Шестое математическое действие
Сложение и умножение имеют по одному обратному
действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое
действие – возведение в степень – имеет два обратных: разыскание основания и
разыскание показателя. Разыскание основания есть шестое математическое действие
и называется извлечением корня. Нахождение показателя – седьмое действие –
называется логарифмированием.
Извлечение корня обозначается знаком корня. Не все знают, что это видоизменение латинской буквы r, начальной в латинском слове, означающем «корень». Было время (XVI в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R, а рядом с ней ставилась первая буква латинских слов «квадратный» (q) или «кубический» (с), чтобы указать, какой именно корень требуется извлечь. Например, писали R.q 4352 вместо современного обозначения.
Старые русские меры.
Русские старинные меры длины во многом связаны с названием частей тела человека.
1. Пядь – расстояние между кончиками пальцев мизинца и большого при их наибольшем удалении;
2. Локоть – расстояние от локтя до первого сустава среднего пальца;
3. Маховая сажень – расстояние между кончиками пальцев вытянутых в противоположные стороны рук;
4. Косая сажень – расстояние от левого каблука до концов пальцев вытянутой вверх правой руки.
С XVIII в. до Великой Октябрьской революции в России действовала такая система мер длины.
1 миля = 7 верстам; 1 миля = 7,5 км.
1 верста = 500 саженям; 1 верста = 1,07 км.
1 сажень = 3 аршинам; 1 сажень = 2,13 км.
1 фут = 12 дюймам; 1 фут = 30, см; 1 дюйм = 2,54 см.
Франсуа Виет
(1540 - 1603)
Франсуа Виет был адвокатом. Однако увлекшись астрономией, которая требовала много сложных вычислений, Виет решил усовершенствовать свои знания по математике. Регулярные занятия привели его к тому, что он сделал ряд выдающихся открытий. Виет одним из первых стал систематически использовать буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений. Создатель алгебраической символики имел исключительный талант – расшифровывать тайнописи. Франция вела тогда затяжную войну с Испанией. Испанские шпионы пользовались для переписки чрезвычайно сложным шрифтом. Они были настолько уверены в его недоступности, что не беспокоились, когда их письма попадали к французам. Французский король Генрих III попроси Виета расшифровать эти письма. Ученому удалось справиться с этой трудной задачей. На протяжении двух лет французы перехватывали и читали шифровки испанских шпионов, что давала огромные преимущества французскому командованию. В конце концов испанцы поняли причины своих неудач и узнали имя того, кто раскрыл секрет их шифра. Испанские инквизиторы среагировали немедленно. Человек, по их мнению, не способен был собственными силами расшифровать их тайную переписку, и, следовательно Виет сделал это в союзе с нечистой силой. А дальше стандартная формула: казнь «по возможности мягко и без пролития крови», т. е. сожжение живым. Над ученым нависла смертельная опасность. К счастью для науки, новый король Генрих IV не выдал ученого. Умер Виет при загадочных обстоятельствах, вероятнее всего, здесь не обошлось без вмешательства инквизиции, которая умела тайно бороться с врагами.
Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое действие — возведение в степень — имеет два обратных: разыскание основания и разыскание показателя. Разыскание основания есть шестое математическое действие и называется извлечением корня. Нахождение показателя — седьмое действие — называется логарифмированием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время как сложение и умножение — только по одному, понять нетрудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами; то же верно относительно умножения; однако числа, участвующие в возведении в степень, т. е. основание и показатель степени, неравноправны между собой; переставить их, вообще говоря, нельзя (например, 35 ≠ 53). Поэтому разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умножении, производится одинаковыми приемами, а разыскание основания степени и показателя степени выполняется различным образом.
Шестое действие, извлечение корня, обозначается знаком √. Но все знают, что это — видоизменение латинской буквы г, начальной в латинском слове, означающем «корень». Было время (XVI в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R, а рядом с ней ставилась первая буква латинских слов «квадратный» (q) или «кубический» (с), чтобы указать, какой именно корень требуется извлечь. Например, писали
R. q.
4352
вместо нынешнего обозначения
| √ | |
| 4352. |
Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки для плюса и минуса, а вместо них писали буквы р. и m., и что наши скобки заменяли знаками |_ _|, то станет ясно, какой необычный для современного глаза вид должны были иметь тогда алгебраические выражения.
