были вы приведены к первой мысли о превосходном пособии для астрономии
— логарифмах. Впрочем, теперь я больше удивляюсь тому, что никто не нашел их раньше, — настолько кажутся они простыми после того, как о них узнаешь».
Ранее изобретения логарифмов потребность в ускорении выкладок породила таблицы иного рода, с помощью которых действие умножения заменяется не сложением, а вычитанием. Устройство этих таблиц основано на тождестве
ab = (a + b)2:4 - (a - b)2:4,
в верности которого легко убедиться, раскрыв скобки.
Имея готовые четверти квадратов, можно находить произведение двух чисел, не производя умножения, а вычитая из четверти квадрата суммы этих чисел четверть квадрата их разности. Те же таблицы облегчают возвышение в квадрат и извлечение квадратного корня, а в соединении с таблицей обратных чисел упрощают и действие деления. Их преимущество перед таблицами логарифмическими состоит в том, что с помощью их получаются результаты точные, а не приближенные. Зато они уступают логарифмическим в ряде других пунктов, практически гораздо более важных. В то время как таблицы четвертей квадратов позволяют перемножать только два числа, логарифмы дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, а кроме того — возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем (целым или дробным). Вычислять, например, сложные проценты с помощью таблиц четвертей квадратов нельзя.
Тем не менее таблицы четвертей квадратов издавались и после того, как появились логарифмические таблицы всевозможных родов. В 1856 г. во Франции вышли таблицы под заглавием:
«Таблица квадратов чисел от 1 до 1000 миллионов, помощью которой находят точное произведение чисел весьма простым приемом, более удобным, чем помощью логарифмов. Составил Александр Коссар».
Идея эта возникает у многих, не подозревающих о том, что она уже давно осуществлена. Ко мне раза два обращались изобретатели подобных таблиц как с новинкой и очень удивлялись, узнав, что их изобретение имеет более чем трехсотлетнюю давность.
Другим, более молодым соперником логарифмов являются вычислительные таблицы, имеющиеся во многих технических справочниках. Это — сводные таблицы, содержащие следующие графы: квадраты чисел, кубы, квадратные корни, кубические корни, обратные числа, длины окружности и площади кругов
для чисел от 2 до 1000. Для многих технических расчетов таблицы эти очень удобны, однако они не всегда достаточны; логарифмические имеют гораздо более обширную область применения.
В наших школах еще не столь давно употреблялись 5-значные логарифмические таблицы. Теперь перешли на 4-значные, так как они вполне достаточны для технических расчетов. Но для большинства практических надобностей можно успешно обходиться даже 3-значными мантиссами: ведь обиходные измерения редко выполняются более чем с тремя знаками.
Мысль о достаточности более коротких мантисс осознана сравнительно недавно. Я помню еще время, когда в наших школах были в употреблении увесистые томы 7-значных логарифмов, уступившие свое место 5-значным лишь после упорной борьбы. Но и 7-значные логарифмы при своем появлении (1794) казались непозволительным новшеством. Первые десятичные логарифмы, созданные трудом лондонского математика Генри Бригга (1624), были 14-значные. Их сменили спустя несколько лет 10-значиые таблицы голландского математика Андриана Бланка.
Как видим, эволюция ходовых логарифмических таблиц шла от многозначных мантисс к более коротким и не завершилась еще в наши дни, так как и теперь многими не осознана та простая мысль, что точность вычислений не может превосходить точности измерений.
Укорочение мантисс влечет за собой два важных практических следствия:
1) заметное уменьшение объема таблиц и
2) связанное с этим упрощение пользования ими, а значит, и ускорение выполняемых с помощью их вычислений. Семизначные логарифмы чисел занимают около 200 страниц большого формата, 5-значные — 30 страничек вдвое меньшего формата, 4-значные занимают вдесятеро меньший объем, умещаясь на двух страницах большого формата, 3-значные же могут поместиться на одной странице.
Что же касается быстроты вычислений, то установлено, что, например, расчет, выполняемый по 5-значным таблицам, требует втрое меньше времени, чем по 7-значным.
Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются 3- и 4-значными таблицами, то, с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14-значные логарифмы Бригга. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, — тем точнее, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14-значных логарифмов; но среди 500 всевозможных образцов логарифмических таблиц, вышедших в свет со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Назовем, например, 20-значные логарифмы чисел от 2 до 1200, изданные во Франции Калле (1795). Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков — настоящие логарифмические диковинки, о существовании которых, как я убедился, не подозревают и многие математики.
Вот эти логарифмы-исполины; все они — не десятичные, а натуральные:
48-значные таблицы Вольфрама для чисел до 10 000;
61-значные таблицы Шарпа;
102-значные таблицы Паркхерста и, наконец, логарифмическая сверхдиковинка:
260-значные логарифмы Адамса.
В последнем случае мы имеем, впрочем, не таблицу, а только так называемые натуральные логарифмы пяти чисел: 2, 3, 5, 7 и 10 и переводный (260-значный) множитель для перечисления их в десятичные. Нетрудно, однако, понять, что, имея логарифмы этих пяти чисел, можно простым сложением или умножением получить логарифмы множества составных чисел; например, логарифм 12 равен сумме логарифмов 2, 2 и 3 и т. п.
К логарифмическим диковинкам можно было бы с полным основанием отнести и счетную линейку — «деревянные логарифмы», — если бы этот остроумный прибор не сделался благодаря своему удобству столь же обычным счетным орудием для техников, как десятикосточковые счеты для конторских работников. Привычка угашает чувство изумления перед прибором, работающим по принципу логарифмов и тем не менее не требующим от пользующихся им даже знания того, что такое логарифм.
Самый поразительный из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками, без сомнения следующий. Предуведомленные афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, вы заготовляете дома путем терпеливых выкладок 31-ю степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-значным числовым линкором. В надлежащий момент вы обращаетесь к счетчику со словами:
— А попробуйте извлечь корень 31-й степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.
Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже написан результат: 13.
Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-й степени, да еще в уме, да еще с молниеносной быстротой!..
Вы изумлены, уничтожены, а между тем во всем Ртом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13,
которое в 31-й степени дает 35-значный результат. Числа, меньшие 13, дают меньше 35-цифр, большие — больше.Откуда, однако, счетчик знал это? Как разыскал он число 13? Ему помогли логарифмы, двузначные логарифмы, которые он помнит наизусть для первых 15—20 чисел. Затвердить их вовсе не так трудно, как. кажется, особенно если пользоваться тем, что логарифм составного числа равен сумме логарифмов его простых множителей. Зная твердо логарифмы 2, 3 и 7, вы уже знаете логарифмы чисел первого десятка; для второго десятка требуется помнить логарифмы еще четырех чисел.
Как бы то ни было, эстрадный вычислитель мысленно располагает следующей табличкой двузначных логарифмов:
|
Числа |
Лог. |
Числа |
Лог. |
|
2 |
0,30 |
11 |
1,04 |
|
3 |
0,48 |
12 |
1,08 |
|
4 |
0,60 |
13 |
1,11 |
|
5 |
0,70 |
14 |
1,15 |
|
6 |
0,78 |
15 |
1,18 |
|
7 |
0,85 |
16 |
1,20 |
|
8 |
0,90 |
17 |
1,23 |
|
9 |
0,95 |
18 |
1,26 |
|
19 |
1,28 |
Изумивший вас математический трюк состоял в следующем:
Искомый логарифм может заключаться между
34/31 и 34,99/31 или между 1,09 и 1,13.
В этом интервале имеется логарифм только одного целого числа, именно 1,11 — логарифм 13. Таким путем и найден ошеломивший вас результат. Конечно, чтобы быстро проделать все это в уме, надо обладать находчивостью и сноровкой профессионала, но по существу дело, как видите, достаточно просто. Вы и сами можете теперь проделывать подобные фокусы, если не в уме, то на бумаге.
Пусть вам предложена задача: извлечь корень 64-й степени из 20-значного числа.
Не осведомившись о том, что это за число, вы можете объявить результат извлечения: корень равен 2.
В самом деле 
он должен следовательно, заключаться между
19/64 и 19,99/64, т. е. между
0,29 и 0,32. Такой логарифм для целого числа только один: 0,30..., т. е.
логарифм числа 2.
Вы Даже можете окончательно поразить загадчика, сообщив ему, какое число он собирался вам продиктовать: знаменитое «шахматное» число
264 = 18 446744 073 709 551 616.
З А Д А Ч А
Количество так называемого «поддерживающего» корма (т. е. то наименьшее количество его, которое лишь пополняет траты организма на теплоотдачу, работу внутренних органов, восстановление отмирающих клеток и т. п.) пропорционально наружной поверхности тела животного. Зная его, определите калорийность поддерживающего корма для вола, весящего 420 кг, если при тех же условиях вол 630 кг весом нуждается в 13 500 калориях.
Р Е Ш Е Н И Е
Чтобы решить эту практическую задачу из области животноводства, понадобится, кроме алгебры, привлечь на помощь и геометрию. Согласно условию задачи искомая калорийность х пропорциональна поверхности (s) вола, т. е.
x:13500 = s:s1,
где s1 — поверхность тела вола, весящего 630 кг. Из геометрии мы знаем, что поверхности (s) подобных тел относятся, как квадраты их линейных размеров (
l), а объемы (и, следовательно, веса) — как кубы линейных размеров. Поэтому
откуда
С помощью логарифмических таблиц находим
:
x
= 10300.