Вот пример из книги старинного математика Бомбелли (1572):
R.
с. |_ R. q. 4352 р. 16 _| m. R. с. |_ R. q. 4352 m. 16 _|.
Мы написали бы то же самое иными знаками:
Кроме обозначения
теперь употребляется для того же действия еще и другое,
a1/n,
весьма удобное в смысле обобщения: оно наглядно подчеркивает, что каждый
корень есть не что иное, как степень, показатель которой — дробное число.
Оно предложено было замечательным голландским математиком XVI в. Стевином.
З
А Д А Ч А 1
Что больше
или
Эту и следующие задачи требуется решить, не вычисляя значения корней.
Р
Е Ш Е Н И Е
Возвысив оба выражения в 10-ю степень, получаем
так как 32 > 25, то
З А Д А Ч А 2
Что больше:
Р Е Ш Е Н И Е
Возвысив оба выражения в 28-ю степень, получаем
Так как 128 > 49, то и
ЗАДАЧА 3
Что больше:
РЕШЕНИЕ
Возвысив оба выражения в квадрат, получаем:
Уменьшим оба выражения на 17; у нас останется
Возвышаем эти выражения в квадрат. Имеем:
Отняв по 253, сравниваем
Так как
больше 2, то
следовательно,
З А Д А Ч А
Взгляните внимательнее на уравнение
| xx |
3 |
= 3 |
и скажите, чему равен х.
Р Е Ш Е Н И Е
Каждый, хорошо освоившийся с алгебраическими символами, сообразит, что
В самом деле, тогда
и следовательно,
| xx |
3 |
= x3 = 3, |
что и требовалось.
Для кого это «решение одним взглядом» является непосильным, тот может облегчить себе поиски неизвестного следующим образом.
Пусть
x3 = y.
Тогда
и уравнение получает вид
или, возводя в куб:
yу = З3.
Ясно, что у = 3 и, следовательно,
З
А Д А Ч А 1
Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2
• 2 = 5, 2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка — довольно элементарная — несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.Первая:
2 = 3.
На сцене сперва появляется неоспоримое равенство
4
- 10 = 9 - 15.
В следующем «явлении» к обеим частям равенства прибавляется по равной величине 6
1/4:
4 - 10 + 61/4 = 9 - 15 + 61/4.
Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:
22 = 2 • 2 • 5/2 + (5/2)2 = 32 - 2 • 3 • 5/2 + (5/2)2.
(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2.
Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:
2 - 5/2 = 3 - 5/2.
Прибавляя по у к обеим частям, приходят к нелепому равенству
2 = 3.
В чем же кроется ошибка?
Р Е Ш Е Н И Е
Ошибка проскользнула в следующем заключении: из того, что
(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2.
был сделан вывод, что
2 - 5/2 = 3 - 5/2.
Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (
- 5)2 = 52, но - 5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:
(- 1/2)2 = (1/2)2,
но
- 1/2 не равно 1/2.
З
А Д А Ч А 2
Другой алгебраический фарс (рис. 15)
2
• 2 = 5
Рис. 15.
разыгрывается по образцу предыдущего и основан на том же трюке. На сцене появляется не внушающее сомнения равенство
16
- 36 = 25 - 45.
Прибавляются равные числа:
16 - 36 + 201/4 = 25
- 45 + 201/4
и делаются следующие преобразования:
42 - 2 • 4 • 9/2 + (9/2)2 = 52 - 2 • 5 • 9/2 + (9/2)2,
(
4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2.
Затем с помощью того же незаконного заключения переходят к финалу:
4 -
9/2 = 5 - 9/2,4 = 5,
2
• 2 = 5.
Эти комические случаи должны предостеречь малоопытного математика от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими неизвестное под знаком корня.
|
|
|
|
|
|