Вол нуждается в 10 300 калориях.
Музыканты редко увлекаются математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держаться от нее подальше. Между тем музыканты — даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, «алгеброй гармонию», — соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.
Позволю себе по этому поводу привести отрывок из статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхенвальда.
«Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями,— но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой».
Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Положим, что нота
do самой низкой октавы — будем ее называть нулевой октавой — определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n • 2m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами р, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т. д.; 12-й тор будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в
большее число колебаний, чем предыдущий,
то число колебаний любого тона можно
выразить формулой
Логарифмируя эту формулу, получаем:
или
а принимая число колебаний самого низкого
do за единицу (n - 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg2 = 1), имеем:
lg Npm = m + p/12.
Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков
(Умноженные на 12). Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве (Делённый на 12) — мантиссу этого логарифма».Например, — поясним от себя, — в тоне
sol третьей октавы, т. е. в числе 3 + 7/12(≈ 3,583), число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, а 7/12(≈0,583) — мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в 23,683, т. е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона do первой октавы.
Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Кузьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.
Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом — по логарифмической шкале.
Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей, и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически — его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости —1 бел, 2 бела и т. д. (практически — 10 децибел, 20 децибел и т. д.) — составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее — энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.
Дело станет яснее, если рассмотрим несколько примеров.
Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь — в 6,5 бела, рычанье льва — в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в
106,5-1 = 105,5 = 316 000 раз;
львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в
108.7-6.5= 102,2 = 158 раз.
Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в
11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10 - 100 раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое — следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.
Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
З А Д А Ч А
Причина того, что наполненные газом (часто называемые неправильно «полуваттными») лампочки дают более яркий свет, чем пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в различной температуре нити накала. По правилу, установленному в физике, общее количество света, испускаемое при белом калении, растет пропорционально 12-й степени абсолютной температуры. Зная это, проделаем такое вычисление: определим, во сколько раз «полуваттная» лампа, температура нити накала которой 2500° абсолютной шкалы (т. е. при счете от -273° Ц), испускает больше света чем пустотная с нитью, накаленной до 2200°,
Р Е Ш Е Н И Е
Обозначив искомое отношение через х, имеем уравнение
x = (2500:2200)12 = (25:22)12,
откуда
lg
х = 12 (lg 25 — lg 22); x = 4,6.
Наполненная газом лампа испускает света в 4,6 раза больше, нежели пустотная. Значит, если пустотная дает свет в 50 свечей, то наполненная газом при тех же условиях даст 230 свечей.
Сделаем еще расчет: какое повышение абсолютной температуры (в процентах) необходимо для удвоения яркости лампочки?.
Р
Е Ш Е Н И Е
Составляем уравнение
1 + (x:100)12 = 2,
откуда
lg (1 + x:100) = lg 2:12 и x = 6%
Наконец, третье вычисление: насколько — в процентах— возрастет яркость лампочки, если температура ее нити (абсолютная) поднимется на 1%?
Р
Е Ш Е Н И Е
Выполняя с помощью логарифмов вычисление
x = 1,0112,
находим:
x = 1,13.
Яркость возрастет на 13%.
Проделав вычисление для повышения температуры на 2%, найдем увеличение яркости на 27%, при повышении температуры на 3% — увеличение яркости на 43%.
Отсюда ясно, почему в технике изготовления электролампочек так заботятся о повышении температуры нити накала, дорожа каждым лишним градусом.
Кто не слыхал о том легендарном числе пшеничных зерен, какое будто бы потребовал себе в награду изобретатель шахматной игры? Число это составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе 2 и т. д., все удваивая, до последнего, 64-го поля.
Однако с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную
сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Веньямина Франклина. Оно опубликовано в «Собрании разных сочинений Веньямина Франклина». Вот извлечение из него:
«Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131 000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31 000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4 060 000 фунтов стерлингов, из коих 1 060 000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3 000 000 — правлению Массачузетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов».
Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в
х = 1000 • 1,05100 фунтов.
Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов
lg x = lg
1000 + 100 lg 1,05 = 5,11893,
откуда
х
= 131 000
в согласии с текстом завещания. Далее, 31 000 фунтов в течение следующего столетия превратятся в
у = 31 000
• 1,05100,
откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:
у = 4 076 500
— сумму, несущественно отличающуюся от указанной в завещании.
Предоставляют читателю самостоятельно решить следующую задачу, почерпнутую из «Господ Головлевых» Салтыкова:
«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей».
Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и сделав допущение, что он произвел вычисление правильно (допущение маловероятное, так как едва ли Головлев знал логарифмы и справлялся со сложными процентами), требуется установить, поскольку процентов платил в то время ломбард.
В сберкассах процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в сберкассу положено 100 руб. из 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 руб. превратятся в 200 руб. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 рублей, если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 руб. вырастут в
100 руб. • 1,5 = 150 руб.
А еще через полгода — в
150 руб. • 1,5 = 225 руб.
Если присоединение делать каждые 1/3
года, то по истечении года 100 руб. превратятся в
100 руб. • (11/3)3 ≈ 237 руб. 03 коп.
Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д. Тогда из 100 руб. спустя год получится:
100 руб. • 1,110 ≈ 259 руб. 37 коп.
100 руб. • 1,01100 ≈ 270 руб. 48 коп.
100 руб. • 1,0011000 ≈ 271 руб. 69 коп.
Методами высшей математики доказывается, что при безграничном сокращении сроков присоединения наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно
271 руб. 83 коп.
Больше чем в 2,7183 раза капитал, положенный из 100%, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду.
Полученное число 2,718..., играющее в высшей математике огромную роль, — не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число π, — имеет особое обозначение: е. Это — число иррациональное: оно не может быть точно выражено конечным числом цифр, но вычисляется только приближенно, с любой степенью точности, с помощью следующего ряда:
| 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + ... |
| 1 | 1•2 | 1•2•3 | 1•2•3•4 | 1•2•3•4•5 |
Из приведенного выше примера с ростом капитала по сложным процентам легко видеть, что число
e есть предел выражения
(1 + 1/n)n
при беспредельном возрастании π.
По многим причинам, которых мы здесь изложить не можем, число е очень целесообразно принять за основание системы логарифмов. Такие таблицы («натуральных логарифмов») существуют и находят себе широкое применение к науке и технике. Те логарифмы-исполины из 48, из 61, из 102 и из 260 цифр, о которых мы говорили ранее, имеют основанием именно число е.
Число е появляется нередко там, где его вовсе не ожидали. Поставим себе, например, такую задачу:
На какие части надо разбить данное число а, чтобы произведение всех частей было наибольшее?
Мы уже знаем, что наибольшее произведение при постоянной сумме дают числа тогда, когда они равны между собой. Ясно, что число а надо разбить на равные части. Но на сколько именно равных частей? На две, на три, на десять? Приемами высшей математики можно установить, что наибольшее произведение получается, когда части возможно ближе к числу е.
Например, 10 надо разбить на такое число равных частей, чтобы части были возможно ближе к 2,718..., Для этого надо найти частное
| 10 |
= 3,678 ... |
| 2,718 ... |
Так как разделить на 3,678... равных частей нельзя, то приходится выбрать делителем ближайшее целое число 4. Мы получим, следовательно, наибольшее
произведение частей 10, если эти части равны 10/4, т. е. 2,5.
Значит,
(2,5)4 = 39,0625
есть самое большое число, какое может получиться от перемножения одинаковых частей числа 10, Действительно, разделив 10 на 3 или на 5 равных частей, мы получим меньшие произведения:
(10:3)3 = 37,
(10:5)5 = 32.
Число 20 надо для получения наибольшего произведения его частей разбить на 7 одинаковых частей, потому что
20:2,718 ... = 7,36 ≈ 7.
Число 50 надо разбить на 18 частей, а 100 — на 37, потому что
50:2,718... = 18,4,
100:2,718... = 36,8.
Число е играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):
Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой),
Формула Эйлера,
Закон охлаждения тел,
Радиоактивный распад и возраст Земли,
Колебания маятника в воздухе,
Формула Циолковского для скорости ракеты, Колебательные явления в радиоконтуре,
Рост клеток.
З А Д А Ч А
В добавление к тем математическим комедиям, с которыми читатель познакомился в главе Шестое математическое действие, приведем еще образчик того же рода, а именно «доказательство» неравенства 2 > 3. На этот раз в доказательстве участвует логарифмирование. «Комедия» начинается с неравенства
1/4
> 1/8,
бесспорно правильного. Затем следует преобразование:
(1/2)2 > (1/2)3,
также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,
2
lg10 (1/2) > 3 lg10 (1/2).
После сокращения на
lg10 (1/2) имеем: 2 > 3. В чем ошибка этого доказательства?
Р Е Ш Е Н И Е
Ошибка в том, что при сокращении на lg10 (1/2) не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так кaк lg10 (1/2) есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмировали при основании не 10, а другом, меньшем чем 1/2, то lg (1/2) был бы положителен, но мы не вправе были бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.]
3 А Д А Ч А
Закончим книгу остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.
Р Е Ш Е Н И Е
Покажем, как задача решается, сначала на
частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:
Легко удостовериться в правильности этого равенства. Действительно,
Если бы дано было число 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:
Как видим, мы используем здесь то, что при квадратном радикале показатель корня не пишется.
Общее решение задачи таково. Если данное число N, то
причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.
|
|
|
|
|
|
